第三章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析第一頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章

控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法

第一節(jié)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)及性能指標(biāo)第二節(jié)增加零極點(diǎn)對(duì)二階系統(tǒng)響應(yīng)的影響第三節(jié)反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差第四節(jié)勞斯-霍爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)

第二頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四

第一節(jié)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)及性能指標(biāo)瞬態(tài)響應(yīng)，是指系統(tǒng)的輸出從輸入信號(hào)r(t)作用時(shí)刻起，到穩(wěn)定狀態(tài)為止，隨時(shí)間變化的過(guò)程。分析系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，可以考查系統(tǒng)的穩(wěn)定性和過(guò)渡過(guò)程的性能。分析系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，有以下方法：1.直接求解法

2.間接評(píng)價(jià)法

3.計(jì)算機(jī)仿真法

本小節(jié)首先討論典型輸入信號(hào)、性能指標(biāo)等內(nèi)容，然后討論一階、二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，最后討論如何處理高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)問(wèn)題。第三頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四一、典型輸入信號(hào)（一）階躍信號(hào)

階躍信號(hào)的表達(dá)式為：(3.1)當(dāng)A=1時(shí)，則稱為單位階躍信號(hào)，常用1(t)表示，如圖3-1所示。

圖3-1階躍信號(hào)

圖3-2斜坡信號(hào)

第四頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四（二）斜坡信號(hào)

斜坡信號(hào)在t

=0時(shí)為零，并隨時(shí)間線性增加，所以也叫等速度信號(hào)。它等于階躍信號(hào)對(duì)時(shí)間的積分，而它對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是階躍信號(hào)。斜坡信號(hào)的表達(dá)式為：(3.2)

第五頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四（三）拋物線信號(hào)拋物線信號(hào)也叫等加速度信號(hào)，它可以通過(guò)對(duì)斜坡信號(hào)的積分而得。拋物線信號(hào)的表達(dá)式為：（3.3）當(dāng)A=1時(shí)，則稱為單位拋物線信號(hào)，如圖3-3所示第六頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四（四）脈沖信號(hào)單位脈沖信號(hào)的表達(dá)式為：

(3.4)

其圖形如圖3-4所示。是一寬度為e，高度為1／e的矩形脈沖，當(dāng)e趨于零時(shí)就得理想的單位脈沖信號(hào)(亦稱d(t)

函數(shù))。

(3.5)第七頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四（五）正弦信號(hào)正弦信號(hào)的表達(dá)式為:（3.6）

其中A為幅值，w=2p/T為角頻率。

圖3-5正弦信號(hào)

第八頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、系統(tǒng)的性能指標(biāo)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能通常以系統(tǒng)在初始條件為零的情況下，對(duì)單位階躍輸入信號(hào)的響應(yīng)特性來(lái)衡量，如圖3-6所示。這時(shí)瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)有：

1。最大超調(diào)量sp——響應(yīng)曲線偏離穩(wěn)態(tài)值的最大值，常以百分比表示，即

最大百分比超調(diào)量sp＝最大超調(diào)量說(shuō)明系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。

2。延滯時(shí)間td——響應(yīng)曲線到達(dá)穩(wěn)態(tài)值50%所需的時(shí)間，稱為延滯時(shí)間。第九頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.上升時(shí)間tr——它有幾種定義：(1)響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%到90%所需時(shí)間；(2)響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的5%到95%所需時(shí)間；(3)響應(yīng)曲線從零開(kāi)始至第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。一般對(duì)有振蕩的系統(tǒng)常用“(3)”，對(duì)無(wú)振蕩的系統(tǒng)常用“(1)”。4.峰值時(shí)間tp——響應(yīng)曲線到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間，定義為峰值時(shí)間。

5.調(diào)整時(shí)間ts——響應(yīng)曲線從零開(kāi)始到進(jìn)入穩(wěn)態(tài)值的95%~105%（或98%~102%）誤差帶時(shí)所需要的時(shí)間，定義為調(diào)整時(shí)間。第十頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四圖3-6單位階躍響應(yīng)第十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四

對(duì)于恒值控制系統(tǒng)，它的主要任務(wù)是維持恒值輸出，擾動(dòng)輸入為主要輸入，所以常以系統(tǒng)對(duì)單位擾動(dòng)輸入信號(hào)時(shí)的響應(yīng)特性來(lái)衡量瞬態(tài)性能。這時(shí)參考輸入不變、輸出的希望值不變，響應(yīng)曲線圍繞原來(lái)工作狀態(tài)上下波動(dòng)，如圖3-7所示。

第十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四可用一階微分方程描述其動(dòng)態(tài)過(guò)程的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。考慮如圖3-8所示的一階系統(tǒng)，它代表一個(gè)電機(jī)的速度控制系統(tǒng)，其中t是電機(jī)的時(shí)間常數(shù)。該一階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(3.7)

三、瞬態(tài)響應(yīng)分析

（一）一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)圖3-8一階控制系統(tǒng)

第十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)，即r(t)=1(t)或R(s)=1/s，輸出響應(yīng)的拉氏變換為(3.8)

取C(s)的拉氏反變換，可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為(3.9)

系統(tǒng)響應(yīng)如圖3-9所示。從圖中看出，響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為(3.10)第十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四圖3-9一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)第十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四若增加放大器增益K，可使穩(wěn)態(tài)值近似為1。實(shí)際上，由于放大器的內(nèi)部噪聲隨增益的增加而增大，K不可能為無(wú)窮大。而且，線性模型也僅在工作點(diǎn)附近的一定范圍內(nèi)成立。所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

(3.11)不可能為零。系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)為(3.12)它可定義為系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的63.2%所需要的時(shí)間。第十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四由式(3.9)，很容易找到系統(tǒng)輸出值與時(shí)間常數(shù)T的對(duì)應(yīng)關(guān)系：從中可以看出，響應(yīng)曲線在經(jīng)過(guò)3T（5%誤差）或4T（2%誤差）的時(shí)間后進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。

t=T，c(1T)=0.632c(∞)t=2T，c(2T)=0.865c(∞)t=3T，c(3T)=0.950c(∞)t=4T，c(4T)=0.982c(∞)第十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四如果系統(tǒng)響應(yīng)曲線以初始速率繼續(xù)增加，如圖3-9中的c1(t)所示，T還可定義為c1(t)曲線達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間。

(3.13)

因此當(dāng)t=T時(shí)，c1(t)曲線到達(dá)穩(wěn)態(tài)值，即，

所以第十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四（二）二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)在工程實(shí)際中，三階或三階以以上的系統(tǒng)，?？梢越苹蚪惦A為二階系統(tǒng)處理。圖3-10是典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，它的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

由上式可看出，z和wn是決定

二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的兩個(gè)非常重要參數(shù)，其中z稱為阻尼比，wn稱為無(wú)阻尼自然振蕩頻率.圖3-10二階系統(tǒng)

第十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四例如圖2-2中R-Ｌ-Ｃ電路，其傳遞函數(shù)為

式中，無(wú)阻尼自然振蕩頻率就是電路當(dāng)R=0時(shí)的諧振頻率；阻尼比

第二十頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四又如圖2-3中電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)，輸出w與電樞電壓ua之間傳遞函數(shù)為或式中第二十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四由式(3.14)描述的系統(tǒng)特征方程為(3.15)這是一個(gè)二階的代數(shù)方程，故有兩個(gè)特征方程根，分別為(3.16)顯然，阻尼比不同，特征根的性質(zhì)就不同，系統(tǒng)的響應(yīng)特性也就不同。第二十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四下面分別對(duì)二階系統(tǒng)在0<z<1，z=1，和z>1三種情況下的階躍響應(yīng)進(jìn)行討論。

1.0<z<1，稱為欠阻尼情況按式(3.14)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)可寫(xiě)為

GB(s)=(3.17)它有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根(3.18)

式中稱為有阻尼振蕩頻率。第二十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四在初始條件為零，輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)r(t)=1(t)時(shí)，系統(tǒng)輸出的拉氏變換為(3.19)

對(duì)式(3.19)求拉氏反變換，則得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)c(t)：(3.20)第二十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四它是一衰減的振蕩過(guò)程，如圖3-11所示，其振蕩頻率就是有阻尼振蕩頻率wd，而其幅值則按指數(shù)曲線（響應(yīng)曲線的包絡(luò)線）衰減，兩者均由參數(shù)z和wn決定。

(a)根分布(b)單位階躍響應(yīng)圖3-11欠阻尼情況(0<z<1)第二十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四系統(tǒng)的誤差則為(3.21)當(dāng)t→∞時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差e(∞)＝０。若z=０，稱為無(wú)阻尼情況，系統(tǒng)的特征根為一對(duì)共軛虛根，即(3.22)此時(shí)單位階躍響應(yīng)為(3.23)

它是一等幅振蕩過(guò)程，其振蕩頻率就是無(wú)阻尼自然振蕩頻率wn。當(dāng)系統(tǒng)有一定阻尼時(shí)，wd總是小于wn。s1,2=±jwn

第二十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.z=１，稱為臨界阻尼情況此時(shí)系統(tǒng)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)特征根：

s1=s2=-wn(3.24)

系統(tǒng)輸出的拉氏變換為(3.25)

取C(s)的拉氏反變換，求得臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為(3.26)

第二十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四(a)根分布(b)單位階躍響應(yīng)圖3-12臨界阻尼情況(z＝1)響應(yīng)曲線如圖3-12所示，它既無(wú)超調(diào)，也無(wú)振蕩，是一個(gè)單調(diào)的響應(yīng)過(guò)程。第二十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.z＞１，稱為過(guò)阻尼情況

當(dāng)阻尼比z＞１時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：(3.27)對(duì)于單位階躍輸入，C(s)為(3.28)將此式進(jìn)行拉氏反變換，從而求得過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為(3.29)第二十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四圖3-13表示過(guò)阻尼二階系統(tǒng)的根的分布和響應(yīng)曲線。顯然響應(yīng)曲線無(wú)超調(diào)，而且過(guò)程拖得比z=１時(shí)來(lái)得長(zhǎng)。

(a)根分布(b)單位階躍響應(yīng)圖3-13過(guò)阻尼情況(z>1)根據(jù)以上分析，可得不同z值下的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線族,如圖3-14所示。由圖可見(jiàn)，在一定z值下,欠阻尼系統(tǒng)比臨界阻尼系統(tǒng)更快地達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，所以一般系統(tǒng)大多設(shè)計(jì)成欠阻尼系統(tǒng)。第三十頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四

圖3-14二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)

第三十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四（三）二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)

當(dāng)輸入信號(hào)為單位脈沖信號(hào)d(t)，即R(s)=１時(shí)，二階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換為(3.30)

對(duì)式(3.30)求拉氏反變換，得

(3.31)

可見(jiàn)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的拉氏反變換就是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，所以脈沖響應(yīng)和傳遞函數(shù)一樣，都可以用來(lái)描述系統(tǒng)的特征。第三十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四由式(3.31)，對(duì)于欠阻尼情況(0<z<1)，有(3.32)對(duì)于臨界阻尼情況(z＝１)，有

c(t)

=w2nte-wnt(3.33)

對(duì)于過(guò)阻尼情況(z>1)，有(3.34)圖3-15表示不同z值時(shí)的單位脈沖響應(yīng)曲線。第三十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四圖3-15二階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)

第三十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四（四）二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)

通常，工程實(shí)際中往往習(xí)慣把二階系統(tǒng)調(diào)整為欠阻尼過(guò)程，因?yàn)榇藭r(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)較快，且平穩(wěn)性也較好。

對(duì)于單位階躍輸入作用下的欠阻尼系統(tǒng)，有：1.上升時(shí)間tr按式(3.20)，令c(tr)=1，就可求得

第三十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四因此

(3.35)式中(3.36)

由式(3.35)可見(jiàn)，要使系統(tǒng)反應(yīng)快，必須減小tr。因此當(dāng)z一定，wn必須加大；若wn為固定值，則z越小，tr也越小。2.峰值時(shí)間tp按式(3.20)，對(duì)c(t)求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可得到第三十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四到達(dá)第一個(gè)峰值時(shí)

wdtp=p所以(3.37)

上式表明，峰值時(shí)間tp與有阻尼振蕩頻率wd成反比。當(dāng)wn一定,z越小，tp也越小。第三十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四3.最大超調(diào)量sp

以t=tp代入式(3.20)，可得到最大百分比超調(diào)量(3.38)由上式可見(jiàn)，最大百分比超調(diào)量完全由z決定，z越小，超調(diào)量越大。當(dāng)z=０時(shí)，sp%=100%，當(dāng)z=１時(shí)，sp%=０。sp與z的關(guān)系曲線見(jiàn)圖3-16。第三十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四圖3-16sp與z的關(guān)系第三十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四

4.調(diào)節(jié)時(shí)間ts根據(jù)定義可以求出調(diào)節(jié)時(shí)間ts，如圖3-17所示。圖中T=1/zwn，為c(t)包絡(luò)曲線的時(shí)間常數(shù)，在z=0.69(或0.77)，ts有最小值，以后ts隨z的增大而近乎線性地上升。圖3-17中曲線的不連續(xù)性是由于在z虛線附近稍微變化會(huì)引起ts突變?cè)斐傻模鐖D3-18所示。ts也可由式(3.21)的包絡(luò)線近似求得，即令e(t)的幅值

或0.02(3.39)第四十頁(yè)，共四十四頁(yè)，編輯于2023年，星期四圖3-17ts與z

的關(guān)系