回顧近似方法之不含時微擾理論非簡并情況

回顧：近似方法之不含時微擾理論（非簡并情況）求解精確至N階的能量修正，只需精確至N-1階的態(tài)矢修正比較對應(yīng)λ

系數(shù)得：理論要求：本征態(tài)與本征值在λ復(fù)平面上，對λ=0附近解析連續(xù)。實用要求：取少數(shù)階展開便是較好的近似。1§5.2簡并態(tài)的定態(tài)微擾理論一、非兼并微擾理論的問題未微擾態(tài)簡并時，原微擾公式:因有分母=0，不能用。此外，近兼并時的收斂性成問題。若Vnn’

(n與n’簡并/近兼并)為零，則表達(dá)式有可能仍有用2設(shè)有g(shù)度簡并態(tài){|m(0)>},其展開的子空間為D。D中的態(tài)可一般地寫為：記P0為投影到D的投影算符，P1=1-P0則是投影到其他態(tài)矢組成的子空間部分的算符。本征方程可寫為分別用P0和P1作用于上式，有若微擾成立,則要求且E

與不同。上式可解為:

,代入前一式得二、兼并態(tài)微擾理論3考慮能量至一階λ,波函數(shù)至零階λ,可有此即g維簡并子空間的線性方程組，其解即為求

(V=[<m(0)|V|m’(0)>])由此可得零階態(tài)矢和一階能移:因采用使V對角化的|m(0)>組合，該方法不限于嚴(yán)格簡并情形。將近簡并能級并入D可使微擾展開快速收斂。4若微擾使簡并完全消除,可將看作微擾，其對態(tài)矢的一階修正為P1子空間對一階態(tài)矢修正的貢獻(xiàn)：[P0|l(1)>+P1|l(1)>]即為完整的一階態(tài)矢修正。2階能量修正：形式與非簡并情形類似，但求和限于D外的子空間。5上述一階波函數(shù)和二階能級修正成立的條件是微擾完全消除簡并，否則需將

作為微擾，進(jìn)一步用簡并法求其修正。6歸納之，簡并態(tài)的微擾法為：1）用簡并態(tài)構(gòu)造相應(yīng)的微擾矩陣：V=[<m(0)|V|m’(0)>]2）解久期方程，即對角化微擾矩陣。久期方程本征值為一階能量修正：本征解為λ0的零階本征矢：3）高階微擾（兼并消除后）原兼并子空間內(nèi)：基于一階態(tài)矢修正（對2階能量修正無貢獻(xiàn)）：原兼并子空間外：使用等同于非簡并的微擾理論表達(dá)式4）更高階修正：實際中很少考慮。將近簡并能級并入D可使微擾展開快速收斂7三、簡并微擾理論應(yīng)用舉例1.一階Stark效應(yīng)氫原子的n相同但lm不同的態(tài)是簡并的，如2s和2p態(tài)簡并。對V=-ezE，應(yīng)用簡并微擾理論，得微擾矩陣其中容易求出，能移與E成線性關(guān)系（一階Stark效應(yīng)），源于零階波函數(shù)有偶極矩。82.原子的精細(xì)結(jié)構(gòu)：自旋軌道作用類似氫的原子如堿金屬,外層電子所受勢為非純庫侖形式的中心勢。不同l的能級分裂，l越大能量越高。自旋軌道作用可定性地理解為：在電場中運動的電子感受到等效磁場

，其對電子磁矩作用導(dǎo)致上式比實際大一倍，需用相對論性量子力學(xué)解釋。下面我們?nèi)0=p2/2m+Vc(r)，可選基：|ls;mms>或|ls;jmj>由于HLS與J2、Jz對易，選|ls;jmj>為基：由于HLS在Ψnlm下已對角化，故一級能量修正為9HLS對不同j產(chǎn)生的能移差正比于(2l+1)和<dVc/rdr>nl對Na,基態(tài)為(1s)2(2s)2(2p)6(3s),3p與3s能量不簡并，而HLS使3p1/2和3p3/2進(jìn)一步分裂，使其向3s的躍遷產(chǎn)生所謂Na的兩條D線，波長為5890和5896A(黃光)由于<dVc/rdr>nl~e2/a03,精細(xì)結(jié)構(gòu)的分裂量級為，約為Balmer分裂(e2/a0)的α2=(1/137)2倍，非常小，與相對論質(zhì)量修正導(dǎo)致的能移同量級。氫原子的超精細(xì)結(jié)構(gòu)質(zhì)子的磁矩與電子的磁矩相互作用：氫原子基態(tài)分裂：