第2章 函數概念與基本初等函數Ⅰ 第7節(jié) 函數的圖象

第二章函數概念與基本初等函數Ⅰ第7節(jié)函數的圖象考試要求1.在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數；2.會運用基本初等函數的圖象分析函數的性質，解決方程解的個數與不等式解的問題．知識診斷基礎夯實內容索引考點突破題型剖析分層訓練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎夯實1知識梳理步驟：(1)確定函數的定義域；(2)化簡函數解析式；(3)討論函數的性質(奇偶性、單調性、周期性、對稱性等)；(4)列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等)，描點，連線.1.利用描點法作函數的圖象(1)平移變換2.利用圖象變換法作函數的圖象f(x)-k－f(x)f(－x)－f(－x)logax|f(x)|f(|x|)常用結論2.函數圖象自身的中心對稱 (1)f(－x)＝－f(x)?函數y＝f(x)的圖象關于原點對稱； (2)函數y＝f(x)的圖象關于點(a，0)對稱?f(a＋x)＝－f(a－x)?f(x)＝－f(2a－x)

?f(－x)＝－f(2a＋x)； (3)函數y＝f(x)的圖象關于點(a，b)成中心對稱?f(a＋x)＝2b－f(a－x)?f(x)＝2b－f(2a－x).3.兩個函數圖象之間的對稱關系×診斷自測(1)當x∈(0，＋∞)時，函數y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同.(

)(2)函數y＝af(x)與y＝f(ax)(a>0且a≠1)的圖象相同.(

)(3)函數y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關于原點對稱.(

)(4)若函數y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱.(

)1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)××√解析(1)令f(x)＝－x，當x∈(0，＋∞)時，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，兩者圖象不同，(1)錯誤.(2)中兩函數當a≠1時，y＝af(x)與y＝f(ax)是由y＝f(x)分別進行橫坐標與縱坐標伸縮變換得到，兩圖象不同，(2)錯誤.(3)y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關于x軸對稱，(3)錯誤.C解析其圖象是由y＝x2圖象中x<0的部分和y＝x－1圖象中x≥0的部分組成.BA.y＝f(|x|) B.y＝f(－|x|) C.y＝|f(x)| D.y＝－|f(x)|3.(2021·昆明質檢)已知圖①中的圖象對應的函數為y＝f(x)，則圖②中的圖象對應的函數為(

)解析觀察函數圖象可得，②是由①保留y軸左側及y軸上的圖象，然后將y軸左側圖象翻折到右側所得，結合函數圖象的對稱變換可得變換后的函數的解析式為y＝f(－|x|).B當x∈(0，1)時，ln|x|＜0，x2＋1＞0，所以f(x)＜0，排除D.解析與f(x)的圖象關于y＝x對稱的圖象所對應的函數為g(x)＝－log2x，再將其圖象右移1個單位得到h(x)＝－log2(x－1)的圖象.5.(易錯題)設f(x)＝2－x，g(x)的圖象與f(x)的圖象關于直線y＝x對稱，h(x)的圖象由g(x)的圖象向右平移1個單位得到，則h(x)＝____________.－log2(x－1)(2，8]由函數f(x)的圖象知滿足f(x)>0時，x∈(2，8].KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點突破題型剖析2考點一作函數的圖象(1)y＝2|x|＋1；例1

作出下列函數的圖象：解將y＝2x的圖象關于y軸作對稱圖象，取y≥1的部分得y＝2|x|的圖象，再將所得圖象向上平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝2|x|＋1的圖象，如圖①所示(實線部分).解首先作出y＝lgx的圖象，然后將其向右平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝lg(x－1)的圖象，再把所得圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方，即得所求函數y＝|lg(x－1)|的圖象，如圖②所示(實線部分).(2)y＝|lg(x－1)|；先用描點法作出[0，＋∞)上的圖象，再根據對稱性作出(－∞，0)上的圖象，其圖象如圖③所示.(3)y＝x2－|x|－2.1.描點法作圖：當函數解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數時，就可根據這些函數的特征描出圖象的關鍵點直接作出.2.圖象變換法：若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，并應注意平移變換與伸縮變換的順序對變換單位及解析式的影響.感悟提升(1)y＝|x2－5x＋4|；訓練1

分別作出下列函數的圖象：解令y＝x2－5x＋4＝0，解出兩根為1，4，得到y(tǒng)＝x2－5x＋4的圖象.將x軸以下的部分關于x軸作對稱圖形，得到y(tǒng)＝|x2－5x＋4|的圖象，如圖①所示(實線部分).考點二函數圖象的辨識D解析法一當x>0時，－x<0，D當x≤0時，－x≥0，g(x)＝－x2，從而根據函數的取值正負情況可知D正確.法二也可先畫出f(x)的圖象，再關于原點對稱得g(x)的圖象.DD1.抓住函數的性質，定性分析：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復；(4)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性.2.抓住函數的特征，定量計算：從函數的特征點，利用特征點、特殊值的計算分析解決問題.感悟提升角度1研究函數的性質考點三函數圖象的應用A.f(x)是偶函數，遞增區(qū)間是(0，＋∞)B.f(x)是偶函數，遞減區(qū)間是(－∞，1)C.f(x)是奇函數，遞減區(qū)間是(－1，1)D.f(x)是奇函數，遞增區(qū)間是(－∞，0)例2

已知函數f(x)＝x|x|－2x，則下列結論正確的是(

)C畫出函數f(x)的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數f(x)的圖象關于原點對稱，故函數f(x)為奇函數，且在(－1，1)上是遞減的.角度2在不等式中的應用(－1，0)∪(0，1)解析因為f(x)為奇函數，即xf(x)<0，f(x)的大致圖象如圖所示，所以原不等式的解集為(－1，0)∪(0，1).解析關于x的方程a＝f(x)恰有兩個不同的實根，即f(x)的圖象與直線y＝a恰有兩個不同的交點，作出f(x)的圖象如圖所示.角度3求參數的取值范圍B解析設y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|.在同一直角坐標系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的圖象如圖所示.(2)已知函數f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4個互異的實數根，則實數a的取值范圍為__________________________.(0，1)∪(9，＋∞)由圖可知f(x)－a|x－1|＝0有4個互異的實數根等價于y1＝|x2＋3x|與y2＝a|x－1|的圖象有4個不同的交點，且4個交點的橫坐標都小于1，消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0，該方程有兩個不等實根x1，x2，消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有兩不等實根x3，x4，∴Δ＝a2－10a＋9>0，又∵x3＋x4＝a－3>2，x3x4＝a>1，∴a>9.綜上可知，0<a<1或a>9.1.利用函數的圖象研究函數的性質對于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數，其性質(單調性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點)常借助于圖象研究，但一定要注意性質與圖象特征的對應關系.2.利用函數的圖象可解決某些方程和不等式的求解問題，方程f(x)＝g(x)的根就是函數f(x)與g(x)圖象交點的橫坐標；不等式f(x)<g(x)的解集是函數f(x)的圖象位于g(x)圖象下方的點的橫坐標的集合，體現了數形結合思想.感悟提升訓練2(1)(2021·唐山模擬)已知函數f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若f(x)>g(x)恒成立，則實數k的取值范圍是________.解析如圖作出函數f(x)的圖象，解析由圖象可知，函數f(x)為奇函數，故原不等式可等價轉化為f(x)>－x.在同一平面直角坐標系中分別畫出y＝f(x)與y＝－x的圖象，(2)已知函數y＝f(x)的圖象是圓x2＋y2＝2上的兩段弧，如圖所示，則不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是_____________________.5作出y＝f(x)的圖象，FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓練鞏固提升3A級基礎鞏固解析依題意知，在2h內血液中藥物含量Q持續(xù)增加，停止注射后，Q呈指數衰減，圖象B適合.1.在2h內將某種藥物注射進患者的血液中，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數衰減，能反映血液中藥物含量Q隨時間t變化的圖象是(

)BA所以函數f(x)為奇函數，排除選項C，D；解析由f(x)在R上是減函數，知0<a<1.又y＝loga(|x|－1)是偶函數，定義域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴當x>1時，y＝loga(x－1)的圖象由y＝logax的圖象向右平移一個單位得到.因此D正確.3.若函數f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上為減函數，則函數y＝loga(|x|－1)的圖象可能是(

)DA.y＝ln(1－x) B.y＝ln(2－x) C.y＝ln(1＋x) D.y＝ln(2＋x)4.下列函數中，其圖象與函數y＝lnx的圖象關于直線x＝1對稱的是(

)B解析法一設所求函數圖象上任一點的坐標為(x，y)，則其關于直線x＝1的對稱點的坐標為(2－x，y)，由對稱性知點(2－x，y)在函數f(x)＝lnx的圖象上，所以y＝ln(2－x).法二由題意知，對稱軸上的點(1，0)在函數y＝lnx的圖象上也在所求函數的圖象上，代入選項中的函數表達式逐一檢驗，排除A，C，D，選B.A.(0，2) B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(1，2) D.(0，1)∪(2，＋∞)5.(2021·鄭州模擬)已知函數f(x)＝－x＋1＋log2x，則不等式f(x)<0的解集是(

)D解析函數f(x)＝－x＋1＋log2x的定義域為(0，＋∞)，且f(1)＝f(2)＝0，由f(x)<0可得log2x<x－1，作出函數y＝log2x與函數y＝x－1的圖象如圖所示.則函數y＝log2x與函數y＝x－1圖象的兩個交點的坐標為(1，0)，(2，1)，由圖象可知，不等式log2x<x－1的解集為(0，1)∪(2，＋∞).故選D.6.(2022·大慶模擬)我們從某公司的商標

中抽象出一個圖象，如圖所示.其對應的函數解析式可能是(

)D解析由題圖可知，f(x)為偶函數，故C錯誤；由圖知f(x)在x＝－1和x＝1處無定義，故B錯誤.故選D.A.有最小值－1，最大值1 B.有最大值1，無最小值C.有最小值－1，無最大值

D.有最大值－1，無最小值7.已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2.當|f(x)|≥g(x)時，h(x)＝|f(x)|；當|f(x)|<g(x)時，h(x)＝－g(x)，則h(x)(

)C解析如圖，畫出y＝|f(x)|＝|2x－1|與y＝g(x)＝1－x2的圖象，它們交于A，B兩點.由“規(guī)定”，在A，B兩側，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之間，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x).綜上可知，y＝h(x)的圖象是圖中的實線部分，因此h(x)有最小值－1，無最大值.解析∵f(5－x)的圖象可以看作y＝f(x)的圖象先關于y軸對稱，再向右平移5個單位長度得到，點(2，2)關于y軸對稱的點(－2，2)，再將此點向右平移5個單位長度為(3，2)，∴y＝f(5－x)的圖象一定過點(3，2).8.若函數y＝f(x)的圖象恒過點(2，2)，則函數y＝f(5－x)的圖象一定經過點___________.(3，2)解析在同一平面直角坐標系內作出函數y＝x2－2|x|的圖象和直線y＝m，可知當m>0或m＝－1時，直線y＝m與函數y＝x2－2|x|的圖象有兩個交點，即函數f(x)＝x2－2|x|－m有兩個零點.9.已知函數f(x)＝x2－2|x|－m的零點有兩個，則實數m的取值范圍是______________________.{－1}∪(0，＋∞)解析由圖象可知不等式－2<f(x＋t)<4，即f(3)<f(x＋t)<f(0).又y＝f(x)在R上單調遞減，∴0<x＋t<3，不等式解集為(－t，3－t).依題意，得t＝1.10.已知函數f(x)在R上單調且其部分圖象如圖所示，若不等式－2<