福大結(jié)構(gòu)力學(xué)課件13矩陣位移法

第九章矩陣位移法矩陣代數(shù)復(fù)習(xí)1、矩陣定義一組元素按行、列次序排列成的矩形陣列稱為矩陣。若矩陣的元素排列為m

行和n列，稱為m·n

階矩陣。2n

a11

a12

a1na

a

a22A=

21

am1

am2

amn

2、方陣

一個具有相同的行數(shù)和列數(shù)的矩陣，即m=n

時，稱為n

階方陣。3、行矩陣和列矩陣

一個單獨的行組成的矩陣稱為行矩陣，如：A=[a11a12

a13?

??

a1n

]由單列組成的矩陣稱為列矩陣，如：

a11

a

21

A

=

m1

a

4、純量

僅由一個單獨的元素所組成的1·1階矩陣稱為純量。5、矩陣乘法兩個規(guī)則：（1）兩個矩陣僅當(dāng)他們是共形時才能相乘，即Am

′

p

Bl

′n

=

Cm

′n當(dāng)p

=l時才能相乘A

B=

a11a

aa12

b11

21 22

21

b

共形2

×

2 2

×1b

a

aB

A=

b11

a11a12

非共形

21

21 22

2

×

1

2

×2（2）不具有交換律，即AB

?

BA6、轉(zhuǎn)置矩陣將一個階矩陣的行和列依次互換，所得的階矩陣稱之為原矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，如：aa11

a12A=

a21 22

a31

a32

其轉(zhuǎn)置矩陣為AT=

aa

aa1112a21

a3122

32當(dāng)連乘矩陣的乘積被轉(zhuǎn)置時，等于倒轉(zhuǎn)了順序的各矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣之乘積。若A=B

CD=DTAT

CT

BT則7、零矩陣元素全部為零的矩陣稱為零矩陣，用0表示。若AB=0，但不一定A=0

或B=0。8、對角矩陣對角矩陣是除主對角元素外，其余元素全為零的方陣，如：aa22000000a11

0D=

0

00

0

0

mm

9、單位矩陣單位矩陣是一個對角矩陣，它的非零元素全為1

用I

表示，如I

=

0

0

1

0

00

1

0

0

0

0

0

0

01

任意矩陣與單位矩陣相乘仍等于原矩陣，即AI

=A IA

=A10、逆矩陣

在矩陣運算中，沒有矩陣的直接除法，除法運算由矩陣求逆來完成。例如，若AB

=C則B=A-1

C此處A-1稱為矩陣A

的逆矩陣。A

A

-1

=

A

-1

A

=I一個矩陣的逆矩陣由以下關(guān)系式定義：矩陣求逆時必須滿足兩個條件：（1）矩陣是一個方陣。（2）矩陣的行列式不為零，即矩陣是非奇異矩陣（行列式為零的矩陣稱為奇異矩陣）。11、正交矩陣

若一方陣A

每一行（列）的各個元素平方之和等于1，而所有的兩個不同行（列）的對應(yīng)元素乘積之和均為零，則稱該矩陣為正交矩陣，則A

=

cos

a

sin

a

-sin

a

cos

a

正交矩陣的逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣，即A

-1=

AT9-1

結(jié)構(gòu)的離散化與桿端位移、桿端力的符號結(jié)構(gòu)的離散化：等截面直桿單元①②③④⑤ABCEDF①②③④ABDEC桿端力和桿端位移的符號彎矩、轉(zhuǎn)角：繞桿端順時針為正；其它：與坐標(biāo)軸同向為正。iE，I，A，ljx

fiy：順時針為正qiuiivv

jq

ju

jeFx1y2y1FM1M2F

Fx2e桿端位移桿端力局部坐標(biāo)系yxe9-2

局部坐標(biāo)系中自由單元的單元剛度矩陣…

…

…

…Fx1

=

EA

lM1

=

4EI

l2Fyi1

=

6EI

lM2

=

2EI

l2Fy

2

=

-6EI

ly11M

=

6EI

l

2F

=

12EI

l

32M

=

6EI

l

2y

2F

=

-12EI

l

3e1v

=

1Fx

2

=-

EA

lu1

=

1eq1

=

1e1.一般單元的剛度方程和剛度矩陣1

21

1

2

211

12

22321

12

2x1y1x

2

1y1Fl

lFl3

l

2

l3

l

2l

2

l

2l

ll

l12EI

6EI12EI

6EIll3Ml

2

l

2l

l=

EA

u

-

EA

u=

12EI

v

+

6EI

q

-12EI

v

+

6EI

qM

=

6EI

v

+

4EI

q

-

6EI

v

+

2EI

qF

=-

EA

u

+

EA

uF

=-v1

-

l

2

q1

+v2

-

l

2

q2=

6EI

v

+

2EI

q

-

6EI

v

+

4EI

q

F(2)

F(3)F

(4)F

(5)F

(6)用

F(1)

e表示

Fx1

F

y1

M1

F

F

x

2

y

2

M2

e

D(2)

D(3)D

(4)

D(5)D

(6)用

D(1)

e表示

v

1

q

1

u2

v

2

q2

u1

e

DDD

---=

(6)(4)D(3)(2)(1)

223(6)(3)(1)0

-0000l

l

26EI

4EI

2EIll

2D

6EI

(5)12EIl

3l

212EI

6EIl

36EIl

20EAl00EAl0

-l2EI

l

20-

6EI4EIl06EIl

20ll12EI

6EI

D3ll0

012EI

6EIl0

--

EAl0

EAF

F(5)F(4)FF(2)

F

ee局部坐標(biāo)下的單元剛度方程{D

}{F}

=

k

ee

e--l

-

EA

EA6EI

4EI

00-

6EI-

12EIl0-

6EI

2EI

0EAl00EAl06EI

12EIl0

-l000l

2l

2l

22EIll

36EIl

2l

2012EI

6EI

l

3

-l

2l

30

012EI

6EIl

3

l

26EI

4EIl

2

l0

0[k]e

=

局部坐標(biāo)下的自由單元的單元剛度矩陣2.單元剛度矩陣的性質(zhì)（1）單元剛度系數(shù)的意義單位桿端位移引起的桿端力（2）單元剛度矩陣是對稱矩陣反力互等定理（3）自由單元剛度矩陣是奇異矩陣矩陣行列式等于零，逆陣不存在。解不唯一★由桿端力只能求出變形，不能求桿端總的位移（剛體位移+變形）。解唯一{D}

{F}

=

k

{

}F=

k

eee{D}ee

-1e3.

特殊單元

若單元六個桿端位移中有某一個或幾個已知為零，則該單元稱為特殊單元，其剛度方程是一般單元剛度方程的特例。eu1

=

0v1

=

01

q12

q2u2

=

0v2

=

0e（1）連續(xù)梁單元的剛度方程單元兩端只有轉(zhuǎn)角位移

1

q2

ql

4EI

l

2EIll

4EI

M

2

M1

e=2EI

eel

lll4EI

[k

]

=

2EI

4EIe2EI

eu1

=

0v1

=

01

q12

q2u2

=

0v2

=

0e3232000000000000EAEAll12EI6EI12EI

6EIl2l3l2l36EIl204EIll20EAEAl0l012EI6EI12EIllll6EI2EI4EIl2ll2l

Fx1

-

F

y1

-

M

-

6EI

2EI1

=

l

F

-x2

F---y

2

-

6EI

M2

u1

v1

q

1

u

2

6EI

v

2

q2

ee

e323200000000EAEAl0l012EI6EI12EI

6EIl3l36EIl

24EIl

20l0l

20EAEAl0l012EI6EI12EIllll6EIl

22EIll

2

Fx1

-

F

y1

-

M

l

2-

6EI

2EI1

=

F

l

0

x

2

F---y

2

-

M2

u1

v1

q

1

u

2

6EI

v

2

-

6EI

4EI

l

q2

（2）桁架單元剛度方程l

l

F

u

EA

-

EA

x1

1

=

l

l

EA

EA

-u2

Fx

2（3）剛架中忽略軸向變形的梁單元剛度方程2222l

36EIl

24EIl12EIl

22EIllll

v

12EI

6EI

-

12EI

6EI

F

y1

1

l

3

l

2

6EI

2EI

-

M1

q1

l

l

=

l

12EIF

D

-

l

36EI-

6EI-

6EI

y

2

2

l

3

l

2

6EI

4EI

-q2

M2

9-3

整體坐標(biāo)下的單元剛度矩陣1.

單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣局部坐標(biāo)系下的桿端力整體坐標(biāo)系下的桿端力xyxyαeF(1)iF(3)F(2)F(4)jF(6)F(5)xyxyαeF(2)F(1)

iF(3)F(4)F(5)jF(6)a

的符號：由x

軸到x軸的夾角a

以順時針轉(zhuǎn)向為正。F(1)

=

F(1)cosa

+

F(2)sinaF(2)

=

-F(1)sina

+

F(2)cosaF(3)

=

F(3)

F(4)

=

F(4)cosa

+

F(5)sinaF(5)

=

-F(4)sina

+

F(5)cosaF(6)

=

F(6)=

(6

)(4

)(2

)(6

)(4

)(2

)F

F(5

)F

F(3)0F

F

F(5

)F

F(3)F

00100

0000cos

asin

a

0000-

sin

acos

a

000000

1

cos

asin

a000-

sin

acos

a0000

F(1)

e

F(1)

e{F

}e

=

[T

]{F

}e1000000

000000000cosasina000-

sinacosa00000-

sinasina

0cosa

00

1

cosa[T

]=[T

]-

1

=

[T

]T坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣（正交）同理：{D

}e

=

[T

]{D

}

e{

})

DD

=D(6)D(4)D(5

(3)D(2)D(1)

其中:整體坐標(biāo)下的桿端位移{D}=

[T

{D}2.

整體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣{F}

=

[k

]

{D}eeeTT{K

}

e=

T

k

e整體坐標(biāo)下的單元剛度方程整體坐標(biāo)下的單元剛度矩陣性質(zhì)與局部坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣相同{F}{D}=

k

eeee[T

{F}

e=

k

e[T

{D}[

{

}-1k

{F}e

=

[TeeT

DT{T}-1

=

[Tee{F}e

=

[T

{F}

e{

}TT{

}=D

eFe

k

Te9-4連續(xù)梁的整體剛度矩陣D

3D

21.整體剛度矩陣的集成總體編碼:只對≠0結(jié)點位移(結(jié)點力)進(jìn)行編碼D

1①②231

D1

{D

}

=

D

2

D

3

①②231F1F2F3

F1

{F

}=

F

2

F

3

局部編碼:對每個單元的桿端位移進(jìn)行編碼(1)(2)(1) (2)1①22②3D

3D

2D

1①②231只考慮單元①發(fā)生位移需要的結(jié)點力11F2

i

4

i

D

4

i

2

i

D

=

1

1

2

1 1

2

F

①①112112F0

D

1

4

i

2

i=

2

i

4

i

0

D

0

0

F3

0

D3

F

①1①

①擴(kuò)展②

2

31F

①12F

①①3{F

}①

=

[K①

{D

}F

①=0D

3D

2②21F

②12D

1①②231只考慮單元②發(fā)生位移需要的結(jié)點力F

②①22

4

i

2

i

D

=

2

2

4

i2

D3

F

②

F②

2

i23擴(kuò)展3F

②12222F0

D

1

0

0

F

=

03

2

4

i

2

i

D2

i

04

i

D

3

2

3

F

②②②{F

}②

=

[K②

{D

}=0yx考慮兩個單元發(fā)生位移需要的結(jié)點力D

3D

2D

1①②231①

②F1=F

①+F

②1

1F2=F

①+F

②2

2F3=F

①+F

②3

33{F

}①

+

{F

}②

=

([K

①

+

[K②

){D

}{D

}{F

}=

[K結(jié)點力列向量結(jié)點位移列向量整體剛度矩陣212211112

i2

4

i10

4

i12

i1

0

0

0

0

2

i

2

i1

2

i

4

i

+

4

i

2

i

=

2

i

4

i

0

+

0

4

i2

i2

0

00

02

4

i2

02

4

i2

[K

=

[K

①

+

[K②展開單元①的貢獻(xiàn)矩陣單元②的貢獻(xiàn)矩陣fi

1fi

21{l}=

2單元①貢獻(xiàn)矩陣的形成單元①的定位向量fi

2fi

3{

}2

l

=

3單元②貢獻(xiàn)矩陣的形成單元②的定位向量換碼重排座換碼重排座形成總剛：將整體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣按定位向量進(jìn)行換碼，然后，進(jìn)行集成。例題

試求連續(xù)梁的整體剛度矩陣1③②23①解(1)總體編碼(2)形成單元剛度矩陣[k

]4i1

2i1

=

2i1

4i1

①[

]4i22i2

=

2i2

4i2

k

②[

]34i

2i3

k

=