第12章 選考部分 第2節(jié) 不等式選講 第二課時(shí) 不等式的證明

第十二章選考部分第二課時(shí)不等式的證明考試要求通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法.知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)內(nèi)容索引考點(diǎn)突破題型剖析分層訓(xùn)練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1知識(shí)梳理1.基本不等式

定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥_____，當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí)，等號(hào)成立.2aba＝ba＝b2.不等式的證明a＞b(2)綜合法與分析法①綜合法：從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列的__________而得出命題成立.綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч?②分析法：從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的__________，直到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式(已知條件、定理等).這種證法稱為分析法，即“執(zhí)果索因”的證明方法.推理論證充分條件常用結(jié)論×診斷自測(cè)(1)比較法最終要判斷式子的符號(hào)得出結(jié)論.(

)(2)綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論.(

)(3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí).(

)(4)使用反證法時(shí)，“反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用.(

)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)解析(1)作商比較法是商與1的大小比較.(3)分析法是從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件.(4)應(yīng)用反證法時(shí)，“反設(shè)”可以作為推理的條件應(yīng)用.√××BA.1 B.2 C.4 D.8AA.x＞y B.x＜y C.x≥y D.x≤y4.已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反證法求證a>0，b>0，c>0時(shí)的假設(shè)為(

)A.a<0，b<0，c<0 B.a≤0，b>0，c>0C.a，b，c不全是正數(shù)

D.abc<0CAA.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.c>a>bA.1 B.2 C.3 D.4C由|x－1|＋|x－2|的幾何意義知，|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正確，綜上①③④正確.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一比較法、放縮法證明不等式例1

設(shè)不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集為M，a，b∈M.(2)證明|1－4ab|>2|a－b|.因?yàn)閨1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝16a2b2－4a2－4b2＋1＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|.1.比較法證明不等式的方法與步驟(1)作差比較法：作差、變形、判號(hào)、下結(jié)論.(2)作商比較法：作商、變形、

判斷、下結(jié)論.2.利用放縮法證明不等式時(shí)要目標(biāo)明確，通過(guò)添、拆項(xiàng)后，適當(dāng)放縮.感悟提升解析M－N＝2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b).因?yàn)閍≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0，從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b，即M≥N.訓(xùn)練1

(1)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，則M，N的大小關(guān)系為________.M≥N∴原不等式成立.考點(diǎn)二綜合法證明不等式例2

(2022·河南六市調(diào)研)已知a，b，c為正數(shù)，且a＋b＋c＝2，求證：證明將a＋b＋c＝2平方得a2＋b2＋c2＋2ab＋2cb＋2ac＝4，因?yàn)閍2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，所以三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，則4＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3ab＋3bc＋3ac，1.綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵.2.在用綜合法證明不等式時(shí)，不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的.在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件.感悟提升證明由題設(shè)可知，a，b，c均不為零，訓(xùn)練2

(2020·全國(guó)Ⅲ卷)設(shè)a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1. (1)證明：ab＋bc＋ca<0；證明不妨設(shè)max{a，b，c}＝a.因?yàn)閍bc＝1，a＝－(b＋c)，所以a>0，b<0，c<0.考點(diǎn)三分析法證明不等式即證a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，又ab＋bc＋ca＝1，故需證明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，即證a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.例3

(2021·哈爾濱模擬)設(shè)a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.∴原不等式成立.感悟提升柯西不等式拓展視野例

(1)已知2x2＋y2＝1，則2x＋y的最大值為________.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3A級(jí)基礎(chǔ)鞏固證明(x2＋y2)－(2x＋2y－2)＝(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)＝(x－1)2＋(y－1)2，而(x－1)2≥0，(y－1)2≥0，∴(x2＋y2)－(2x＋2y－2)≥0，∴x2＋y2≥2x＋2y－2.2.(1)已知x，y是實(shí)數(shù)，求證：x2＋y2≥2x＋2y－2；因?yàn)?2>40顯然成立，所以原不等式成立.(1)求不等式f(x)<3的解集；3.(2022·成都診斷)已知函數(shù)f(x)＝|x－3|＋|x－2|.解當(dāng)x≥3時(shí)，f(x)＝x－3＋x－2＝2x－5，由f(x)<3，得x<4，綜合得3≤x<4.當(dāng)2<x<3時(shí)，f(x)＝3－x＋x－2＝1，由f(x)<3，得1<3恒成立，綜合得2<x<3.當(dāng)x≤2時(shí)，f(x)＝3－x＋2－x＝5－2x，由f(x)<3，得x>1，綜合得1<x≤2.綜上，不等式f(x)<3的解集為(1，4).(2)記函數(shù)f(x)的最小值為m，a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝mabc，證明：ab＋bc＋ac≥9.證明∵f(x)＝|x－3|＋|x－2|≥|(x－3)－(x－2)|＝1，當(dāng)且僅當(dāng)2≤x≤3時(shí)取“＝”，∴函數(shù)f(x)的最小值為1，即m＝1，∴a＋b＋c＝abc.∴ab＋bc＋ac≥9.(1)解不等式：f(x)≤5；4.(2021·西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝|2x－4|＋|x＋1|，x∈R.證明由(1)知f(x)在(－∞，－1)上遞減，在(－1，2)上遞減，在(2，＋∞)上遞增，故x＝2時(shí)f(x)取最小，且f(2)＝3，即a2＋b2＝3，則(a2＋2)＋(b2＋1)＝6，B級(jí)能力提升(1)求m的值；5.(2021·貴陽(yáng)診斷)設(shè)函數(shù)f(x)＝3|x＋1|＋|2x－1|的最小值為m.解當(dāng)x<－1時(shí)，