從歷史數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)收益和風(fēng)險(xiǎn)

國(guó)內(nèi)外經(jīng)典教材名師講堂博迪《投資學(xué)》主講教師：李紅剛第二部分投資組合理論第5章從歷史數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)收益和風(fēng)險(xiǎn)

5.1本章要點(diǎn)

●掌握一些關(guān)于利率的概念，如年百分比利

率、實(shí)際利率、有效利率等

●知道如何計(jì)算持有期收益率、以及期望收

益率和方差

●理解正態(tài)分布以及偏離正態(tài)分布的指標(biāo)

●理解超額收益、風(fēng)險(xiǎn)以及夏普比率

●理解非正態(tài)分布的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)

●了解歷史上不同資產(chǎn)收益率的時(shí)間序列特征

5.2重難點(diǎn)導(dǎo)學(xué)

一、利率（收益率）概念

（1）基本概念

利率是貨幣的時(shí)間價(jià)值。是投資收益率的一種表現(xiàn)形式。

貨幣時(shí)間價(jià)值的來(lái)源：消費(fèi)延期回報(bào)（消費(fèi)的時(shí)間偏好）；生產(chǎn)投資收益；風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償；通貨膨脹

利率用于資產(chǎn)和債務(wù)不同時(shí)期的等值計(jì)算（如終值和現(xiàn)值計(jì)算）（2）名義利率與實(shí)際利率

名義利率是貨幣增長(zhǎng)率，實(shí)際利率是購(gòu)買力增長(zhǎng)率。

設(shè)名義利率為R，實(shí)際利率為r，通脹率為i，則有r≈R－i。換句話說(shuō)，真實(shí)利率等于名義利率減去通脹率。

嚴(yán)格上講，名義利率和真實(shí)利率之間有下式成立：

顯然可以看出由r≈R－i得出的近似值高估了真實(shí)利率1＋i倍。

（3）稅收和實(shí)際利率

假設(shè)給定一個(gè)稅率t和名義利率R，稅后的名義利率則為R（1-t）。稅后實(shí)際利率近似等于稅后名義利率減去通貨膨脹率：（4）年百分比利率和有效年利率

年百分比利率（APR＝AnnualPercentageRate）：在金融合約中標(biāo)示利息支付時(shí)一般使用的標(biāo)示利率。為簡(jiǎn)單計(jì)，短期投資（依照約定，T<1年）利率通常采用APR而不是復(fù)利，APR與短期利率關(guān)系為。

有效（實(shí)質(zhì)）年利率（EAR=EffectiveAnnualRate）：是真正反映借貸價(jià)格的利率。

EAR與APR的關(guān)系為或。兩者差異源于1年內(nèi)的計(jì)息次數(shù)。特別地，當(dāng)T=1時(shí)兩者一致。表5-1年百分比利率（APR）與有效年利率（EAR）（5）連續(xù)復(fù)利收益率

連續(xù)復(fù)利收益率：當(dāng)T趨于零的時(shí)候，利用以上EAR與APR的關(guān)系定義連續(xù)復(fù)利rcc為：

其中e的取值為2.71828。

為從有效年利率中求rcc，從上式可以得到：。在連續(xù)復(fù)利利率框架下，對(duì)于任意一個(gè)時(shí)期T，總收益rcc（T）就可以簡(jiǎn)單等于exp（T×rcc）。而且實(shí)際利率r、名義利率R與通貨膨脹率i之間關(guān)系精確地表述為：

rcc（實(shí)際）=rcc（名義）-i。二、利率水平的決定因素

（1）真實(shí)利率均衡

真實(shí)利率均衡由四個(gè)基本因素決定：資金供給、資金需求、政府行為和通貨膨脹率。圖5-1描繪了市場(chǎng)均衡利率的確定。

圖5-1均衡實(shí)際利率的決定（2）名義均衡利率

資產(chǎn)的實(shí)際收益率等于名義利率減去通脹

率，因此，當(dāng)通脹率增加時(shí)，投資者會(huì)對(duì)其投資提出更高的名義利率要求，從而保證投資項(xiàng)目所提供的真實(shí)利率不變。

假設(shè)目前的預(yù)期通脹率將為E（i），歐文·費(fèi)雪（1930）等式為：R=r＋E（i）。這表明名義利率可以被視為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的必要實(shí)際收益率加上通脹的預(yù)測(cè)值。如果實(shí)際利率是穩(wěn)定的，名義利率的上漲意味著更高的通脹率。（3）預(yù)測(cè)利率的基本因素

利率水平及其未來(lái)價(jià)值的預(yù)測(cè)是投資決策的諸多投入中最為重要的部分。預(yù)測(cè)利率首先基于以下一些基本因素：

存款人特別是居民的資金供給；

企業(yè)由于購(gòu)置廠房設(shè)備及存貨而進(jìn)行項(xiàng)目融資所引發(fā)的資金需求；

政府通過(guò)聯(lián)邦儲(chǔ)備銀行運(yùn)作產(chǎn)生的資金凈供給或凈需求。

三、風(fēng)險(xiǎn)和風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)

（1）持有期收益率

持有期收益率（HPR）的定義為：

（2）期望收益與標(biāo)準(zhǔn)差

期望收益是所有情形下收益的加權(quán)平均

值。假設(shè)p(s)為各種情形的概率，r(s)為任一情形的持有期收益率HPR，各種情形的集合以s表示，可以得到期望收益為：

收益的標(biāo)準(zhǔn)差σ用來(lái)測(cè)度風(fēng)險(xiǎn)，它定義為方差的平方根：（3）超額收益和風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)

回報(bào)分為兩種：一種是投資于指數(shù)基金（風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)）的期望總收益；一種是投資于譬如國(guó)庫(kù)券、貨幣市場(chǎng)工具或銀行存款上（無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)）的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。

任何特定時(shí)期風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益之差稱為超額收益。風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)就是期望的超額收益。（4）夏普比率（風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬－風(fēng)險(xiǎn)比率）

金融中經(jīng)常使用超額收益（風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)）與標(biāo)準(zhǔn)差的比率評(píng)估投資組合的吸引力。

這種收益波動(dòng)的衡量方法廣泛應(yīng)用于評(píng)價(jià)投資管理者的績(jī)效。它在度量分散化投資組合風(fēng)險(xiǎn)－收益的關(guān)系時(shí)是一種合適的方法，但是其運(yùn)用在單個(gè)資產(chǎn)比如作為大的投資組合中的一部分股票時(shí)是不合適的。（5）非正態(tài)分布的風(fēng)險(xiǎn)度量

股票投資組合的收益都不是精確的正態(tài)分

布，由此導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)差可能不適合度量風(fēng)險(xiǎn)。在業(yè)內(nèi)還有三種常用方法用來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)：在險(xiǎn)價(jià)值（VaR）、尾部條件期望（CTE）和下偏標(biāo)準(zhǔn)差（LPSD）。

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR=valueatrisk）：是一個(gè)分布的分位數(shù)，對(duì)應(yīng)一定置信水平（置信度）和一定持有期內(nèi)，某一金融工具或其組合在未來(lái)資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)下所面臨的最大損失額。它是專業(yè)投資者廣泛使用的一種度量方法，此方法關(guān)注負(fù)極端收益的潛在損失。

尾部條件期望（conditiona1tai1expectation，CTE）：尾部條件期望值改善了風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR，因?yàn)樗紤]了分布整個(gè)尾部，特別是最壞的情況，更像一個(gè)期望值，因此提供了一個(gè)全面的潛在損失的描述，包括小概率事件發(fā)生的損失。

下偏標(biāo)準(zhǔn)差（lowerpartia1standarddeviation，LPSD）：只考慮低于期望收益值時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差，以度量“下偏風(fēng)險(xiǎn)”。許多從業(yè)者甚至用下偏標(biāo)準(zhǔn)差代替正常的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)計(jì)算夏普比率。四、歷史收益率數(shù)據(jù)的時(shí)間序列分析

（1）時(shí)間序列與情景分析

預(yù)測(cè)未來(lái)的情形可以設(shè)定一組相關(guān)情形和相應(yīng)投資結(jié)果（收益率），對(duì)每種情況設(shè)置一個(gè)概率值，計(jì)算出它們的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)（收益）和標(biāo)準(zhǔn)差（風(fēng)險(xiǎn)）。

與此對(duì)應(yīng)地，資產(chǎn)和投資組合的歷史數(shù)據(jù)只是以時(shí)間序列的收益率形式存在，必須從有限的數(shù)據(jù)中尋找出相應(yīng)的概率分布。

當(dāng)使用歷史數(shù)據(jù)時(shí)，常常將每種觀察到的結(jié)果都看作一種“情形”。如果有n個(gè)觀察事件，公式中的p（s）取可能的概率1／n。（2）期望收益：算術(shù)平均值或幾何平均值

兩者關(guān)系：幾何平均值顯著小于算術(shù)平均

值。如果收益服從正態(tài)分布，這種差異可以確

切地等于方差的一半，也就是：

幾何平均值=算術(shù)平均值-σ2／2。（3）方差和標(biāo)準(zhǔn)差

（4）收益率分布的正態(tài)性

①正態(tài)分布：“好”的性質(zhì)

圖5-2正態(tài)分布②偏離正態(tài)

■偏度（skew）：度量分布的不對(duì)稱性或者“偏度”。正態(tài)分布的偏度為零。

圖5-3正態(tài)分布和偏度分布（均值=6％，SD=17％）當(dāng)分布偏度為正的時(shí)候（偏度大于0），標(biāo)準(zhǔn)差高估風(fēng)險(xiǎn)，因?yàn)槠谕姓臉O值偏離（這不是投資者關(guān)心的內(nèi)容）會(huì)增加波動(dòng)。相反，當(dāng)分布偏度為負(fù)的時(shí)候，標(biāo)準(zhǔn)差將低估風(fēng)險(xiǎn)。

■峰度（kurtosis）：度量厚尾的程度,它關(guān)注均值兩邊極值出現(xiàn)的可能性。一個(gè)正態(tài)分布的峰度被定義為0，任何峰度大于0時(shí)表明其分布相對(duì)于正態(tài)分布存在厚尾特征。圖5-4在正態(tài)分布的基礎(chǔ)上疊加了一個(gè)同

樣均值和方差的厚尾分布，盡管對(duì)稱性仍然存在，但是其標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)低估極端事件帶來(lái)的大損失