全稱量詞與存在量詞

1.5.2

全稱量詞命題和存在量詞命題的否定上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了全稱量詞命題及存在量詞命題的概念，請(qǐng)問(wèn)如何對(duì)他們進(jìn)行否定？一個(gè)命題和它的否定之間是什么關(guān)系呢？（一）復(fù)習(xí)舊知，提出問(wèn)題判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，你能寫(xiě)出下列命題的否定嗎？（1）所有的矩形都是平行四邊形；（2）每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；（3）x∈R,x2－2x＋1≥0；（4）有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；（5）某些平行四邊形是菱形；（6）

x∈R,x2＋1＜0.（二）思考分析，提出猜想前三個(gè)命題都是全稱量詞命題，即具有“x∈M，p（x）”的形式；后三個(gè)命題都是存在量詞命題，即“∈M，p（x）”的形式.它們命題的否定又是怎么樣的呢？這就是我們這節(jié)課將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.分析寫(xiě)出下列命題的否定：（1）所有的矩形都是平行四邊形；（2）每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；（3）x∈R,x2－2x＋1≥0.探究一（三）新知探究經(jīng)過(guò)觀察，我們發(fā)現(xiàn)，以上三個(gè)全稱量詞命題的否定都可以用存在量詞命題表示.上述答案可改寫(xiě)成:（1）存在一個(gè)矩形不是平行四邊形；（2）存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)；（3）x0∈R，x02-2x0+1<0.全稱量詞命題p:x

∈M，p（x），它的否定┐p:x0

∈M,┐p（x0）.一般地,對(duì)于含有一個(gè)量詞的全稱量詞命題的否定,有下面的結(jié)論:（1）p：所有自然數(shù)的平方是正數(shù)；（2）p：所有可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是0；（3）p：每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.寫(xiě)出下列全稱量詞命題的否定：跟蹤訓(xùn)練小結(jié)：通過(guò)上面的學(xué)習(xí)，我們可以知道：全稱量詞命題的否定就是存在量詞命題，所以我們只要把全稱量詞命題改成它相應(yīng)的存在量詞命題即可.解：（1）┐p：有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)；（2）┐p：存在一個(gè)可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字不是0；（3）┐p：存在一個(gè)四邊形，它的四個(gè)頂點(diǎn)不共圓.（1）有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；（2）某些平行四邊形是菱形；（3）

x∈R,x2＋1＜0.寫(xiě)出下列命題的否定：探究二經(jīng)過(guò)觀察，我們發(fā)現(xiàn)，以上三個(gè)存在量詞命題的否定都可以用全稱量詞命題表示.上述答案可改寫(xiě)成:（1）所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù)；（2）每一個(gè)平行四邊形都不是菱形；（3）x∈R，x2+1≥0.一般地,對(duì)于含有一個(gè)量詞的存在量詞命題的否定,有下面的結(jié)論:存在量詞命題p：

x0

∈M，p（x0），它的否命題┐p:x

∈M,┐p（x）.（1）p:存在一對(duì)實(shí)數(shù)，使2x＋3y＋3>0成立；（2）p:有些三角形不是等腰三角形；（3）p:有一個(gè)素?cái)?shù)含三個(gè)正因數(shù).1.寫(xiě)出下列存在量詞命題的否定：跟蹤訓(xùn)練提示：通過(guò)上面的學(xué)習(xí)，我們可以知道：存在量詞命題的否定就是全稱量詞命題，所以我們只要把存在量詞命題改成它相應(yīng)的全稱量詞命題即可.解：（1）┐p：所有的實(shí)數(shù)都使得2x＋3y＋3≤0成立；（2）┐p：所有的三角形都是等腰三角形；（3）┐p：所有的素?cái)?shù)都不含有三個(gè)因數(shù).寫(xiě)出下列命題的否定，并判斷它們的真假；（1）p：每一個(gè)正方形都是平行四邊形；（2）p：有些三角形的三條中線相等；（3）p:x0

∈R，x02+2x0+2=0.提示：由上面學(xué)習(xí)的結(jié)論一和結(jié)論二，我們可以寫(xiě)出全稱量詞命題和存在量詞命題的相應(yīng)的命題的否定，從而就可以判斷其真假.（四）綜合運(yùn)用解：（1）┐p:

存在一個(gè)正方形，它不是平行四邊形，┐p假命題；（2）┐p：每一個(gè)三角形的三條中線不相等，┐p假命題；（3）┐p:x∈R,x2+2x+2≠0,┐p

是真命題.1.含有一個(gè)量詞的全稱量詞命題的否定：全稱量詞命題p：x

∈M，p（x），它的否定┐p：x0

∈M，┐p（x0）.全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.（五）課堂小結(jié)2.含有一個(gè)量詞的存在量詞命題的否定：存在量詞命題p

：x0

∈M，p（x0），它的否定┐p

：x∈M，┐p

（x）.存在量詞命題的否命題是全稱量詞命題.1.（2009年天津卷理）命題“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）（A）不存在x

0∈R,2x0>0

（B）存在x0∈R,2x0≥0

（C）對(duì)任意的x∈R,2x≤0

（D）對(duì)任意的x∈R,2x>0D【解析】由題意否定即“不存在x0∈R,使2x0≤0”，即“

x∈R,2x>0”，故選D.（六）高考鏈接2.(2007年海南、寧夏)已知命題p

：x

∈R，sinx≤1，則（）A．┐p：

x∈R，sinx≥1;B．┐p：x

∈R，sinx≥1;C．┐

p：

x∈R，sinx>1;D．┐p：x

∈R，sinx>1.C【解析】經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)，我們都知道：全稱命題

p：x

∈M，p（x）它的否定┐p：x0

∈M，┐p（x0）.所以答案選D.1.填空題（1）命題“存在一個(gè)三角形沒(méi)有外接圓”的否定是_________________________.（2）命題“x∈N,x3>x2”的否定是________________.任意一個(gè)三角形都有外接圓

x∈N,x3≤x2（七）隨堂練習(xí)（1）命題“原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱”的否定是（）A.原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于y=-x對(duì)稱B.原函數(shù)不與反函數(shù)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱C.存在一個(gè)原函數(shù)與反函數(shù)的圖象不關(guān)于y=x對(duì)稱D.存在原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱2.選擇題C（2）命題“所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)”的否定是（）A.所有能被3整除的整數(shù)都不是奇數(shù)B.不存在一個(gè)奇數(shù)，它不能被3整除C.存在一個(gè)奇數(shù)，它不能被3整除D.不存在一個(gè)奇數(shù)，它能被3整除C3.解答題

寫(xiě)出下列命題的否定，并判斷它們的真假：（1）正方形的四邊相等;（2）平方和為0的兩個(gè)實(shí)數(shù)都為0;（3）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，x>0.解：（1）存在一個(gè)正方形的四邊不相等,它是假命題；（2）平方和為0的兩個(gè)實(shí)數(shù)不都為0，它是假命題；（3）x0