銳角三角函數(shù) 公開課比賽一等獎

意大利的偉大科學(xué)家伽俐略，曾在斜塔的頂層做過自由落體運動的實驗.．銳角三角函數(shù)（1）

問題為了綠化荒山,某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設(shè)水管,在山坡上修建了座揚水站,對坡面的綠地進(jìn)行噴灌.現(xiàn)測得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是300,為使出水口的高度為35m,那么需要準(zhǔn)備多長的水管?這個問題可以歸結(jié)為,在Rt△ABC中,∠C=900,∠A=300,BC=35m,求AB.根據(jù)“在直角三角形中,300角所對的邊等于斜邊的一半”即:可得AB=2BC=70m,也就是說,需要準(zhǔn)備70m長的水管.探究

在上面的問題中,如果使出水口的高度為50m,那么需要準(zhǔn)備多長的水管??思考

在上面求(所需水管的長度)的過程中,我們用到了結(jié)論:在一個直角三角形中,如果一個銳角等于300,那么不管三角形的大小如何,這個角的對邊與斜邊的比值都等于.12歸納

如圖,任意畫一個△ABC,使∠C=900,∠A=450,計算∠A的對邊與斜邊的比,你能得出什么結(jié)論?BCAB?思考

如圖,在Rt△ABC中,∠C=900,由于∠A=450,所以Rt△ABC是等腰直角三角形,由勾股定理得:AB2=AC2+BC2=2BC2即在直角三角形中，當(dāng)一個銳角等于450時，不管這個直角三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比都等于歸納

綜上可知，在一個Rt△ABC中，∠C=900，當(dāng)∠A=300時，∠A的對邊與斜邊的比都等于，是一個固定值;當(dāng)∠A=450時，∠A的對邊與斜邊的比都等于，也是一個固定值．一般地，當(dāng)∠Ａ取其他一定度數(shù)的銳角時，它的對邊與斜邊的比是否也是一個固定值？任意畫Rt△ABC和△A’B’C’，使得∠C=∠C’，∠A=∠A’=α，那么與有什么關(guān)系，你能解釋一下嗎？BCABABB’C’A’B’探究

在圖中，由于∠Ｃ＝∠Ｃ’=900，∠A=∠A’=α,所以Rt△ABC∽△A’B’C’．BCABB’C’A’B’BCB’C’ABA’B’即：

這就是說，在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比也是一個固定值．

如圖，在Rt△ABC中，∠C=900，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦(sine)，記作sinA，即∠A的對邊記作a∠B的對邊記作b.∠C的對邊記作c.CB斜邊c鄰邊b對邊aA例如，當(dāng)∠A=300時，我們有

當(dāng)∠A=450時，我們有銳角A的正弦定義

例1如圖,在Rt△ABC中,∠C=900,求sinA和sinB的值.解:(1)在Rt△ABC中,

求sinA就是要確定∠A的對邊與斜邊的比,求sinB就是要確定∠B的對邊與斜邊的比.例題講解2.根據(jù)下圖,求sinA和sinB的值.練一練1.判斷對錯:A10m6mBC√√×××如圖,在Rt△ABC中,∠C=900,當(dāng)銳角A確定時,∠A的對邊與斜邊的比就隨之確定,此時,其他邊之間的比是否也確定了呢?為什么?探究

在Rt△ABC中，∠C=900，我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦(cosine)，記作cosA，即類似于正弦的情況，在圖中，當(dāng)銳角Ａ的大小確定時，∠A的鄰邊與斜邊的比、∠A的對邊與鄰邊的比也分別是確定的．∠A的對邊記作a.∠B的對邊記作b.∠C的對邊記作c.銳角A的余弦定義

在Rt△ABC中，∠C=900，我們把銳角A的對邊與銳角Ａ的鄰邊的比叫做∠A的正切(tangent)，記作tanA，即∠A的對邊記作a.∠B的對邊記作b.∠C的對邊記作c.銳角A的正切定義

銳角的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳有三角函(trigonometricfunctionofacuteangle).銳角三角函數(shù)定義(1)sinA不是一個角(2)sinA不是sin與A的乘積(3)sinA是一個比值(4)sinA沒有單位(5)對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一的確定的值與它對應(yīng)，所以sinA是角A的函數(shù)。注意：

例2如圖，在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝6,sinA＝,求cosA、tanB的值．解：∵又ABC6例題講解

例３、在△ABC中，AB=AC＝4，BC=6，求∠B的三角函數(shù)值。例題講解DCBA解：過A作AD⊥BC于D例４.已知∠A為銳角，sinA＝,求cosA、tanA的值。例題講解CBA設(shè)BC=15k,則AB=17k;由勾股定理得1.分別求出下列直角三角形中兩個銳角的正弦值、余弦值和正切值．練一練ABC1312通過本題的計算你發(fā)現(xiàn)了什么？一般地，在Rt△ABC中，∠C=90°,BAC1312在直角三角形中，兩銳角A+B=90度，則A、B的三角函數(shù)有如下關(guān)系：2.在Rt△ABC中，如果各邊長都擴大2倍，那么銳角A的正弦值、余弦值和正切值有什么變化？ABC解：設(shè)各邊長分別為a、b、c，∠A的三個三角函數(shù)分別為則擴大2倍后三邊分別為2a、2b、2cABC練一練3.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝，求：sinA、cosB的值．ABC8解：練一練1.下圖中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足為D.指出∠A和∠B的對邊、鄰邊.ABCD(1)sinA=

=AC()BC()(3)sinB=

=AB()CD()CDABBCAC(2)cosA=

=AC()AC()(4)cosB=

=AB()BD()ADABBCCB課后測評2.在Rt△ABC中，銳角A的對邊和斜邊同時擴大

100倍，sinA的值（）

A.擴大100倍B.縮小

C.不變D.不能確定CACB373003.如圖則sinA=______.124.如圖：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高

，且BC=3,CD=2,求銳角A的正弦。CBAD5.在△ABC中,a:b:c=5:13:12,求銳角A的正弦.銳角三角函數(shù)定義:小結(jié)(2)sinA、cosA是一個比值（數(shù)值）。(3)sinA、cosA的大小只與∠A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān)。(1)sinA、cosA是在直角三角形中定義的，∠A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角形)。定義中應(yīng)注意的幾個問題：課后思考sin30