初中數(shù)學(xué)滬科版八年級下冊一元二次方程17．4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系“百校聯(lián)賽”一等獎

中物理滬科版數(shù)學(xué)八年級下冊第17章一元二次方程17.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1、一元二次方程的一般形式是什么？3、一元二次方程的根的情況怎樣確定？2、一元二次方程的求根公式是什么？ax2+bx+c=0（b2-4ac≥0）△=b2-4ac(a≠0)有兩個不相等的實數(shù)根；有兩個相等的實數(shù)根；沒有實數(shù)根；?＝0?＜0?＞0?≥0有兩個實數(shù)根.

回顧&思考?

一元二次方程的根都可由它的各項系數(shù)通過運算得到.

再根據(jù)系數(shù)a、b、c的值求出方程的根，導(dǎo)入新課前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)用公式法解一元二次方程.利用一元二次方程的求根公式，話句話講，與該方程的各項系數(shù)之間有怎樣的關(guān)系呢？進一步，你是否注意到每個方程中的兩根之和兩根之積(x1+x2)、（x1x2）填寫下表，方程x2+3x-4=0x2-5x+6=02x2+3x+1=0x1x2x1+x2x1x2兩個根兩根之和兩根之積a與b之間關(guān)系a與c之間關(guān)系ba-ca-41-3-4-3-423565612--132-1232-12那么x1+x2=

，探究新知然后觀察根與系數(shù)的關(guān)系：根據(jù)你的觀察，猜想：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根如果是x1，x2，x1x2=.ba-ca驗證結(jié)論那么x1+x2=

，根據(jù)你的觀察，猜想：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根如果是x1，x2，x1x2=.ba-ca你能證明上面的猜想嗎？驗證結(jié)論我們知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為

∴

驗證結(jié)論我們知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為

∴

歸納總結(jié)

一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系.由上面證明過程可知，那么這就是根與系數(shù)的關(guān)系，如果ax2+bx+c=0(a≠0)

的兩個根為

x1，x2

,

x1+x2=

，x1x2=ba-ca韋達定理.通常稱為1、利用韋達定理的前提條件是注意：方程要有實數(shù)根，

?=b2-4ac即≥02、利用韋達定理時，要先把一元二次方程化為一般形式.

這時韋達定理應(yīng)是：探究新知

它的標準形式為x2+px+q=0.當一元二次方程的二次項系數(shù)為1時，設(shè)它的兩個根為

x1，x2

,

x1+x2=

，x1x2=-pq鞏固練習(xí)1、不解方程，求下列方程的兩根的和與積.(1)x2-5x+2=0(2)4x2-2x-7=0解：(1)x1+x2=

ba-=-51-=5x1x2=ca=21=2(2)x1+x2=

ba-=-24-x1x2=ca=-74=12=74-鞏固練習(xí)1、不解方程，求下列方程的兩根的和與積.(4)2x2+3x=0(3)3x2+10=2x2+8x解：(4)x1+x2=

ba-=32-x1x2=ca=028(3)x1+x2=

ba-=-81-x1x2=ca=101==將原方程化為標準形式，得x2-8x+10=0=010鞏固練習(xí)1、不解方程，求下列方程的兩根的和與積.(4)2x2+3x=0(3)3x2+10=2x2+8x1、利用韋達定理的前提條件為注意：方程有實數(shù)根，

?=b2-4ac即≥02、利用韋達定理時，要把一元二次方程化為一般形式.

只要看這兩數(shù)之和是否等于，鞏固練習(xí)2、判定下列各方程后面括號內(nèi)的兩個數(shù)是不是它的兩個根.(1)x2+5x+4=0(1，4)(2)x2-6x-7=0(-1，7)且兩數(shù)之積是否等于即可.(3)3x2+5x-2=0(，2)(4)x2-8x+11=013-判斷所給的兩數(shù)是不是一元二次方程的根，ba-ca×√×√解法一：∵方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2∴解得∴

原方程為

解得x1=2，綜上所述：方程的另一個根是-3,k的值是-2.3、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,求它的另一個根及k的值.鞏固練習(xí)22-2(k+1)+3k=0k=-2x2+x-6=0x2=-3∴

方程的另一個根是－33、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,求它的另一個根及k的值.解法二：設(shè)方程的另一個根為x2.由根與系數(shù)的關(guān)系，得2

＋x2

2x2

解方程組，得x2=-3k=-2綜上所述：：方程的另一個根是-3,k的值是-2.鞏固練習(xí)=k+1=3k對應(yīng)練習(xí)

已知關(guān)于x的方程3x2-19x＋m＝0的一個根是1，求它的另一個根及m的值．解：設(shè)方程的另一個根為x2.由根與系數(shù)的關(guān)系，得1＋x2

x2

解方程組，得x2=m=16綜上所述：方程的另一個根是,k的值是16.==193m3163163

一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和，4、方程2x2-3x+1=0的兩個根記作x1，x2，不解方程，鞏固練習(xí)求x1-x2

的值.再整體代入求值.方法分析：求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時，兩根之積的形式，4、方程2x2-3x+1=0的兩個根記作x1，x2，不解方程，鞏固練習(xí)求x12+x22

的值.解：由韋達定理，得x1+x2=

x1x2=1232，∴x12+x22

=x12+x22

=（x1+x2）2

-2x1x2=（

）2

3212=54+2x1x2-2x1x2-2×方程2x2-3x+1=0的兩個根記作x1，x2，不解方程，求（x1-x2）2

的值.解：由韋達定理，得x1+x2=

x1x2=1232，∴（x1-x2）2

=x12-2x1x2+x22

=x12+

2x1x2+x22

-4x1x2=（

）2

3212=14變式練習(xí)1=（x1+x2）2

-4x1x2-4×方程2x2-3x+1=0的兩個根記作x1，x2，不解方程，求x1-x2

的值.解：由韋達定理，得x1+x2=

x1x2=1232，∴（x1-x2）2

=（

）2

3212=14變式練習(xí)2=（x1+x2）2

-4x1x2∴x1-x2=±12-4×常用代數(shù)式變形方法總匯1、x12+x22

=（x1+x2）2

-2x1x22、（x1-x2）2

=（x1+x2）2

-4x1x2常用代數(shù)式變形方法總匯提升練習(xí)A、a=bB、b=cC、a=cD、a=b=c1、關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根如果互為倒數(shù)，那么（）CA、p>0且q>0B、p>0且q<0C、p<0且q>0D、p<0且q<02、關(guān)于x的方程x2+px+q的兩根同為負數(shù)，則（）.A3、如果方程x2+kx+8=0的一根是另一根的2倍，那么K=

.±6提升練習(xí)4、設(shè)a，b是方程x2+x-2015=0的兩個實數(shù)根，求a2+2a+b的值.解：∵

a是方程x2+x-2015=0的根∴

a2+a-2015=0

∴

a2+a=2015又∵

a，b是方程x2+x-2015=0的兩個實數(shù)根∴由韋達定理可得a+b=-1∴

a2+2a+b=a2+a+a+b=2015-1=2014提升練習(xí)5、已知x1，x2是方程x2-2x+a=0的兩個實數(shù)根，且x1+2x2=5.求

x1，x2及a的值.解：∵

x1，x2是方程x2-2x+a=0的兩個實數(shù)根∴

x1+x2=2,∴x1+2x2=5

又∵x1x2=a∴x1+x2+x2=5即2+x2=5∴x2=3∵

x1+x2=2∴x1=-1x1x2=a∴a=-1×3=-3

綜上所述：x1，x2及a的值分別為-1,3，-3.

一元二次方程x2+2x+2m=0有兩個不相等的實數(shù)根.提升練習(xí)6、已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有兩個不相等的實數(shù)根.解:(1)(1)求m的取值范圍；

(2)若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的兩個根，且

x12+x22

=8，求m的值.∵

一元二次方程x2+2x+2m=0有兩個不相等的實數(shù)根∴

△=b2-4ac=4×1×2m22-=4-8m＞0解得∴當時，提升練習(xí)6、已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有兩個不相等的實數(shù)根.解:(2)(1)求m的取值范圍；

(2)若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的兩個根，且x12+x22

=8，求m的值.∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的兩個根∴

x1+x2=-2,x1x2=2m又∵x12+x22

=8∴(x1+x2)2-2x1x2=8∴(-2)2-2×2m=8解得m=-1由(1)可知∴m=-1符合題意∴m的值為-1提升練習(xí)6、已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有兩個不相等的實數(shù)根.解:(2)(1)求m的取值范圍；

(2)若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的兩個根，且x12+x22

=8，求m的值.∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的兩個根∴

x1+x2=-2,x1x2=2m又∵x12+x22

=8∴(x1+x2)2-2x1x2=8∴(-2)2-2×2m=8解得m=-1由(1)可知∴m=-1符合題意∴m的值為-1提升練習(xí)6、已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有兩個不相等的實數(shù)根.解:(2)(1)求m的取值范圍；

(2)若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的兩個根，且x12+x22

=8，求m的值.∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的兩個根∴

x1+x2=-2,x1x2=2m又∵x12+x22

=8∴(x1+x2)2