初中數(shù)學(xué)浙教版九年級(jí)下冊(cè)直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系【全國(guó)一等獎(jiǎng)】

2.1直線與圓的位置關(guān)系（第2課時(shí)）浙教版九年級(jí)下冊(cè)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有哪幾種？

（1）d<r（2）d=r（3）d>rABCd點(diǎn)A在圓內(nèi)

點(diǎn)B在圓上點(diǎn)C

在圓外三種位置關(guān)系O點(diǎn)到圓心距離為d⊙O半徑為r回顧：把鑰匙環(huán)看作一個(gè)圓，把直尺邊緣看成一條直線.固定圓，平移直尺，直線和圓分別有幾個(gè)公共點(diǎn)?●O●O相交●O相切相離直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可判定它們關(guān)系探究活動(dòng)二

直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們就說(shuō)這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn).

直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們就說(shuō)這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線

直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，這時(shí)我們就說(shuō)這條直線和圓相離.兩個(gè)公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)一個(gè)公共點(diǎn)1.直線和圓的位置關(guān)系有三種(從直線與圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù))2.用圖形表示如下:.o.oll相切相交切線切點(diǎn)割線...沒(méi)有公共點(diǎn)有一個(gè)公共點(diǎn)有兩個(gè)公共點(diǎn).ol相離交點(diǎn)快速判斷下列各圖中直線與圓的位置關(guān)系.Ol.O1.Ol.O2ll.1)2)3)4)相交相切相離直線l與O1相離直線l與

O2相交O(從直線與圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù))●●●●●直線與圓的位置關(guān)系量化如圖，圓心O到直線的距離d與⊙O的半徑r的大小有什么關(guān)系?●O●O相交●O相切相離rrr┐dd┐d┐1)直線和圓相交dr;d

r;2)直線和圓相切3)直線和圓相離dr;<=>

一判定直線與圓的位置關(guān)系的方法有____種：（1）根據(jù)定義，由________________

的個(gè)數(shù)來(lái)判斷；（2）由_________________

的大小關(guān)系來(lái)判斷在實(shí)際應(yīng)用中，常采用第二種方法判定兩直線與圓的公共點(diǎn)圓心到直線的距離d與半徑r3)若AB和⊙O相交，則

.1、已知⊙O的半徑為6cm，

圓心O與直線AB的距離為d，

根據(jù)條件填寫(xiě)d的范圍:1)若AB和⊙O相離，

則

;2)若AB和⊙O相切，

則

;d>6cmd=6cmd<6cm0cm≤2.直線和圓有2個(gè)交點(diǎn)，則直線和圓_________;

直線和圓有1個(gè)交點(diǎn)，則直線和圓_________;

直線和圓有沒(méi)有交點(diǎn)，則直線和圓_________;相交相切相離三、練習(xí)與例題圓的直徑是13cm

，如果直線與圓心的距離分別是，(1)4.5cm;(2)6.5cm;(3)8cm.

那么直線和圓分別是什么位置關(guān)系?有幾個(gè)公共點(diǎn)?(3)當(dāng)d=8cm時(shí)，

有d>r，因此圓與直線相離，沒(méi)有公共點(diǎn).當(dāng)

r=6.5cm時(shí)，

有

d=r，因此圓與直線相切，有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)d=4.5cm時(shí)，

有d<r，

因此圓與直線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn).解:

r=6.5cm，設(shè)直線與圓心的距離為d.例1已知：如圖2-3，P為∠ABC的角平分線上一點(diǎn)，⊙P與BC相切．求證：⊙P與AB相切．證明設(shè)⊙P的半徑為r，點(diǎn)P到BC，AB的距離分別為d1，d2.∵點(diǎn)P在∠ABC的平分線上，∴d1＝d2．又⊙P與BC相切，∴d1＝r，則d2＝r.∴⊙P與AB相切．例2在碼頭A的北偏東60°方向有一個(gè)海島，離該島中心P的12海里范圍內(nèi)是一個(gè)暗礁區(qū)．貨船從碼頭A由西向東航行，行駛了10海里到達(dá)點(diǎn)B，這時(shí)島中心P在北偏東45°方向．若貨船不改變航向，則貨船會(huì)不會(huì)進(jìn)入暗礁區(qū)？解畫(huà)示意圖如圖2-4．暗礁區(qū)的圓心為P，作PH⊥AB，垂足為H，則∠PAH＝30°，∠PBH＝45°，∴AH＝

PH，BH＝PH.∴AH-BH＝AB＝10，∴PH＝PH＝10，∴PH＝

（海里）.∵貨船不會(huì)進(jìn)人暗礁區(qū)．

下雨天轉(zhuǎn)動(dòng)雨傘時(shí)飛出的水，以及在砂輪上打磨工件飛出的火星，均沿著圓的切線的方向飛出．1當(dāng)你在下雨天快速轉(zhuǎn)動(dòng)雨傘時(shí)水飛出的方向是什么方向？2砂輪打磨零件飛出火星的方向是什么方向？情景導(dǎo)入經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂于這條半徑的直線是圓的切線條件：(1)經(jīng)過(guò)半徑的外端；圓的切線判定定理：(2)垂直于過(guò)該點(diǎn)半徑；●O┐Al∵l⊥OA，且l經(jīng)過(guò)⊙O上的A點(diǎn)∴直線l是⊙O的切線符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)判斷1.過(guò)半徑的外端的直線是圓的切線（）2.與半徑垂直的直線是圓的切線（）3.過(guò)半徑的端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線（）×××OrlAOrlAOrlA1、如何判定一條直線是已知圓的切線？(1)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；(2)到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；(3)過(guò)半徑外端點(diǎn)且和半徑垂直的直線是圓的切線；(d=r)歸納：直線AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB，

求證:直線AB是⊙O的切線.證明:連接OC∵OA=OB，

CA=CB∴△OAB是等腰三角形，OC

是底邊AB上的中線∴OC⊥AB∴AB是⊙O的切線OCBA這種證明方法簡(jiǎn)記為：“證切線，連半徑，證垂垂直”注意：使用此方法時(shí)必須已知直線與圓有一公共點(diǎn)例3已知：如圖2-6，A是⊙O外一點(diǎn)，AO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)B在圓上，且AB＝BC，∠

A＝30

°．求證：直線AB是⊙O的切線．證明連結(jié)OB.∵OB＝OC，AB＝BC，∠A＝30°，∴∠OBC＝∠

C＝∠A＝30

°，∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.∵∠ABO＝180

°-(∠AOB＋∠

A)＝180°-（60°+30°)＝90°，∴AB⊥OB，∴AB為⊙O的切線（經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線）.例4如圖2-7，臺(tái)風(fēng)中心P(100，200)沿北偏東30°方向移動(dòng)，受臺(tái)風(fēng)影響區(qū)域的半徑為200km．那么下列城市A(200，380)，B(600，480)，C(550，300)，D(370，540）中，哪些受到這次臺(tái)風(fēng)的影響，哪些不受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？解如圖2-7，在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出以點(diǎn)P(100，200)為圓心，以200為半徑的⊙O，再在點(diǎn)P處畫(huà)出北偏東30

°方向的方向線，作垂直于方向線的⊙P的直徑HK，分別過(guò)點(diǎn)H，K作⊙O的切線l1，l2，則l1//l2.

因?yàn)榕_(tái)風(fēng)圈在兩條平行線l1，l2之間移動(dòng)，點(diǎn)A，D落在切線l1，l2之間，所以受到這次臺(tái)風(fēng)的影響；而點(diǎn)B，C不在切線l1，l2之間，所以不受到這次臺(tái)風(fēng)的影響．練習(xí)1、如圖，AB是⊙O的直徑，∠ABC=45°，AC=AB，AC是⊙O的切線嗎？為什么？BACO解：∵AB=AC

∴∠ACB=∠ABC=45°

∴∠BAC=90°即AB⊥AC

∵

AB是⊙O的直徑∴

AC是⊙O的切線變式練習(xí)練習(xí)2、如圖:線段AB經(jīng)過(guò)圓心O，交⊙O于點(diǎn)A、C，∠BAD=∠B=30°，邊BD交圓于點(diǎn)D.BD是⊙O的切線嗎？為什么？AOBCD解：BD是⊙O的切線連接OD

∵

OD=OA∴∠ODA=∠BAD=∠B=30°

∴∠

BOD=60°

∴∠ODB=90°即：OD⊥DB

∴BD是⊙O的切線變式練習(xí)例5木工師傅可以用角尺測(cè)量并計(jì)算出圓的半徑．如圖2-9，用角尺的較短邊緊靠⊙O于點(diǎn)A，并使較長(zhǎng)邊與⊙O相切于點(diǎn)C.記角尺的直角頂點(diǎn)為B，量得AB＝8cm，BC＝16cm．求⊙O的半徑．解連結(jié)OA，OC，作AD⊥OC，垂足為D．設(shè)⊙O的半徑為r.∵⊙O與BC相切于點(diǎn)C，∴OC⊥BC（經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直于圓的切線）.∵AB⊥BC，AD⊥OC，∴四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，DC＝AB，OD＝OC-CD＝OC-AB.在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，即r2＝(r-8)2+162，解得r＝20.∴⊙O的半徑為20cm.例6已知：如圖2-10，直線AB與⊙O相切于點(diǎn)C，AO交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)CD，OC求證：∠ACD＝∠COD.證明如圖2-10，作OE⊥

CD于點(diǎn)E，則∠COE＋∠OCE＝Rt∠．∵⊙O與AB相切于點(diǎn)C，∴OC⊥AB（經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直于圓的切線），即∠ACD＋∠OCE＝Rt∠．∵∠ACD＝∠COE.∵△ODC是等腰三角形，OE⊥CD，∴∠COE＝∠COD，∴∠ACD＝∠COD.切線的性質(zhì)定理的應(yīng)用已知Rt△ABC的斜邊AB=8cm，直角邊AC=4cm.以點(diǎn)C為圓心作圓，當(dāng)半徑為多長(zhǎng)時(shí)，AB與⊙C相切解:(1)過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D.∵AB=8cm，AC=4cm.∴∠A=60°因此，當(dāng)半徑長(zhǎng)為

cm時(shí)，AB與⊙C相切.BAC┐∴∠B=30°D┛

練一練想一想

過(guò)圓O內(nèi)一點(diǎn)作直線，這條直線與圓有什么位置關(guān)系？過(guò)半徑OA上一點(diǎn)（A除外）能作圓O的切線嗎？過(guò)點(diǎn)A呢？Orl

ACldddCCEFd＜r直線l與⊙A相交直線l與⊙A相切d＝r直線l與⊙A相離d＞r共同回顧

公共點(diǎn)

公共點(diǎn)

公共點(diǎn)，點(diǎn)C叫做直線l叫做⊙A的直線l叫做⊙A的兩個(gè)唯一切線切點(diǎn)沒(méi)有割線圓心O到直線的距離為d相交相切相離

直線和圓的位置關(guān)系有三種●●●(1)如果已知直線經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)，則連結(jié)這點(diǎn)和圓心，得到輔助半徑，再證所作