預(yù)備知識4一元二次函數(shù)與一元二次不等式一元二次不等式及其解法“黃岡賽”一等獎

4.2一元二次不等式及其解法某雜志以每本2元的價格發(fā)行時，發(fā)行量為10萬冊.經(jīng)過調(diào)查，若價格每提高0.2元，發(fā)行量就減少5000冊.要使雜志社的銷售收入大于22.4萬元，每本雜志的價格應(yīng)定在怎樣的范圍內(nèi)？1.經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義.2.能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.從函數(shù)觀點理解一元二次不等式的概念（數(shù)學(xué)抽象）感悟數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，會通過三個“二次”之間的聯(lián)系求解一元二次不等式（數(shù)學(xué)運算）能夠熟練作出對應(yīng)的一元二次函數(shù)圖像，具備熟練的作圖讀圖能力（直觀想象）探究一

一元二次不等式的概念（1）只含有一個未知數(shù)x；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)為2.觀察不等式有兩個特點：我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.一元二次不等式的定義：一元二次不等式的一般表達(dá)式為ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)或ax2+bx+c≤0(a≠0)或ax2+bx+c≥0(a≠0)，其中a，b，c均為常數(shù).下列不等式中一元二次不等式的個數(shù)為(

)①(m＋1)x2－3x＋1＜0；②③－x2＋5x＋6≥0；④(x＋a)(x＋a＋1)＜0.A．1

B．2C．3 D．4【解析】選B.③④符合一元二次不等式的定義；對于①當(dāng)m＋1＝0時，不是一元二次不等式；而②不符合一元二次不等式的形式定義。B【即時訓(xùn)練】怎樣求一元二次不等式x2-5x≤0的解集？畫出二次函數(shù)的圖象.（1）當(dāng)取

時，y=0.

當(dāng)

時，y>0.

當(dāng)

時，y<0.O5xy0或5y=x2-5x探究二

一元二次不等式的解法提示:

（2）由圖象可知：不等式的解集為

;

不等式的解集為

.

O5xy不等式的解集是什么？無實根的圖象有兩個不等實根有兩個相等實根完成下表：xxxyyyOOO一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解方法解為x1=x2解為x1,x2,其中x1<x2無實數(shù)解不等式的解集為是是否否不等式的解集為不等式的解集為R解不等式2x2－3x－2>0

.【解析】因為△=(-3)2-4×2×(-2)>0,所以方程2x2－3x－2=0的解是所以,原不等式的解集是【規(guī)律方法】先求對應(yīng)方程的根,然后作出二次函數(shù)圖象結(jié)合圖像找解集。注意:開口向上,大于0解集是大于大根,小于小根;小于0的解集是大于小根，小于大根.【即時訓(xùn)練】

例1求不等式的解集.【解析】原不等式可變形為所以原不等式的解集為解不等式：所以原不等式可化為所以原不等式的解集為【變式訓(xùn)練】【解析】例2求不等式的解集.而的圖象開口向上，【解析】不等式可化為所以方程無實數(shù)根，所以原不等式的解集為注意:二次項系數(shù)為負(fù)數(shù)時，先轉(zhuǎn)化為正數(shù)再求解.求不等式的解集.而的圖象開口向上，【解析】不等式可化為所以方程有兩個實數(shù)根所以原不等式的解集為【變式訓(xùn)練】先轉(zhuǎn)化為一般式（2)求方程的根,解一元二次不等式的一般步驟：（1）化成不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式:并畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象；【反思感悟】（3）由圖象得出不等式的解集:一元二次不等式及其解法核心知識方法總結(jié)易錯提醒核心素養(yǎng)二次不等式的解法:化標(biāo)準(zhǔn)式，看判別式符號，求方程的根，畫拋物線，得解集三個二次的關(guān)系：（1）方程的根是不等式解集的端點橫坐標(biāo)；（2）不等式大于0對應(yīng)拋物線在x軸上方的部分，小于0則對應(yīng)x軸下方的部分解含參數(shù)的不等式：（1）注意特殊情況，如二次項系數(shù)是否為0，判別式符號等；（2）確定方程的兩個根時要討論兩根的大小關(guān)系數(shù)學(xué)運算：通過一元二次不等式的解法，建立三個二次的關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)二次不等式二次方程二次函數(shù)三個二次的關(guān)系B【解析】選B.∵M＝{x|(x-4)(x+1)<0}＝(-1,4)

∴結(jié)合數(shù)軸可得M∩N=[0,4)2．不等式(x－2)(x＋3)＞0的解集是(

)A．(－3,2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)【解析】選C不等式(x－2)(x＋3)＞0的解集是(－∞，－3)∪(2，＋∞).C3．設(shè)集合A＝{x|(x－1)2＜3x＋7}，則A∩Z中有______個元素．6【解析】(x－1)2＜3x＋7?x2－5x－6＜0?－1＜x＜6，∴A＝{x|－1＜x＜6}，

∴A∩Z＝{0,1,2,3,4,5}，∴A∩Z中有6個元素．4.解不等式：x2＋2x－15＞0【解析】x2＋2x－15＞0?(x＋5)(x－3)＞0?x＜－5或x＞3，∴不等式的解集是{x|x＜－5或x＞3}．5.解下列不等式:(1)x(7-x)≥12;(2)x2>2(x-1).提示：由于所給的不等式不是一般形式,故應(yīng)先將它們轉(zhuǎn)化為一般形式,即不等式(1)可以化為x2-7x+12≤0再求解,不等式(2)可以化為x2-2x+2>0再求解.【解析】(1)原不等式可化為x2-7x+12≤0,Δ=1>0,對應(yīng)方程x2-7x+12=0的兩根為x1=3,x2=4,所以原不