高中數學蘇教版不等式二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題蘇教版簡單的線性規(guī)劃問題

3.3.3簡單的線性規(guī)劃問題第3章§3.3二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題1.了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標函數、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念.2.了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題.學習目標知識梳理自主學習題型探究重點突破當堂檢測自查自糾欄目索引知識梳理自主學習知識點一線性規(guī)劃中的基本概念答案名稱意義約束條件

關于變量x，y的__________線性約束條件

關于x，y的一次不等式(組)目標函數

欲求最大值或最小值的關于變量x，y的函數解析式線性目標函數

關于變量x，y的一次解析式可行解

滿足

的解(x，y)可行域

由所有

組成的集合最優(yōu)解

使目標函數取得

的可行解線性規(guī)劃問題

在

條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題不等式(組)線性約束條件可行解最大值或最小值線性約束答案知識點二線性規(guī)劃問題1.目標函數的最值互相平行最大最小最小最大2.解決簡單線性規(guī)劃問題的一般步驟在確定線性約束條件和線性目標函數的前提下，解決簡單線性規(guī)劃問題的步驟可以概括為：“畫、移、求、答”四步，即，(1)畫：根據線性約束條件，在平面直角坐標系中，把可行域表示的平面圖形準確地畫出來，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側開放的無限大的平面區(qū)域.(2)移：運用數形結合的思想，把目標函數表示的直線平行移動，最先通過或最后通過的頂點(或邊界)便是最優(yōu)解.(3)求：解方程組求最優(yōu)解，進而求出目標函數的最大值或最小值.(4)答：寫出答案.知識點三簡單線性規(guī)劃問題的實際應用1.線性規(guī)劃的實際問題的類型(1)給定一定數量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源，使完成的任務量最大，收到的效益最大；(2)給定一項任務，問怎樣統(tǒng)籌安排，使完成這項任務耗費的人力、物力資源量最小.常見問題有：①物資調動問題例如，已知兩煤礦每年的產量，煤需經兩個車站運往外地，兩個車站的運輸能力是有限的，且已知兩煤礦運往兩個車站的運輸價格，煤礦應怎樣編制調動方案，才能使總運費最小？②產品安排問題例如，某工廠生產甲、乙兩種產品，每生產一個單位的甲種或乙種產品需要的A、B、C三種材料的數量，此廠每月所能提供的三種材料的限額都是已知的，這個工廠在每個月中應如何安排這兩種產品的生產，才能使每月獲得的總利潤最大？③下料問題例如，要把一批長鋼管截成兩種規(guī)格的鋼管，應怎樣下料能使損耗最??？2.解答線性規(guī)劃實際應用題的步驟(1)模型建立：正確理解題意，將一般文字語言轉化為數學語言，進而建立數學模型，這需要在學習有關例題解答時，仔細體會范例給出的模型建立方法.(2)模型求解：畫出可行域，并結合所建立的目標函數的特點，選定可行域中的特殊點作為最優(yōu)解.(3)模型應用：將求解出來的結論反饋到具體的實例中，設計出最佳的方案.返回題型探究重點突破解析答案反思與感悟題型一求線性目標函數的最值解析首先畫出可行域，建立在可行域的基礎上，分析最值點，然后通過解方程組得最值點的坐標，代入即可.如圖中的陰影部分，即為約束條件對應的可行域，當直線y＝－3x＋z經過點A時，z取得最大值.11圖解法是解決線性規(guī)劃問題的有效方法.其關鍵在于平移目標函數對應的直線ax＋by＝0，看它經過哪個點(或哪些點)時最先接觸可行域和最后離開可行域，則這樣的點即為最優(yōu)解，再注意到它的幾何意義，從而確定是取最大值還是最小值.反思與感悟解析答案解析如圖，由y＝ax＋z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距，故當a>0時，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝2；當a<0時，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝－1.2或－1解析答案解析由題意，作出約束條件組成的可行域如圖所示，當目標函數z＝3x＋y，即y＝－3x＋z過點(0,1)時，z取最小值1.1解析答案題型二非線性目標函數的最值問題(1)x2＋y2的最小值；反思與感悟解析答案解如圖，畫出不等式組表示的平面區(qū)域ABC，(1)令u＝x2＋y2，其幾何意義是可行域ABC內任一點(x，y)與原點的距離的平方.過原點向直線x＋2y－4＝0作垂線y＝2x，所以垂足在線段AC的延長線上，反思與感悟反思與感悟由圖形可知，當直線l經過可行域內點C時，v最大，非線性目標函數的最值問題，要充分理解非線性目標函數的幾何意義，諸如兩點間的距離(或平方)，點到直線的距離，過已知兩點的直線的斜率等.常見代數式的幾何意義主要有：反思與感悟解析答案解析答案解析已知不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖：解析答案x2＋y2表示原點到可行域內的點的距離的平方.(x2＋y2)max＝|OA|2＝22＋32＝13.解析答案題型三線性規(guī)劃的實際應用例3

某公司生產甲、乙兩種桶裝產品.已知生產甲產品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產乙產品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲產品的利潤是300元，每桶乙產品的利潤是400元.公司在生產這兩種產品的計劃中，要求每天消耗A，B原料都不超過12千克.通過合理安排生產計劃，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是多少？反思與感悟解設每天分別生產甲產品x桶，乙產品y桶，相應的利潤為z元，反思與感悟在坐標平面內畫出該不等式組表示的平面區(qū)域及直線300x＋400y＝0，平移該直線，當平移到經過該平面區(qū)域內的點(4,4)時，相應直線在y軸上的截距達到最大，此時z＝300x＋400y取得最大值，最大值是z＝300×4＋400×4＝2800，即該公司可獲得的最大利潤是2800元.反思與感悟線性規(guī)劃解決實際問題的步驟：(1)分析并根據已知數據列出表格；(2)確定線性約束條件；(3)確定線性目標函數；(4)畫出可行域；(5)利用線性目標函數(直線)求出最優(yōu)解；(6)實際問題需要整數解時，應適當調整，以確定最優(yōu)解.跟蹤訓練3

預算用2000元購買單價為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的總數盡可能的多，但椅子數不少于桌子數，且不多于桌子數的1.5倍，問桌子、椅子各買多少才行？解析答案返回解析答案解設桌子、椅子分別買x張、y把，目標函數z＝x＋y，O(0,0)為頂點的三角形區(qū)域(如圖).但注意到x∈N*，y∈N*，故買桌子25張，椅子37把是最好的選擇.返回當堂檢測123解析答案則實數m的最大值為________.解析如圖，當y＝2x經過且只經過x＋y－3＝0和x＝m的交點時，m取到最大值，此時，即(m,2m)在直線x＋y－3＝0上，則m＝1.1解析答案解析該不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的陰影部分.故當x＝5，y＝4時，z取得最大值為90.90123解析答案解析實數x，y滿足的可行域如圖中陰影部分所示，則z的最小值為原點到直線AB的距離的平方，123課堂小結1.用圖解法解決線性或非線性規(guī)劃問題的基本步驟：(1)在平面直角坐標系內作出可行域.(2)考慮目標函數的幾何意義，將目標函數進行變形.(3)確定最優(yōu)解：在可行域內平行移動目標函數變形后的直線，從而確定最優(yōu)解.(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標函數即可求出最大值或最小值.2.作不等式組表示的可行域時，注意標出相應的直線方程，還要給可行域的各頂點標上字母，平移直線時，要注意線性目標函數