高中數(shù)學(xué)蘇教版數(shù)列等差數(shù)列蘇教版等差數(shù)列的通項公式（43張）

§2.2等差數(shù)列2.2.2等差數(shù)列的通項公式ContentsPage明目標(biāo)知重點填要點記疑點探要點究所然內(nèi)容索引010203當(dāng)堂測查疑缺041.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的通項公式.2.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的重要性質(zhì).3.能運用等差數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題.明目標(biāo)、知重點1.等差數(shù)列的通項公式一般地，對于等差數(shù)列{an}的第n項an，有an＝a1＋(n－1)d，這就是等差數(shù)列{an}的通項公式.2.等差數(shù)列的圖象等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋(n－1)d，當(dāng)d＝0時，an是關(guān)于n的常函數(shù)；當(dāng)d≠0時，an是關(guān)于n的一次函數(shù)；點(n，an)分布在以

為斜率的直線上，是這條直線上的一列孤立的點.填要點·記疑點d(n－m)d4.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)等差數(shù)列的項的對稱性在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首項與末項的和.即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….(2)若{an}、{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有數(shù)列結(jié)論{c＋an}公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){c·an}公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){an＋an＋k}公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù)，k∈N*){pan＋qbn}公差為pd＋qd′的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))(3){an}的公差為d，則d>0?{an}為遞增數(shù)列；d<0?{an}為遞減數(shù)列；d＝0?{an}為常數(shù)列.探要點·究所然情境導(dǎo)學(xué)在等差數(shù)列{an}中，若已知首項a1和公差d的值，由通項公式an＝a1＋(n－1)d可求出任意一項的值，如果已知am和公差d的值，有沒有一個公式也能求任意一項的值嗎？由等差數(shù)列的通項公式能得到等差數(shù)列的哪些性質(zhì)？本節(jié)我們繼續(xù)探討.探究點一等差數(shù)列的通項公式思考1若一個等差數(shù)列{an}，首項是a1，公差為d，你能用a1和d表示出a2、a3、a4嗎？答

a2－a1＝d，即：a2＝a1＋d，a3－a2＝d，即：a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4－a3＝d，即：a4＝a3＋d＝a1＋3d.思考2由思考1中的a2，a3，a4的表示，你能猜想等差數(shù)列的第n項的表達(dá)式嗎？答

猜想an＝a1＋(n－1)d.思考3如何證明思考2得出的表達(dá)式成立？答因為{an}為等差數(shù)列，所以當(dāng)n≥2時，有a2－a1＝d，a3－a2＝d，……an－an－1＝d.將上面n－1個等式的兩邊分別相加，得an－a1＝(n－1)d，所以an＝a1＋(n－1)d.當(dāng)n＝1時，上面的等式也成立.小結(jié)一般地，對于等差數(shù)列{an}的第n項an，有an＝a1＋(n－1)d，這就是等差數(shù)列{an}的通項公式.例1第一屆現(xiàn)代奧運會于1896年在希臘雅典舉行，此后每4年舉行一次.奧運會如因故不能舉行，屆數(shù)照算.(1)試寫出由舉行奧運會的年份構(gòu)成的數(shù)列的通項公式；(2)2008年北京奧運會是第幾屆？2050年舉行奧運會嗎？解

(1)由題意知，舉行奧運會的年份構(gòu)成的數(shù)列是一個以1896為首項，4為公差的等差數(shù)列.這個數(shù)列的通項公式為an＝1896＋4(n－1)＝1892＋4n(n∈N*).(2)假設(shè)an＝2008，由2008＝1892＋4n，得n＝29.假設(shè)an＝2050,2050＝1892＋4n無正整數(shù)解.答

所求通項公式為an＝1892＋4n(n∈N*)，2008年北京奧運會是第29屆奧運會，2050年不舉行奧運會.反思與感悟在實際問題中，若一組數(shù)依次成等數(shù)額增長或下降，則可考慮利用等差數(shù)列方法解決.在利用數(shù)列方法解決實際問題時，一定要分清首項、項數(shù)等關(guān)鍵問題.跟蹤訓(xùn)練1若等差數(shù)列{an}的公差d≠0且a1，a2是關(guān)于x的方程x2－a3x＋a4＝0的兩根，求數(shù)列{an}的通項公式.∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.故數(shù)列{an}的通項公式an＝2n.例2在等差數(shù)列{an}中，已知a3＝10，a9＝28，求a12.所以a12＝4＋(12－1)×3＝37.反思與感悟像本例中根據(jù)已知量和未知量之間的關(guān)系，列出方程求解的思想方法，稱方程思想.跟蹤訓(xùn)練2已知{an}為等差數(shù)列，分別根據(jù)下列條件寫出它的通項公式.(1)a3＝5，a7＝13；解設(shè)首項為a1，公差為d，則∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.∴通項公式為an＝2n－1.(2)前三項為a,2a－1,3－a.探究點二等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系思考1等差數(shù)列{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d整理成an關(guān)于n的函數(shù)后，其圖象的斜率及在y軸上的截距各是什么？答

等差數(shù)列{an}的通項公式變形為an＝dn＋(a1－d)，其圖象為一條直線上孤立的一系列點，點(n，an)在直線y＝dx＋a1－d上，d為直線的斜率，在y軸上的截距為a1－d.思考2如果一個數(shù)列{an}的通項公式an＝kn＋b，其中k，b為常數(shù)，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？若是，首項和公差分別是什么？答

取數(shù)列{an}中任意相鄰兩項an和an－1(n>1)，an－an－1＝(kn＋b)－[k(n－1)＋b]＝kn＋b－(kn－k＋b)＝k.由于k是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以{an}是等差數(shù)列.由于an＝kn＋b＝b＋k＋(n－1)k，所以首項a1＝k＋b，公差d＝k.探究點三等差數(shù)列通項公式的推廣思考1已知等差數(shù)列{an}的首項a1和公差d能表示出通項an＝a1＋(n－1)d，如果已知第m項am和公差d，又如何表示通項an?答

設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，則am＝a1＋(m－1)d，變形得a1＝am－(m－1)d，則an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.思考2對于任意的正整數(shù)m、n、p、q，若m＋n＝p＋q.則在等差數(shù)列{an}中，am＋an與ap＋aq之間有怎樣的關(guān)系？為什么？答

am＋an＝ap＋aq.因為am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(n＋m－2)d，而ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1＋(p＋q－2)d，又因m＋n＝p＋q，所以am＋an＝ap＋aq.小結(jié)利用等差數(shù)列的第二通項公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，不難得出等差數(shù)列另外一些性質(zhì)：(1)在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，可以推廣為序號的三個數(shù)或n個數(shù)之和相等，則對應(yīng)的項之和相等.(2){an}為有窮等差數(shù)列，則與首末兩項等距離的兩項之和都相等，且等于首末兩項之和.(3)下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)組成公差為md的等差數(shù)列.(4)若數(shù)列{an}和{bn}均為等差數(shù)列，則{an±bn}，{kan＋b}(k，b為非零常數(shù))也為等差數(shù)列.例3已知等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此數(shù)列的通項公式.解因為a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5.又因為a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.反思與感悟解決本類問題一般有兩種方法：一是運用等差數(shù)列{an}的性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2w，則am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整數(shù))；二是利用通項公式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的首項與公差的結(jié)構(gòu)完成運算，屬于通性通法，兩種方法都運用了整體代換與方程的思想.跟蹤訓(xùn)練3在等差數(shù)列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值.解方法一∵a1＋a4＋a7＝(a1＋a7)＋a4＝3a4＝39，∴a4＝13，∵a2＋a5＋a8＝(a2＋a8)＋a5＝3a5＝33.∴a5＝11，∴d＝a5－a4＝－2.∵a3＋a6＋a9＝(a3＋a9)＋a6＝3a6＝3(a5＋d)＝3(11－2)＝27.方法二∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)＝3a1＋9d＝39，∴a1＋3d＝13，

①∵a2＋a5＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝3a1＋12d＝33.∴a1＋4d＝11，

②∴a3＋a6＋a9＝(a1＋2d)＋(a1＋5d)＋(a1＋8d)＝3a1＋15d＝3×19＋15×(－2)＝27.例4三個數(shù)成等差數(shù)列，和為6，積為－24，求這三個數(shù).解方法一設(shè)這三個數(shù)的等差中項為a，公差為d，則這三個數(shù)分別為a－d，a，a＋d，依題意得，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化簡得d2＝16，于是d＝±4，故三個數(shù)為－2,2,6或6,2，－2.方法二設(shè)首項為a，公差為d，這三個數(shù)分別為a，a＋d，a＋2d，依題意得，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，三個數(shù)為－2,2,6或6,2，－2.反思與感悟當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的項數(shù)n為奇數(shù)時，可設(shè)中間一項為a，再用公差為d向兩邊分別設(shè)項：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；當(dāng)項數(shù)n為偶數(shù)時，可設(shè)中間兩項為a－d，a＋d，再以公差為2d向兩邊分別設(shè)項：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，這樣可減少計算量.跟蹤訓(xùn)練4四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2，首末兩數(shù)的積為－8，求這四個數(shù).解方法一設(shè)這四個數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d).依題意得，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d＞0，∴d＝1，故所求的四個數(shù)為－2,0,2,4.方法二設(shè)這四個數(shù)為a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差為d)，依題意得，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，化簡得d2＝4，所以d＝2或－2.又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d＞0，所以d＝2，a＝－2.故所求的四個數(shù)為－2,0,2,4.當(dāng)堂測·查疑缺1231.數(shù)列{an}的通項公式an＝2n＋5，則此數(shù)列________.①是公差為2的等差數(shù)列；②是公差為5的等差數(shù)列；③是首項為5的等差數(shù)列；④是公差為n的等差數(shù)列.解析

∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，∴{an}是公差為2的等差數(shù)列.4①12342.等差數(shù)列{an}中