高中數(shù)學蘇教版2推理與證明2．3數(shù)學歸納法蘇教版選修數(shù)學歸納法(37張)

第3課時用數(shù)學歸納法證明整除問題、幾何問題第2章2.3

數(shù)學歸納法學習目標1.進一步掌握數(shù)學歸納法的實質(zhì)與步驟，掌握用數(shù)學歸納法證明整除問題、幾何問題等數(shù)學命題的方法.2.掌握證明n＝k＋1成立的常見變形技巧：提公因式、添項、拆項、合并項、配方等.題型探究知識梳理內(nèi)容索引當堂訓練知識梳理知識點一歸納法歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分完全歸納法和不完全歸納法兩種，而不完全歸納法得出的結(jié)論不具有可靠性，必須用數(shù)學歸納法進行嚴格證明.知識點二數(shù)學歸納法1.應(yīng)用范圍：作為一種證明方法，用于證明一些與

有關(guān)的數(shù)學命題.2.基本要求：它的證明過程必須是兩步，最后還有結(jié)論，缺一不可.3.注意點：在第二步歸納遞推時，從n＝k到n＝k＋1必須用上歸納假設(shè).正整數(shù)n題型探究例1求證：當n∈N*時，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除.證明類型一整除問題證明

①當n＝1時，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命題顯然成立.②假設(shè)當n＝k(k∈N*)時，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，則當n＝k＋1時，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由歸納假設(shè)，上式中的兩項均能被a2＋a＋1整除，故當n＝k＋1時，命題成立.由①②知，對任意n∈N*，命題成立.證明整除性問題的關(guān)鍵是“湊項”，先采用增項、減項、拆項和因式分解等手段，湊成當n＝k時的情形，再利用歸納假設(shè)使問題獲證.反思與感悟跟蹤訓練1

用數(shù)學歸納法證明(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除.證明證明①當n＝1時，4×7－1＝27，能被9整除.②假設(shè)當n＝k(k∈N*)時，命題成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，則當n＝k＋1時，(3k＋4)·7k＋1－1＝7·(3k＋1)·7k＋21·7k－1＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋6·7k＋21·7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k，由假設(shè)知，(3k＋1)·7k－1能被9整除，又因為18k·7k＋27·7k能被9整除，所以當n＝k＋1時，命題成立.由①②知，對一切n∈N*，(3n＋1)·7n－1都能被9整除.例2

平面內(nèi)有n(n∈N*，n≥2)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，證明：交點的個數(shù)為f(n)＝

.類型二幾何問題證明證明①當n＝2時，兩條直線的交點只有一個，∴當n＝2時，命題成立.②假設(shè)n＝k(k>2，k∈N*)時，命題成立，即平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線交點個數(shù)為l與其他k條直線交點個數(shù)為k，從而k＋1條直線共有f(k)＋k個交點，∴當n＝k＋1時，命題成立.由①②可知，對任意n∈N*，n≥2，命題都成立.用數(shù)學歸納法證明幾何問題時，一要注意數(shù)形結(jié)合，二要注意有必要的文字說明.反思與感悟跟蹤訓練2

平面內(nèi)有n(n∈N*)個圓，其中每兩個圓相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分.證明證明①當n＝1時，分為2塊，f(1)＝2，命題成立；②假設(shè)當n＝k(k∈N*)時，被分成f(k)＝k2－k＋2部分，那么當n＝k＋1時，依題意，第k＋1個圓與前k個圓產(chǎn)生2k個交點，第k＋1個圓被截為2k段弧，每段弧把所經(jīng)過的區(qū)域分為兩部分，所以平面上凈增加了2k個區(qū)域.所以f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，即當n＝k＋1時，命題成立.由①②知命題成立.解答類型三歸納—猜想—證明(2)猜想數(shù)列{an}的通項公式，并證明．解答②假設(shè)當n＝k(k≥1，k∈N*)時猜想成立，所以Sk＝k(2k－1)akSk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，所以當n＝k＋1時，命題成立.由①②可知，命題對任何n∈N*都成立.(1)“歸納—猜想—證明”的解題步驟反思與感悟(2)歸納法的作用歸納法是一種推理方法，數(shù)學歸納法是一種證明方法.歸納法幫助我們提出猜想，而數(shù)學歸納法的作用是證明猜想.“觀察—猜想—證明”是解答與自然數(shù)有關(guān)命題的有效途徑.解答(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通項公式；解因為a1＝1，an＋1＝f(an)，(2)用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論.解答解①易知當n＝1時，結(jié)論成立；②假設(shè)當n＝k(k≥1，k∈N*)時，猜想成立，則當n＝k＋1時，即當n＝k＋1時，猜想也成立.當堂訓練1.用數(shù)學歸納法證明n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°時，其初始值n0為___.答案2345132.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值為________.答案23451解析3.用數(shù)學歸納法證明“凸n(n≥3，n∈N*)邊形的內(nèi)角和公式”時，由n＝k到n＝k＋1時增加的是_____.23451答案解析180°解析凸n邊形內(nèi)角和為180°×(n－2)，則180°×(k＋1－2)－180°×(k－2)＝180°.4.用數(shù)學歸納法證明“n3＋5n能被6整除”的過程中，當n＝k＋1時，對式子(k＋1)3＋5(k＋1)應(yīng)變形為____________________.23451答案解析(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6解析采取配湊法，湊出歸納假設(shè)k3＋5k來，(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.5.用數(shù)學歸納法證明：當n是非負整數(shù)時，34n＋2＋52n＋1能被14整除.23451證明證明①當n＝0時，34n＋2＋52n＋1＝14，能被14整除.②假設(shè)當n＝k(k≥0，k∈N)時，34k＋2＋52k＋1能被14整除，則當n＝k＋1時，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝34k＋6＋52k＋3＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25×(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2.顯然25×(34k＋2＋52k＋1)是14的倍數(shù)，56×34k＋2也是14的倍數(shù)，故34k＋6＋52k＋3是14的倍數(shù)，即當n＝k＋1時，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1能被14整除.綜合①②知，當n是非負整數(shù)時，34n＋2＋52n＋1能被14整除.23451規(guī)律與方法1.在證明整除問題時，有些命題可能僅當n是偶數(shù)(或奇數(shù))時成立，證明時可適當?shù)剞D(zhuǎn)化k，使k成為全體自然數(shù)的形式.如