高中數(shù)學(xué)蘇教版2推理與證明2．3數(shù)學(xué)歸納法蘇教版選修數(shù)學(xué)歸納法(37張)

第3課時用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題、幾何問題第2章2.3

數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)與步驟，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題、幾何問題等數(shù)學(xué)命題的方法.2.掌握證明n＝k＋1成立的常見變形技巧：提公因式、添項、拆項、合并項、配方等.題型探究知識梳理內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練知識梳理知識點一歸納法歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分完全歸納法和不完全歸納法兩種，而不完全歸納法得出的結(jié)論不具有可靠性，必須用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明.知識點二數(shù)學(xué)歸納法1.應(yīng)用范圍：作為一種證明方法，用于證明一些與

有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.2.基本要求：它的證明過程必須是兩步，最后還有結(jié)論，缺一不可.3.注意點：在第二步歸納遞推時，從n＝k到n＝k＋1必須用上歸納假設(shè).正整數(shù)n題型探究例1求證：當(dāng)n∈N*時，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除.證明類型一整除問題證明

①當(dāng)n＝1時，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命題顯然成立.②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，則當(dāng)n＝k＋1時，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由歸納假設(shè)，上式中的兩項均能被a2＋a＋1整除，故當(dāng)n＝k＋1時，命題成立.由①②知，對任意n∈N*，命題成立.證明整除性問題的關(guān)鍵是“湊項”，先采用增項、減項、拆項和因式分解等手段，湊成當(dāng)n＝k時的情形，再利用歸納假設(shè)使問題獲證.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

用數(shù)學(xué)歸納法證明(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除.證明證明①當(dāng)n＝1時，4×7－1＝27，能被9整除.②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，命題成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，則當(dāng)n＝k＋1時，(3k＋4)·7k＋1－1＝7·(3k＋1)·7k＋21·7k－1＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋6·7k＋21·7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k，由假設(shè)知，(3k＋1)·7k－1能被9整除，又因為18k·7k＋27·7k能被9整除，所以當(dāng)n＝k＋1時，命題成立.由①②知，對一切n∈N*，(3n＋1)·7n－1都能被9整除.例2

平面內(nèi)有n(n∈N*，n≥2)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，證明：交點的個數(shù)為f(n)＝

.類型二幾何問題證明證明①當(dāng)n＝2時，兩條直線的交點只有一個，∴當(dāng)n＝2時，命題成立.②假設(shè)n＝k(k>2，k∈N*)時，命題成立，即平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線交點個數(shù)為l與其他k條直線交點個數(shù)為k，從而k＋1條直線共有f(k)＋k個交點，∴當(dāng)n＝k＋1時，命題成立.由①②可知，對任意n∈N*，n≥2，命題都成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題時，一要注意數(shù)形結(jié)合，二要注意有必要的文字說明.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練2

平面內(nèi)有n(n∈N*)個圓，其中每兩個圓相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分.證明證明①當(dāng)n＝1時，分為2塊，f(1)＝2，命題成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，被分成f(k)＝k2－k＋2部分，那么當(dāng)n＝k＋1時，依題意，第k＋1個圓與前k個圓產(chǎn)生2k個交點，第k＋1個圓被截為2k段弧，每段弧把所經(jīng)過的區(qū)域分為兩部分，所以平面上凈增加了2k個區(qū)域.所以f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，即當(dāng)n＝k＋1時，命題成立.由①②知命題成立.解答類型三歸納—猜想—證明(2)猜想數(shù)列{an}的通項公式，并證明．解答②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時猜想成立，所以Sk＝k(2k－1)akSk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，所以當(dāng)n＝k＋1時，命題成立.由①②可知，命題對任何n∈N*都成立.(1)“歸納—猜想—證明”的解題步驟反思與感悟(2)歸納法的作用歸納法是一種推理方法，數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法.歸納法幫助我們提出猜想，而數(shù)學(xué)歸納法的作用是證明猜想.“觀察—猜想—證明”是解答與自然數(shù)有關(guān)命題的有效途徑.解答(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通項公式；解因為a1＝1，an＋1＝f(an)，(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.解答解①易知當(dāng)n＝1時，結(jié)論成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時，猜想成立，則當(dāng)n＝k＋1時，即當(dāng)n＝k＋1時，猜想也成立.當(dāng)堂訓(xùn)練1.用數(shù)學(xué)歸納法證明n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°時，其初始值n0為___.答案2345132.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值為________.答案23451解析3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n(n≥3，n∈N*)邊形的內(nèi)角和公式”時，由n＝k到n＝k＋1時增加的是_____.23451答案解析180°解析凸n邊形內(nèi)角和為180°×(n－2)，則180°×(k＋1－2)－180°×(k－2)＝180°.4.用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋5n能被6整除”的過程中，當(dāng)n＝k＋1時，對式子(k＋1)3＋5(k＋1)應(yīng)變形為____________________.23451答案解析(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6解析采取配湊法，湊出歸納假設(shè)k3＋5k來，(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.5.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n是非負(fù)整數(shù)時，34n＋2＋52n＋1能被14整除.23451證明證明①當(dāng)n＝0時，34n＋2＋52n＋1＝14，能被14整除.②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥0，k∈N)時，34k＋2＋52k＋1能被14整除，則當(dāng)n＝k＋1時，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝34k＋6＋52k＋3＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25×(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2.顯然25×(34k＋2＋52k＋1)是14的倍數(shù)，56×34k＋2也是14的倍數(shù)，故34k＋6＋52k＋3是14的倍數(shù)，即當(dāng)n＝k＋1時，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1能被14整除.綜合①②知，當(dāng)n是非負(fù)整數(shù)時，34n＋2＋52n＋1能被14整除.23451規(guī)律與方法1.在證明整除問題時，有些命題可能僅當(dāng)n是偶數(shù)(或奇數(shù))時成立，證明時可適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化k，使k成為全體自然數(shù)的形式.如