高中數(shù)學(xué)蘇教版2推理與證明2．1合情推理與演繹推理蘇教版選修推理案例賞析（32張）2

2.1.3推理案例賞析第2章2.1合情推理與演繹推理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步認(rèn)識(shí)合情推理和演繹推理的作用、特點(diǎn)以及兩者之間的緊密聯(lián)系，利用合情推理和演繹推理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.2.掌握兩種推理形式的具體格式.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測(cè)題型探究?jī)?nèi)容索引問(wèn)題導(dǎo)學(xué)思考1合情推理的結(jié)論不一定正確，我們?yōu)槭裁催€要學(xué)習(xí)合情推理？知識(shí)點(diǎn)合情推理與演繹推理答案合情推理是富于創(chuàng)造性的或然推理.在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中，它為演繹推理確定了目標(biāo)和方向，具有提出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論、提供思路的作用.思考2“演繹推理是由一般到特殊的推理，因此演繹推理所得結(jié)論一定正確”，這種說(shuō)法對(duì)嗎？答案不對(duì)，演繹推理只有在大、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論才一定正確.梳理合情推理與演繹推理的比較

合情推理演繹推理

歸納推理類比推理推理形式由部分到整體，由特殊到一般由特殊到特殊一般到特殊結(jié)論不一定正確，有待證明在大、小前提和推理形式都正確的前提下，結(jié)論一定正確作用猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，探索和提供證明思路證明數(shù)學(xué)結(jié)論，建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過(guò)程聯(lián)系合情推理的的結(jié)論需要演繹推理的驗(yàn)證，而演繹推理的方向和思路一般是通過(guò)合情推理獲得的[思考辨析判斷正誤]1.演繹推理的一般模式是“三段論”的形式.(

)2.演繹推理得到的結(jié)論的正誤與大前提、小前提和推理形式有關(guān).(

)3.演繹推理是由一般到特殊的推理，歸納推理是由特殊到一般的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理.(

)√√√題型探究例1觀察如圖所示的“三角數(shù)陣”：記第n行的第2個(gè)數(shù)為an(n≥2，n∈N*)，請(qǐng)仔細(xì)觀察上述“三角數(shù)陣”的特征，完成下列各題：答案類型一歸納推理的應(yīng)用(1)第6行的6個(gè)數(shù)依次為____、_____、_____、_____、_____、____；(2)a2＝____，a3＝____，a4＝____，a5＝____；(3)an＋1＝an＋_______________.6

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11n(n≥2，n∈N*)反思與感悟?qū)τ跀?shù)陣問(wèn)題的解決方法，既要清楚每行、每列數(shù)的特征，又要對(duì)上、下行，左、右列間的關(guān)系進(jìn)行研究，找到規(guī)律，問(wèn)題即可迎刃而解.答案跟蹤訓(xùn)練1下列四個(gè)圖形中，陰影三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為________________.an＝3n－1(n∈N*)解析a1＝1＝30，a2＝3＝31，a3＝9＝32，a4＝27＝33，…，由此猜想an＝3n－1(n∈N*).解析例2通過(guò)計(jì)算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1；33－23＝3×22＋3×2＋1；43－33＝3×32＋3×3＋1；…；(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.將以上各等式兩邊分別相加，得(n＋1)3－13＝3×(12＋22＋…＋n2)＋3×(1＋2＋3＋…＋n)＋n，類型二類比推理的應(yīng)用類比上述求法，請(qǐng)你求出13＋23＋33＋…＋n3的值.解答解∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1；34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1；44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1；…；(n＋1)4－n4＝4n3＋6n2＋4n＋1.將以上各式兩邊分別相加，得(n＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n3)＋6×(12＋22＋…＋n2)＋4×(1＋2＋…＋n)＋n，反思與感悟(1)解答類比推理的應(yīng)用題的關(guān)鍵在于弄清原題解題的方法，將所要求值的式子與原題的條件相類比，從而產(chǎn)生解題方法上的遷移.(2)解答類比推理的應(yīng)用問(wèn)題要先弄清兩類對(duì)象之間的類比關(guān)系及其差別，然后進(jìn)行推測(cè)或證明.解答解類比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想在四面體A－BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD，猜想正確.理由如下：如圖所示，連結(jié)BE，并延長(zhǎng)交CD于F，連結(jié)AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.而AF?平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ACD中，AF⊥CD，類型三演繹推理的綜合應(yīng)用解答兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時(shí)，kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值.證明：設(shè)點(diǎn)M，P的坐標(biāo)分別為(m，n)，(x，y)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－m，－n).故kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值.反思與感悟合情推理是提出猜想、提供解題的思路，而演繹推理則是證明猜想、判斷猜想的正確性，通過(guò)合情推理得到的猜想缺少證明過(guò)程，是不完整的，平時(shí)解題都是二者的結(jié)合.跟蹤訓(xùn)練3已知{an}為等差數(shù)列，首項(xiàng)a1>1，公差d>0，n>1且n∈N*.求證：lgan＋1lgan－1<(lgan)2.證明∵{an}為等差數(shù)列，d>0，∵a1>1，d>0，∴an＝a1＋(n－1)d>1.∴l(xiāng)gan>0.即lgan＋1·lgan－1<(lgan)2.證明達(dá)標(biāo)檢測(cè)答案12345答案12345解析解析由所給不等式可得：…，123453.類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出下列空間結(jié)論：①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一平面的兩條直線互相平行；③垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；④垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行，則其中正確的結(jié)論是________.(填序號(hào))12345答案②③解析根據(jù)空間直線、平面的平行與垂直的判定與性質(zhì)定理知，②③正確，①④錯(cuò)誤.解析答案4.如圖(甲)是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICME－7)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖(乙)的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把圖(乙)中的直角三角形依此規(guī)律繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝___________.12345解析解析根據(jù)OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1和圖(乙)中的各直角三角形，12345故可歸納推測(cè)出an＝(n∈N*).12345答案解析12345在“黃金雙曲線”中，∴－ac＋b2＝0.又b2＝c2－a2，∴c2－a2＝ac，1.歸納推理和類比推理是常用的合情推理.從推理形式上看，歸納推理是由部分到整體、特殊到一般的推理；類比推理是由特殊到特殊的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理.2.從推理形式