高中數(shù)學(xué)北師大版(2022)必修函數(shù)3函數(shù)的單調(diào)性和最值函數(shù)的最大值最小值（28張）

第2課時(shí)函數(shù)的最大值、最小值噴泉噴出的拋物線型水柱到達(dá)“最高點(diǎn)”后便下落，經(jīng)歷了先“增”后“減”的過(guò)程，從中我們發(fā)現(xiàn)單調(diào)性與函數(shù)的最值之間似乎有著某種“聯(lián)系”，讓我們來(lái)研究——函數(shù)的最大值與最小值.借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的最大值、最小值，理解它們的作用和意義.理解函數(shù)的最大值和最小值的概念及幾何意義（數(shù)學(xué)抽象）能借助函數(shù)的圖像和單調(diào)性，求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的最值或值域（直觀想象）能利用函數(shù)的最值解決有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題（數(shù)學(xué)運(yùn)算）探究一

函數(shù)的最大值1.觀察下列兩個(gè)函數(shù)的圖象：yxox0圖2MB【提示】第一個(gè)函數(shù)圖象有最高點(diǎn)A,第二個(gè)函數(shù)圖象有最高點(diǎn)B,也就是說(shuō),這兩個(gè)函數(shù)的圖象都有最高點(diǎn).思考2

設(shè)函數(shù)y=f(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為M,則對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)任意自變量x,f(x)與M的大小關(guān)系如何?【提示】f(x)≤M思考1

這兩個(gè)函數(shù)圖象有何共同特征？最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)即是函數(shù)的最大值！當(dāng)一個(gè)函數(shù)f(x)的圖象有最高點(diǎn)時(shí)，就說(shuō)函數(shù)f(x)有最大值.函數(shù)在_______上為增函數(shù)，_______上為減函數(shù);圖象有_____(最高（低）)點(diǎn)，坐標(biāo)為_(kāi)____.2.觀察下面函數(shù)的圖象，并回答問(wèn)題對(duì)任意所以y=4是所有函數(shù)值中最大的，故函數(shù)f(x)有最大值4.最高函數(shù)最大值定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足：（1）對(duì)于任意的x∈D，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈D，使得f(x0)=M.那么，我們稱(chēng)M是函數(shù)y=f(x)的最大值.可以這樣理解：函數(shù)的最大值是所有函數(shù)值中最大的一個(gè)，并且是能夠取到的.函數(shù)圖象最高點(diǎn)處的函數(shù)值的刻畫(huà)：函數(shù)圖象在最高點(diǎn)處的函數(shù)值是函數(shù)在整個(gè)定義域上最大的值.對(duì)于函數(shù)f(x)=-x2而言，即對(duì)于函數(shù)定義域中任意的x∈R，都有f(x)≤f(0)函數(shù)最大值的“形”的定義：當(dāng)一個(gè)函數(shù)的圖象有最高點(diǎn)時(shí)，我們就說(shuō)這個(gè)函數(shù)有最大值.當(dāng)一個(gè)函數(shù)的圖象無(wú)最高點(diǎn)時(shí)，我們就說(shuō)這個(gè)函數(shù)沒(méi)有最大值.函數(shù)y＝－3x2＋2在區(qū)間[－1，2]上的最大值為_(kāi)_______.【解析】函數(shù)y＝－3x2＋2的對(duì)稱(chēng)軸為x＝0，又因?yàn)?∈[－1，2]，

所以f(x)max＝f(0)＝2.【即時(shí)訓(xùn)練】2圖1yox0xmxyox0圖2m1.觀察下列兩個(gè)函數(shù)的圖象：探究二

函數(shù)的最小值思考:這兩個(gè)函數(shù)圖象各有一個(gè)最低點(diǎn)，函數(shù)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫什么名稱(chēng)？提示：函數(shù)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是所有函數(shù)值中的最小值,即函數(shù)的最小值.2.函數(shù)在_______上為增函數(shù)，_______上為減函數(shù)；圖象有_____(最高（低）)點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.觀察下面函數(shù)的圖象，并回答問(wèn)題對(duì)任意所以y=-4是所有函數(shù)值中最小的,故函數(shù)有最小值-4.最低當(dāng)一個(gè)函數(shù)f(x)的圖象有最低點(diǎn)時(shí)，就說(shuō)函數(shù)f(x)有最小值.仿照函數(shù)最大值的定義，怎樣定義函數(shù)的最小值？提示：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在x0∈D,使得對(duì)于任意的x∈D，都有f(x)≥f(x0),那么稱(chēng)f(x0)為函數(shù)y=f(x)的最小值，記為ymin=f(x0).【思考交流】函數(shù)最小值的定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在實(shí)數(shù)N滿(mǎn)足：（1）對(duì)任意的，都有f(x)≥N；（2）存在，使得f(x0)=N.那么，我們稱(chēng)N是函數(shù)y=f(x)的最小值.可以這樣理解：函數(shù)的最小值是所有函數(shù)值中最小的一個(gè)，并且是能夠取到的.函數(shù)圖象最低點(diǎn)處的函數(shù)值的刻畫(huà)：函數(shù)圖象在最低點(diǎn)處的函數(shù)值是函數(shù)在整個(gè)定義域上最小的值.對(duì)于函數(shù)f(x)=x2而言，即對(duì)于函數(shù)定義域中任意的x∈R，都有f(x)≥f(0).最小值的“形”的定義：當(dāng)一個(gè)函數(shù)的圖象有最低點(diǎn)時(shí)，我們就說(shuō)這個(gè)函數(shù)有最小值.當(dāng)一個(gè)函數(shù)的圖象沒(méi)有最低點(diǎn)時(shí)，我們就說(shuō)這個(gè)函數(shù)沒(méi)有最小值.因?yàn)椴坏仁絰2>－1總成立，所以－1是f(x)＝x2的最小值.()【解析】f(x)＝x2的最小值為0，不符合最小值定義，所以錯(cuò)誤。【即時(shí)訓(xùn)練】×1.函數(shù)最大值首先應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在使得.并不是所有滿(mǎn)足的函數(shù)都有最大值M.如函數(shù),雖然對(duì)定義域上的任意自變量都有，但1不是函數(shù)的最大值.2.函數(shù)的最值是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)，即這個(gè)函數(shù)值是函數(shù)在整個(gè)定義域上的最大的函數(shù)值或者是最小的函數(shù)值.【規(guī)律方法】由于2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是所以，函數(shù)是區(qū)間[2,6]上的減函數(shù).

任取x1,x2∈[2,6]，且x1＜x2例1.已知函數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小值.【解析】因此,函數(shù)在區(qū)間[2,6]上的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值和最小值，即在點(diǎn)x=2時(shí)取最大值，最大值是2，在x=6時(shí)取最小值，最小值為0.4.【總結(jié)提升】函數(shù)在定義域上是減函數(shù),必須進(jìn)行證明，然后再根據(jù)這個(gè)單調(diào)性確定函數(shù)取得最值的點(diǎn).因此解題過(guò)程分為兩個(gè)部分，先證明函數(shù)在[2，6]上是減函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最大值和最小值.已知函數(shù)f（x）=-x2+6x+9在區(qū)間[a，b]，（a＜b＜3）上有最大值9，最小值-7，求實(shí)數(shù)a，b的值．【解析】因?yàn)閥=-（x-3）2+18

因?yàn)閍＜b＜3，所以當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)取得最小值ymin=-7；

當(dāng)x=b時(shí)，函數(shù)取得最大值ymax=9；即解得：a=8或-2；b=0或6．又因?yàn)閍<b<3，所以a=-2；b=0．【變式練習(xí)】1.利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大(小)值.2.利用圖象求函數(shù)的最大(小)值.3.利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的最大(小)值

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x)在x=a處有最小值f(a),在x=b處有最大值f(b)；

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增,則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b).【總結(jié)提升】

判斷函數(shù)的最大(小)值的方法：

函數(shù)的最大值、最小值核心知識(shí)方法總結(jié)易錯(cuò)提醒核心素養(yǎng)最值M一定是一個(gè)函數(shù)值，是值域中的一個(gè)元素在利用單調(diào)性求最值時(shí)，勿忘求函數(shù)的定義域直觀想象：通過(guò)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)最大值與最小值，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)函數(shù)最值的求法(1)圖象法：對(duì)已知函數(shù)圖象的用此法.(2)配方法：對(duì)二次或通過(guò)換元得到的二次型函數(shù)適用(3)單調(diào)性法：適用于可判斷在閉區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)求解方法概念最大值最小值1.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是_____;最小值是______.【解析】函數(shù)在［-2,-1］上為減函數(shù)，當(dāng)x=-2時(shí)，y=；當(dāng)x=-1時(shí)，y=-5，所以函數(shù)在x∈［-2,-1］上的最大值為,最小值為-5.2.函數(shù)f(x)=x2+4ax+2在區(qū)間(-∞，6]內(nèi)遞減，則a的取值范圍是()A.a≥3B.a≤3C.a≥-3D.a≤-3D【解析】選D.二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-2a

故只需-2a≥6,即a≤-3(1).若對(duì)任意x∈I，都有f(x)≤M，則M是函數(shù)f(x)的最大值.()(2).一個(gè)函數(shù)可能有多個(gè)最小值.()(3).如果函數(shù)的值域是確定的，則它一定有最值.()3.判斷正誤【解析】(1)M是存在的，并且?x0∈I，使得f(x0)＝M.(2)最大(小)值至多有1個(gè)(3)值域確定，但不一定有最值.×××4.若x∈R，f