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文檔簡介
2023屆上海市控江中學(xué)高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題
一、單選題
1.已知實數(shù)a,6滿足a>b,則下列不等式中恒成立的是()
A.2>b2B.-<yC.|a|>g|D.2">2"
aah
【答案】D
【分析】對于A,B,C通過舉反例進行判斷即可,對于D,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即
可
22
【詳解】解:對于A,當(dāng)a=l,〃=-2時,a=l<b=4,所以A錯誤;
對于B.當(dāng)〃=1/=-2時,1=1>,=一:,所以B錯誤,
ah2
對于C,當(dāng)〃=1力=一2時,|a|=l<W=2,所以C錯誤,
對于D,因為指數(shù)函數(shù)y=2"在R上為增函數(shù),且a>b,所以2">2",所以D正確,
故選:D
2.角a的終邊落在區(qū)間(-3%,-罟)內(nèi),則角a所在的象限是()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
【答案】C
【分析】找到-3",-當(dāng)終邊所在的位置,即可求解.
【詳解】-3萬的終邊在x軸的非正半軸上,-半的終邊在y軸的非正半軸上,
故角a為第三象限角,
故選:C
3.已知函數(shù)/(x)=x+?a>0),0<x,<x2,K/U)=/(x,),給出以下結(jié)論:
①王|空>&恒成立;②外26-占)<〃切恒成立.則()
A.①正確,②正確B.①正確,②錯誤
C.①錯誤,②正確D.①錯誤,②錯誤
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)=x+3(a>0)的性質(zhì)判斷即可.
X
【詳解】對于①,因為。<%<%,且/a)=/(w),所以西+@=&+0(”>0),于是
玉玉
(?一七)(玉毛-a)=0,
因為王<工2,所以工|工2=。,所以王十七>2"^=26,于是5;?〉&,所以①對;
對于②,因為0<公<》2,且,(②=/(乃。由函數(shù)f(x)=x+)(a>0)的性質(zhì)得,
X
0<Xj<\[a<x2,
由①知因為“X)在(6,y)上單調(diào)遞增,所以/(26-4)</(當(dāng)),所
以②對.
故選:A
log,(1-x),?-<x<n
2
4.已知函數(shù)〃x)=5<⑼的值域是[T,l],有下列結(jié)論:①當(dāng)
22T-3,?n<x<m
"=0時,加€(0,2];②當(dāng)時,me(-,2];③當(dāng)"€[0,3時,④當(dāng)
222
;)時,,"€(〃,2].其中結(jié)論正確的所有的序號是.
A.①②B.③④C.②③D.②④
【答案】C
【解析】根據(jù)函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及分段函數(shù)的定義,畫出函數(shù)圖象,根據(jù)圖象即可求得
答案.
【詳解】解:當(dāng)x>l時,x-1>0,f(x)=22-X+,-3=23-X-3,單調(diào)遞減,
當(dāng)-1<X<1時,/(x)=22+x-7-3=21+x-3,單調(diào)遞增,
二〃X)=22卡T—3在(-1,1)單調(diào)遞增,在(1,+8)單調(diào)遞減,
...當(dāng)x=l時,取最大值為1,
:,繪出〃X)=22TT_3的圖象,如圖下方曲線:
log、(1-x)-14x40
①當(dāng)〃=0時,f(x)=\,
22-HI-30<x<m
由函數(shù)圖象可知:
要使/(x)的值域是[-1,1],
則加(1,2];故①錯誤;
②當(dāng)"=g時,f(x)=/og;(l-X),
f(X)在[-1,單調(diào)遞增,/'(X)的最大值為1,最小值為-1,
;故②正確;
③當(dāng)“e°,;)時,〃尼口,2];故③正確,④錯誤,
故選:C.
【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì),分段函數(shù)的圖象,考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的單調(diào)性
及最值,考查計算能力,屬于難題.
二、填空題
5.集合A={1,2,3,4},8={X|(X_D(X_5)<0},則AA8=.
【答案】{2,3,4}
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合3,結(jié)合交集的定義和運算即可求解.
【詳解】由題意知,
8={目(x-l)(x-5)<0}={即<x<5},
所以4口8={2,3,4}.
故答案為:{2,3,4}.
6.若sina=L,貝ijsin(%+a)=________.
4
【答案】-!。25
【分析】由誘導(dǎo)公式求解即可.
[詳解]sin(^-+a)=-sina=--
4
故答案為:-二
4
7.不等式H-幻>1的解集是.
【答案】(TO,0)U(2,F)
【詳解】l|>lox<0或X>2.
即答案為(9,0)=(2,w).
8.已知x>0,y>0,2x+y=\,則犯的最大值是.
【答案】
O
【分析】直接根據(jù)基本不等式求最值.
【詳解】解:Vx>0,y>0,2x+y=l,
.?.孫=12"人'(2?4=1,
2-248
當(dāng)且僅當(dāng)2x=y=;時等號成立,
故答案為:
O
【點睛】本題主要考查基本不等式求最值,要注意等號成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.
9.已知二元線性方程組,;有無窮多解,則實數(shù)。=________
[4x+ay=a
【答案】-2
【分析】若二元線性方程組有無窮多解,則兩個方程對應(yīng)系數(shù)必成比例.
【詳解】???方程組有無窮多解
,直線2x+2y=-l和直線4x+a2y=a重合,
即兩個直線方程對應(yīng)系數(shù)必成比例;
.亭2彳2=」1,解得a=-2:
4a-a
故答案為:-2.
10.若函數(shù)/(x)=Iog2(2'+l)+區(qū)是偶函數(shù),貝必=.
【答案】
31
【詳解】由題可知,有/(T)=/。),則log2i-%=log23+Z,得”=-萬.代入檢驗滿
足題意.
11.把5sina+l2cosa化成4sin(a+g)(A>0,ee(0,27T))的形式,則常數(shù)。的值為
【答案】arctany
【分析】根據(jù)輔助角公式可得5sina+12cosa=13sin(a+e),其中tan*=不進而求
出處.
【詳解】由題意知,
5sina+12cosa="\/52+122sin(?+<p)=13sin(a+<p)>
12一12
其中tan“=M,所以夕=arctan—.
故答案為:arctany.
2--1(x40)
12.設(shè)函數(shù)〃x)={..若/伉)>1,則%的取值范圍是_____.
x2(x>0)
【答案】(—1)51,收)
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式,利用分段條件分類討論,列出不等式,結(jié)合指數(shù)函數(shù)
與幕函數(shù)的性質(zhì),即可求解.
2"1(x40)
【詳解】由題意,函數(shù)/")=I,且/(玉)>1,
(x>0)
當(dāng)玉)40時,令即2f>>2,解得x()<T;
當(dāng)x0>0時,令#>1,即寓>1,解得%>1,
綜上可得,實數(shù)與的取值范圍是(―,-1)口(1,內(nèi)).
故答案為:(re,-1)=(1,+℃).
13.設(shè)aeR,若函數(shù)y=〃x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,/(x)=a(x-l)+l,
若y=/(x)是R上的單調(diào)增函數(shù),則?取值范圍為.
【答案】(05
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)解析式,結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】因為函數(shù)/(X)為R上的奇函數(shù),所以/(X)圖象關(guān)于原點對稱,且"0)=0,
當(dāng)。=0時,/(x)=l在(0,+8)上不是單調(diào)增函數(shù),故。/0;
當(dāng)x>0時,/(x)=a(x-Y)+l=ax+l-a,
當(dāng)x<0時,-x>0,PJiJf(-x)=-ax+l-a,
得fM=-f(-x)=ax+a-1,即當(dāng)%<0時f{x}=cix+a-\,
6LX+6F-l,X<0
所以/(%)=0,x=0
+1-a,x>0
?_,\a>0
因為函數(shù)/(X)在R上單調(diào)遞增,所以,八,解得0<a41;
[a-1<1-<7
所以a的取值范圍為(0』.
故答案為:(0』.
14.已知犬x)=/+2(a—2)x+4,如果對[-3,1],大外>0恒成立,則實數(shù)a的取值
范圍為?
【答案】(-;,4)
【分析】對X0-3,1],f(x)>0恒成立,需討論對稱軸與區(qū)間[-3,1]的位置關(guān)系,
確定出最小值建立不等式,解之即可.
【詳解】?.,£(x)=X2+2(a-2)x+4,
對稱軸x=-(a-2),
對x£[-3,1],f(x)>0恒成立,
,討論對稱軸與區(qū)間[-3,1]的位置關(guān)系得:
卜("2)<一31-3<-(?-2)<11("2)>1
/(-3)>0-乂[A<0[/(1)>0,
解得aGe或lWaV4或-y<a<l,
;.a的取值范圍為(-;,4)
【點睛】二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值,它只能在區(qū)間的端點或二次函數(shù)圖
象的頂點處取到;常見題型有:(1)軸固定區(qū)間也固定;(2)軸動(軸含參數(shù)),區(qū)間
固定;(3)軸固定,區(qū)間動(區(qū)間含參數(shù)).找最值的關(guān)鍵是:(1)圖象的開口方向;
(2)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系;(3)結(jié)合圖象及單調(diào)性確定函數(shù)最值.
15.設(shè)x是第二象限角,且滿足cos土+sin土=-好,則sin;-cos;=__________.
22222
【答案】±3
2
【分析】根據(jù)X是第二象限角,得到%"+f<;<br+g,AeZ,再由cos土+sin2=一@
422222
平方求解.
【詳解】解:因為x是第二象限角,B[J2k^+^<x<2kji+7r,keZ,
則%〃■+工V土<4乃+工,%£Z,
422
當(dāng)上為偶數(shù)時,cos-<sin-,當(dāng)人為奇數(shù)時,cos->sin-,
2222
由cos—+sin—=平方得
222
x.X]x.x.x5
cos—+sin—=cos~—+2cos—?sin—+sm~2—=—,
22)22224
即2cos--sin—=—,
224
所以
xx
sin——cos—=±
22
故答案為:士日
16.已知函數(shù)〃x)=cosx,若對任意實數(shù)小x、,方程
+(七)|=加(meR)有解,方程
(%)|-|/(》)-"%)|=”(〃€/?)也有解,則帆+”的值的集合為,
【答案】{2}
【分析】根據(jù)題意,不妨設(shè)cos玉4cos與,分類討論當(dāng)cosxNcosx?,cosx<cosx],
COSX|<<:0$乂<8$々三種情況下,結(jié)合方程有解以及余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),從而求出
機和〃的值,即可得出,7?+”的值的集合.
【詳解】解:由題可知.f(x)=cosx,不妨設(shè)COS為4cos々,
對于機,對任意實數(shù)4,%2,方程(x)-/(x,)|+|/(x)-/(w)|="?5eR)有解,
當(dāng)COSX2cos々時,方程可化為機=2cosx-(COS玉+COSW)有解,
所以,"NCOS%-cos%恒成立,所以加22;
當(dāng)COSX$COSX[時,同上;
當(dāng)COSX[<cosx<cos%2時,方程可化為"Z=cos%2-COSX]有解,所以機w[0,2],
綜上得:m=2?
對于〃,對任意實數(shù)與,巧,方程〃々)|=〃(〃€幻也有解,
當(dāng)cosx2cosX2時,方程可化為〃=COSX2-COSX|有解,所以〃e[0,2];
當(dāng)COSXWCOSX]時,同上;
當(dāng)cos%vcosxccos/時、方程可化為〃=2cosx-(COSW+COSX])有解,
所以cos%-cos/v〃<cos%2-cos%恒成立,所以〃=0,
所以〃?+”的值的集合為{2}.
故答案為:{2}.
【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查函數(shù)與方程的綜合問題,考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),
通過設(shè)COSX|Wcos%,以及分類討論COSX與COSX|,COSX2的大小情況,并將方程有解轉(zhuǎn)
化為恒成立問題是解題的關(guān)鍵,考查學(xué)生的分類討論思想和邏輯分析能力.
三、解答題
17.已知常數(shù)函數(shù)=
(1)若“=石,解關(guān)于x的不等式/(X)<4;
(2)若/(x)在[3,xo)上為增函數(shù),求。的取值范圍.
【答案】(1)(0,1);(2)(0,27].
【分析】(1)由題設(shè),令r=3">0可得f(x)=g(r)=f+3,結(jié)合題設(shè)不等式,解一元二
t
次不等式并利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解集.
(2)利用對勾函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷了(幻的單調(diào)增區(qū)間,結(jié)合已知得Iog3〃43即
可求。的取值范圍.
3
【詳解】(1)由題設(shè),/(x)=3r+3'-\令f=3,>0,則/(x)=g(t)=f+—,
A/(x)<4,即g(f)=f+'<4,整理得『一所+3<0,解得1<1<3.
/
即0<x<l,故/(x)<4的解集為(0,1).
2
(2)令r=3,>0,則/(x)=g(f)=f+幺,又awR",
t
...八(0,0上g(f)遞減,-3+00)上gQ)遞增,又f=3,為增函數(shù),
[log/.+s)上f(x)為增函數(shù),要使f(x)在[3,+8)上為增函數(shù),
.?.log3a43,可得0<a427,故。的取值范圍(0,27].
18.對于兩個定義域相同的函數(shù)〃x)、g(x),若存在實數(shù)以"使/?(x)=W(x)+〃g(x),
則稱函數(shù)〃(X)是由“其函數(shù)〃X)、g(X)”生成的.
⑴若/(x)=9+3x和g(x)=3x+4生成一個偶函數(shù)〃(x),求力(2)的值;
⑵若/1(%)=2f+31-1是由函數(shù)/。)=3+?,8(%)=%+6(?/€/?且岫*0)生成,求
a+2b的取值范圍.
【答案】(1)"2)=。
U
【分析】(1)先用待定系數(shù)法表示出偶函數(shù)力(X),再根據(jù)其是偶函數(shù)這一性質(zhì)得到引入
參數(shù)的方程,求出參數(shù)的值,即得函數(shù)的解析式,代入自變量求值即可;
(2)先用待定系數(shù)法表示出偶函數(shù)〃(幻,再根據(jù)同一性建立引入?yún)?shù)的方程求參數(shù),
然后再求。+2)的取值范圍;
【詳解】(1)設(shè)力(x)=fn(x2+3x)+〃(3x+4)=nix2+(3m+3w)x+4〃,
〃(x)是偶函數(shù),,〃(一幻=h(x),
即+(3m++4/i=nix2+(3m+3n)x+4〃
.?.機+〃=0,A(2)=10/W4-10n=0.
(2)設(shè)h(x)=lx1+3x—\=m(x2+ax)+n(x+h)=nix2+(am+n)x+nh,
am+n=3,解得,
nb=-1
—=—
由QZ?w0知,〃工3,
31
當(dāng)〃>0且〃工3時,a+2b=^-用-2=-耳,當(dāng)〃=2時取等號,
3-n237
當(dāng)〃<0時,a+2b=-+一十——7+2=萬,當(dāng)〃=-2時取等號,
2-n
:.a+2bw-00,-5
19.經(jīng)濟訂貨批量模型,是目前大多數(shù)工廠、企業(yè)等最常采用的訂貨方式,即某種物資
在單位時間的需求量為某常數(shù),經(jīng)過某段時間后,存儲量消耗下降到零,此時開始訂貨
并隨即到貨,然后開始下一個存儲周期,該模型適用于整批間隔進貨、不允許缺貨的存
儲問題,具體如下:年存儲成本費T(元)關(guān)于每次訂貨x(單位)的函數(shù)關(guān)系
T(x)=9+d,其中A為年需求量,B為每單位物資的年存儲費,C為每次訂貨費.某
化工廠需用甲醇作為原料,年需求量為6000噸,每噸存儲費為120元/年,每次訂貨費
為2500元.
(1)若該化工廠每次訂購300噸甲醇,求年存儲成本費;
(2)每次需訂購多少噸甲醇,可使該化工廠年存儲成本費最少?最少費用為多少?
15000000
【答案】(1)7U)=60%+,7(300)=68000;(2)x=500,7;ljn=60000
X
【分析】(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)求出A,B,C,得到T(x),再將x=3()0代入即可得出結(jié)果;
(2)根據(jù)基本不等式求出最小值,注意等號成立的條件,即可得出結(jié)果.
【詳解】(1)因為年存儲成本費T(元)關(guān)于每次訂貨x(單位)的函數(shù)關(guān)系
丁(同=與+生,其中A為年需求量,8為每單位物資的年存儲費,C為每次訂貨費.
2x
由題意可得:A=6000,5=120,C=2500,
尸2六收卡+弗7/\m15000000
所以存儲成本費T(x)=60x+----——,
若該化工廠每次訂購300噸甲醇,
所以年存儲成本費為7(300)=60x300+”用詈=68000;
⑵因為存儲成本費T(x)=60x+國詈&,x>0,
所以7(x)=60x+IS。。。。。。>2760x15000000=60000,
I5000000
當(dāng)且僅當(dāng)60x=,即x=5(X)時,取等號;
x
所以每次需訂購500噸甲醇,可使該化工廠年存儲成本費最少,最少費用為60000.
【點睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用,熟記基本不等式即可求解,屬于??碱}型.
20.定義區(qū)間(,〃,〃)、卜〃,〃]、(加,〃]、[加,〃)以長度均為"一加,已知不等式21的解集
為A.
(1)求A的長度;
(2)函數(shù)/(力=9您二'(〃eR,axO)的定義域與值域都是[“,〃](”>〃?),求區(qū)間
卜",〃]的最大長度;
【答案】(1)7;
⑵述.
3
【分析】⑴根據(jù)分式不等式的解法求出集合A,結(jié)合題意給的定義即可求解:
[f(m)=m
⑵化簡函數(shù)/(X),研究/(X)的單調(diào)性,可得[、,即機、〃是方程
[/(〃)=〃
/(X)=X的同號互異的實根,利用韋達定理和判別式得出機、附的關(guān)系,即可求解.
【詳解】⑴J--1>0<^^1>0,
6-x6—xo-x
x+]
即-<0<=>(x+l)(x-6)<0,解得一1Wx<6,
x-6
所以A=H-14X<6},故集合A的長度為6-(-1)=7;
⑵函數(shù)/(x)的定義域為{也x0},
由函數(shù)/“)的定義域和值域都是[加,川(">M,
得[m,n]c(-co,0)U(0,+<?),
所以函數(shù)在[九網(wǎng)上單調(diào)遞增,
axaax
ff(in)=m
有[二,即小〃是方程〃x)=x的同號互異的實根,
[f(n)=n
所以機、"是方程//-(M+Gx+JO的同號互異的實根,
1,11+?!?/p>
故mn=—,+〃=----,A>0,
即△=(〃+。)2—4/>0,解得av—3或,
2
則n-m={(幾+m)2-4〃〃=-3=A/-3(---)+3,
Vaa~\a33
當(dāng)即a=3時,〃一機取到最大值偵,
a33
所以區(qū)間[m,n\的最大長度為也.
3
21.設(shè)函數(shù)“X)在[1,y)上有定義,實數(shù)。和匕滿足14a〈江若〃x)在區(qū)間(a,目上不
存在最小值,則稱/(x)在區(qū)間(。,句上具有性質(zhì)P.
(1)當(dāng)/(力=/+小,且“X)在區(qū)間(1,2]上具有性質(zhì)P,求常數(shù)C的取值范圍;
(2)已知〃x+l)=/(x)+l(x21),且當(dāng)14x<2時,〃x)=l-x,判別/(“在區(qū)間。,4]
上是否具有性質(zhì)P;
(3)若對于滿足的任意實數(shù)。和b,〃x)在區(qū)間S,句上具有性質(zhì)P,且對于
任意當(dāng)xw(〃,”+l)時,有:+++
證明:當(dāng)x21時,/(2x)>/(x).
【答案】(1)C>-2;(2)具有性質(zhì)p;(3)證明見解析.
【分析】(1)由對稱軸x=-]41可得;
(2)求出/(x)在[1,4J上的函數(shù)解析式,判斷出函數(shù)在口,2),[2,3),[3,4)上后一個區(qū)間上
的函數(shù)值都比前一個區(qū)間上的函數(shù)值大,從而函數(shù)最小值(如果有)只能在第一個區(qū)間
口,2)上取得,但在工2)上函數(shù)無最小值,因此可得出結(jié)論;
(3)由絕對值的性質(zhì)
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