2023屆上海市高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023屆上海市控江中學(xué)高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知實(shí)數(shù)a,6滿足a>b,則下列不等式中恒成立的是()

A.2>b2B.-<yC.|a|>g|D.2">2"

aah

【答案】D

【分析】對(duì)于A,B,C通過舉反例進(jìn)行判斷即可，對(duì)于D,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即

可

22

【詳解】解：對(duì)于A,當(dāng)a=l,〃=-2時(shí)，a=l<b=4,所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B.當(dāng)〃=1/=-2時(shí),1=1>，=一:，所以B錯(cuò)誤，

ah2

對(duì)于C,當(dāng)〃=1力=一2時(shí)，|a|=l<W=2,所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=2"在R上為增函數(shù)，且a>b,所以2">2"，所以D正確，

故選：D

2.角a的終邊落在區(qū)間(-3%,-罟)內(nèi)，則角a所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【分析】找到-3"，-當(dāng)終邊所在的位置，即可求解.

【詳解】-3萬的終邊在x軸的非正半軸上，-半的終邊在y軸的非正半軸上，

故角a為第三象限角，

故選：C

3.已知函數(shù)/(x)=x+?a>0),0<x,<x2,K/U)=/(x,),給出以下結(jié)論：

①王|空>&恒成立；②外26-占)<〃切恒成立.則()

A.①正確，②正確B.①正確，②錯(cuò)誤

C.①錯(cuò)誤，②正確D.①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)=x+3(a>0)的性質(zhì)判斷即可.

X

【詳解】對(duì)于①，因?yàn)椤?lt;%<%,且/a)=/(w),所以西+@=&+0(”>0),于是

玉玉

(?一七)(玉毛-a)=0,

因?yàn)橥?lt;工2，所以工|工2=。，所以王十七>2"^=26,于是5；?〉&,所以①對(duì)；

對(duì)于②，因?yàn)?<公<》2,且，(②=/(乃。由函數(shù)f(x)=x+)(a>0)的性質(zhì)得,

X

0<Xj<\［a<x2,

由①知因?yàn)椤癤)在(6,y)上單調(diào)遞增，所以/(26-4)</(當(dāng))，所

以②對(duì).

故選：A

log,(1-x),?-<x<n

2

4.已知函數(shù)〃x)=5<⑼的值域是［T，l］,有下列結(jié)論：①當(dāng)

22T-3,?n<x<m

"=0時(shí)，加€(0,2］；②當(dāng)時(shí)，me(-,2］；③當(dāng)"€［0,3時(shí)，④當(dāng)

222

；)時(shí)，，"€(〃,2］.其中結(jié)論正確的所有的序號(hào)是.

A.①②B.③④C.②③D.②④

【答案】C

【解析】根據(jù)函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及分段函數(shù)的定義，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象即可求得

答案.

【詳解】解：當(dāng)x>l時(shí)，x-1>0,f(x)=22-X+，-3=23-X-3,單調(diào)遞減，

當(dāng)-1<X<1時(shí)，/(x)=22+x-7-3=21+x-3,單調(diào)遞增，

二〃X)=22卡T—3在(-1,1)單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減,

...當(dāng)x=l時(shí)，取最大值為1,

:,繪出〃X)=22TT_3的圖象,如圖下方曲線：

log、(1-x)-14x40

①當(dāng)〃=0時(shí)，f(x)=\,

22-HI-30<x<m

由函數(shù)圖象可知：

要使/(x)的值域是［-1,1］,

則加(1,2］；故①錯(cuò)誤；

②當(dāng)"=g時(shí)，f(x)=/og;(l-X),

f(X)在［-1,單調(diào)遞增，/'(X)的最大值為1,最小值為-1,

；故②正確；

③當(dāng)“e°，；)時(shí)，〃尼口，2］;故③正確，④錯(cuò)誤,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，分段函數(shù)的圖象，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性

及最值，考查計(jì)算能力，屬于難題.

二、填空題

5.集合A={1,2,3,4},8={X|(X_D(X_5)<0},則AA8=.

【答案】{2,3,4}

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合3,結(jié)合交集的定義和運(yùn)算即可求解.

【詳解】由題意知，

8={目(x-l)(x-5)<0}={即<x<5},

所以4口8={2,3,4}.

故答案為：{2,3,4}.

6.若sina=L,貝ijsin(%+a)=________.

4

【答案】-!。25

【分析】由誘導(dǎo)公式求解即可.

［詳解］sin(^-+a)=-sina=--

4

故答案為：-二

4

7.不等式H-幻>1的解集是.

【答案】(TO,0)U(2,F)

【詳解】l|>lox<0或X>2.

即答案為(9,0)=(2,w).

8.已知x>0,y>0,2x+y=\,則犯的最大值是.

【答案】

O

【分析】直接根據(jù)基本不等式求最值.

【詳解】解：Vx>0,y>0,2x+y=l,

.?.孫=12"人'(2?4=1,

2-248

當(dāng)且僅當(dāng)2x=y=；時(shí)等號(hào)成立，

故答案為：

O

【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式求最值，要注意等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.

9.已知二元線性方程組，；有無窮多解，則實(shí)數(shù)。=________

[4x+ay=a

【答案】-2

【分析】若二元線性方程組有無窮多解，則兩個(gè)方程對(duì)應(yīng)系數(shù)必成比例.

【詳解】???方程組有無窮多解

，直線2x+2y=-l和直線4x+a2y=a重合，

即兩個(gè)直線方程對(duì)應(yīng)系數(shù)必成比例；

.亭2彳2=」1，解得a=-2：

4a-a

故答案為：-2.

10.若函數(shù)/(x)=Iog2(2'+l)+區(qū)是偶函數(shù)，貝必=.

【答案】

31

【詳解】由題可知，有/(T)=/。)，則log2i-%=log23+Z,得”=-萬.代入檢驗(yàn)滿

足題意.

11.把5sina+l2cosa化成4sin(a+g)(A>0，ee(0,27T))的形式，則常數(shù)。的值為

【答案】arctany

【分析】根據(jù)輔助角公式可得5sina+12cosa=13sin(a+e),其中tan*=不進(jìn)而求

出處.

【詳解】由題意知，

5sina+12cosa="\/52+122sin(?+<p)=13sin(a+<p)>

12一12

其中tan“=M，所以夕=arctan—.

故答案為：arctany.

2--1(x40)

12.設(shè)函數(shù)〃x)={..若/伉)>1,則%的取值范圍是_____.

x2(x>0)

【答案】(—1)51,收)

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，利用分段條件分類討論，列出不等式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)

與幕函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

2"1(x40)

【詳解】由題意，函數(shù)/")=I，且/(玉)>1,

(x>0)

當(dāng)玉)40時(shí)，令即2f>>2,解得x()<T;

當(dāng)x0>0時(shí)，令#>1，即寓>1,解得%>1,

綜上可得，實(shí)數(shù)與的取值范圍是(―,-1)口(1,內(nèi)).

故答案為：(re,-1)=(1,+℃).

13.設(shè)aeR,若函數(shù)y=〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=a(x-l)+l,

若y=/(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)，則?取值范圍為.

【答案】(05

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)解析式，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(X)為R上的奇函數(shù)，所以/(X)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且"0)=0,

當(dāng)。=0時(shí)，/(x)=l在(0,+8)上不是單調(diào)增函數(shù)，故。/0；

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=a(x-Y)+l=ax+l-a,

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,PJiJf(-x)=-ax+l-a,

得fM=-f(-x)=ax+a-1,即當(dāng)％<0時(shí)f{x}=cix+a-\,

6LX+6F-l,X<0

所以/(%)=0,x=0

+1-a,x>0

?_,\a>0

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)在R上單調(diào)遞增，所以，八，解得0<a41；

[a-1<1-<7

所以a的取值范圍為(0』.

故答案為：(0』.

14.已知犬x)=/+2(a—2)x+4,如果對(duì)[-3,1],大外>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍為?

【答案】(-；，4)

【分析】對(duì)X0-3,1],f(x)>0恒成立，需討論對(duì)稱軸與區(qū)間[-3,1]的位置關(guān)系，

確定出最小值建立不等式，解之即可.

【詳解】?.,￡(x)=X2+2(a-2)x+4,

對(duì)稱軸x=-(a-2),

對(duì)x￡[-3,1],f(x)>0恒成立，

，討論對(duì)稱軸與區(qū)間[-3,1]的位置關(guān)系得：

卜("2)<一31-3<-(?-2)<11("2)>1

/(-3)>0-乂[A<0[/(1)>0,

解得aGe或lWaV4或-y<a<l,

；.a的取值范圍為(-；,4)

【點(diǎn)睛】二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值，它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)圖

象的頂點(diǎn)處取到；常見題型有：(1)軸固定區(qū)間也固定；(2)軸動(dòng)(軸含參數(shù))，區(qū)間

固定；(3)軸固定，區(qū)間動(dòng)(區(qū)間含參數(shù)).找最值的關(guān)鍵是：(1)圖象的開口方向；

(2)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系；(3)結(jié)合圖象及單調(diào)性確定函數(shù)最值.

15.設(shè)x是第二象限角，且滿足cos土+sin土=-好，則sin；-cos；=__________.

22222

【答案】±3

2

【分析】根據(jù)X是第二象限角，得到%"+f<；<br+g,AeZ,再由cos土+sin2=一@

422222

平方求解.

【詳解】解：因?yàn)閤是第二象限角，B[J2k^+^<x<2kji+7r,keZ,

則%〃■+工V土<4乃+工，％￡Z,

422

當(dāng)上為偶數(shù)時(shí)，cos-<sin-,當(dāng)人為奇數(shù)時(shí)，cos->sin-,

2222

由cos—+sin—=平方得

222

x.X]x.x.x5

cos—+sin—=cos~—+2cos—?sin—+sm~2—=—,

22)22224

即2cos--sin—=—,

224

所以

xx

sin——cos—=±

22

故答案為：士日

16.已知函數(shù)〃x)=cosx,若對(duì)任意實(shí)數(shù)小x、,方程

+(七)|=加(meR)有解，方程

(%)|-|/(》)-"%)|=”(〃€/?)也有解，則帆+”的值的集合為,

【答案】{2}

【分析】根據(jù)題意，不妨設(shè)cos玉4cos與，分類討論當(dāng)cosxNcosx?,cosx<cosx],

COSX|<<:0$乂<8$々三種情況下，結(jié)合方程有解以及余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從而求出

機(jī)和〃的值，即可得出，7?+”的值的集合.

【詳解】解：由題可知.f(x)=cosx,不妨設(shè)COS為4cos々，

對(duì)于機(jī)，對(duì)任意實(shí)數(shù)4，%2,方程(x)-/(x,)|+|/(x)-/(w)|="?5eR)有解，

當(dāng)COSX2cos々時(shí)，方程可化為機(jī)=2cosx-(COS玉+COSW)有解，

所以，"NCOS%-cos%恒成立，所以加22；

當(dāng)COSX$COSX[時(shí)，同上;

當(dāng)COSX[<cosx<cos%2時(shí),方程可化為"Z=cos%2-COSX]有解，所以機(jī)w[0,2],

綜上得：m=2?

對(duì)于〃，對(duì)任意實(shí)數(shù)與，巧，方程〃々)|=〃(〃€幻也有解,

當(dāng)cosx2cosX2時(shí)，方程可化為〃=COSX2-COSX|有解，所以〃e[0,2]；

當(dāng)COSXWCOSX]時(shí)，同上；

當(dāng)cos%vcosxccos/時(shí)、方程可化為〃=2cosx-(COSW+COSX])有解，

所以cos%-cos/v〃<cos%2-cos%恒成立，所以〃=0,

所以〃?+”的值的集合為{2}.

故答案為：{2}.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與方程的綜合問題，考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

通過設(shè)COSX|Wcos%,以及分類討論COSX與COSX|,COSX2的大小情況，并將方程有解轉(zhuǎn)

化為恒成立問題是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的分類討論思想和邏輯分析能力.

三、解答題

17.已知常數(shù)函數(shù)=

(1)若“=石，解關(guān)于x的不等式/(X)<4；

(2)若/(x)在[3,xo)上為增函數(shù)，求。的取值范圍.

【答案】(1)(0,1)；(2)(0,27].

【分析】(1)由題設(shè)，令r=3">0可得f(x)=g(r)=f+3，結(jié)合題設(shè)不等式，解一元二

t

次不等式并利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解集.

(2)利用對(duì)勾函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷了(幻的單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合已知得Iog3〃43即

可求。的取值范圍.

3

【詳解】(1)由題設(shè)，/(x)=3r+3'-\令f=3，>0,則/(x)=g(t)=f+—,

A/(x)<4,即g(f)=f+'<4,整理得『一所+3<0,解得1<1<3.

/

即0<x<l,故/(x)<4的解集為(0,1).

2

(2)令r=3，>0，則/(x)=g(f)=f+幺，又awR",

t

...八(0,0上g(f)遞減,-3+00)上gQ)遞增，又f=3,為增函數(shù),

[log/.+s)上f(x)為增函數(shù)，要使f(x)在[3,+8)上為增函數(shù)，

.?.log3a43,可得0<a427,故。的取值范圍(0,27].

18.對(duì)于兩個(gè)定義域相同的函數(shù)〃x)、g(x),若存在實(shí)數(shù)以"使/?(x)=W(x)+〃g(x),

則稱函數(shù)〃(X)是由“其函數(shù)〃X)、g(X)”生成的.

⑴若/(x)=9+3x和g(x)=3x+4生成一個(gè)偶函數(shù)〃(x),求力(2)的值；

⑵若/1(%)=2f+31-1是由函數(shù)/。)=3+?，8(%)=%+6(?/€/?且岫*0)生成,求

a+2b的取值范圍.

【答案】(1)"2)=。

U

【分析】(1)先用待定系數(shù)法表示出偶函數(shù)力(X)，再根據(jù)其是偶函數(shù)這一性質(zhì)得到引入

參數(shù)的方程，求出參數(shù)的值，即得函數(shù)的解析式，代入自變量求值即可；

(2)先用待定系數(shù)法表示出偶函數(shù)〃(幻，再根據(jù)同一性建立引入?yún)?shù)的方程求參數(shù)，

然后再求。+2)的取值范圍；

【詳解】(1)設(shè)力(x)=fn(x2+3x)+〃(3x+4)=nix2+(3m+3w)x+4〃,

〃(x)是偶函數(shù)，，〃(一幻=h(x),

即+(3m++4/i=nix2+(3m+3n)x+4〃

.?.機(jī)+〃=0,A(2)=10/W4-10n=0.

(2)設(shè)h(x)=lx1+3x—\=m(x2+ax)+n(x+h)=nix2+(am+n)x+nh,

am+n=3,解得,

nb=-1

—=—

由QZ?w0知，〃工3,

31

當(dāng)〃>0且〃工3時(shí)，a+2b=^-用-2=-耳，當(dāng)〃=2時(shí)取等號(hào),

3-n237

當(dāng)〃<0時(shí)，a+2b=-+一十——7+2=萬，當(dāng)〃=-2時(shí)取等號(hào),

2-n

:.a+2bw-00,-5

19.經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型，是目前大多數(shù)工廠、企業(yè)等最常采用的訂貨方式，即某種物資

在單位時(shí)間的需求量為某常數(shù)，經(jīng)過某段時(shí)間后，存儲(chǔ)量消耗下降到零，此時(shí)開始訂貨

并隨即到貨，然后開始下一個(gè)存儲(chǔ)周期，該模型適用于整批間隔進(jìn)貨、不允許缺貨的存

儲(chǔ)問題，具體如下：年存儲(chǔ)成本費(fèi)T(元)關(guān)于每次訂貨x(單位)的函數(shù)關(guān)系

T(x)=9+d,其中A為年需求量，B為每單位物資的年存儲(chǔ)費(fèi)，C為每次訂貨費(fèi).某

化工廠需用甲醇作為原料，年需求量為6000噸，每噸存儲(chǔ)費(fèi)為120元/年，每次訂貨費(fèi)

為2500元.

(1)若該化工廠每次訂購300噸甲醇，求年存儲(chǔ)成本費(fèi)；

(2)每次需訂購多少噸甲醇，可使該化工廠年存儲(chǔ)成本費(fèi)最少？最少費(fèi)用為多少？

15000000

【答案】(1)7U)=60%+,7(300)=68000；(2)x=500,7；ljn=60000

X

【分析】(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)求出A,B,C,得到T(x),再將x=3()0代入即可得出結(jié)果;

(2)根據(jù)基本不等式求出最小值，注意等號(hào)成立的條件，即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)槟甏鎯?chǔ)成本費(fèi)T(元)關(guān)于每次訂貨x(單位)的函數(shù)關(guān)系

丁(同=與+生，其中A為年需求量，8為每單位物資的年存儲(chǔ)費(fèi)，C為每次訂貨費(fèi).

2x

由題意可得：A=6000,5=120,C=2500,

尸2六收卡+弗7/\m15000000

所以存儲(chǔ)成本費(fèi)T(x)=60x+----——,

若該化工廠每次訂購300噸甲醇，

所以年存儲(chǔ)成本費(fèi)為7(300)=60x300+”用詈=68000；

⑵因?yàn)榇鎯?chǔ)成本費(fèi)T(x)=60x+國詈&，x>0,

所以7(x)=60x+IS。。。。。。>2760x15000000=60000,

I5000000

當(dāng)且僅當(dāng)60x=,即x=5(X)時(shí)，取等號(hào)；

x

所以每次需訂購500噸甲醇，可使該化工廠年存儲(chǔ)成本費(fèi)最少，最少費(fèi)用為60000.

【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，熟記基本不等式即可求解，屬于?？碱}型.

20.定義區(qū)間(，〃,〃)、卜〃,〃］、(加,〃］、［加,〃)以長度均為"一加，已知不等式21的解集

為A.

(1)求A的長度；

(2)函數(shù)/(力=9您二'(〃eR,axO)的定義域與值域都是［“，〃］(”>〃?)，求區(qū)間

卜",〃］的最大長度；

【答案】(1)7；

⑵述.

3

【分析】⑴根據(jù)分式不等式的解法求出集合A,結(jié)合題意給的定義即可求解:

［f(m)=m

⑵化簡函數(shù)/(X),研究/(X)的單調(diào)性，可得［、，即機(jī)、〃是方程

［/(〃)=〃

/(X)=X的同號(hào)互異的實(shí)根，利用韋達(dá)定理和判別式得出機(jī)、附的關(guān)系，即可求解.

【詳解】⑴J--1>0<^^1>0,

6-x6—xo-x

x+］

即-<0<=>(x+l)(x-6)<0,解得一1Wx<6,

x-6

所以A=H-14X<6},故集合A的長度為6-(-1)=7；

⑵函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閧也x0},

由函數(shù)/“)的定義域和值域都是［加,川(">M,

得［m,n］c(-co,0)U(0,+<?),

所以函數(shù)在［九網(wǎng)上單調(diào)遞增,

axaax

ff(in)=m

有［二,即小〃是方程〃x)=x的同號(hào)互異的實(shí)根，

［f(n)=n

所以機(jī)、"是方程//-(M+Gx+JO的同號(hào)互異的實(shí)根，

1,11+?！?/p>

故mn=—,+〃=----,A>0,

即△=(〃+。)2—4/>0,解得av—3或,

2

則n-m={(幾+m)2-4〃〃=-3=A/-3(---)+3,

Vaa~\a33

當(dāng)即a=3時(shí)，〃一機(jī)取到最大值偵，

a33

所以區(qū)間［m,n\的最大長度為也.

3

21.設(shè)函數(shù)“X)在［1,y)上有定義，實(shí)數(shù)。和匕滿足14a〈江若〃x)在區(qū)間(a,目上不

存在最小值，則稱/(x)在區(qū)間(。,句上具有性質(zhì)P.

(1)當(dāng)/(力=/+小，且“X)在區(qū)間(1,2］上具有性質(zhì)P,求常數(shù)C的取值范圍；

(2)已知〃x+l)=/(x)+l(x21),且當(dāng)14x<2時(shí)，〃x)=l-x,判別/(“在區(qū)間。,4］

上是否具有性質(zhì)P;

(3)若對(duì)于滿足的任意實(shí)數(shù)。和b,〃x)在區(qū)間S，句上具有性質(zhì)P,且對(duì)于

任意當(dāng)xw(〃,”+l)時(shí)，有：+++

證明：當(dāng)x21時(shí)，/(2x)>/(x).

【答案】(1)C>-2；(2)具有性質(zhì)p；(3)證明見解析.

【分析】(1)由對(duì)稱軸x=-]41可得；

(2)求出/(x)在[1,4J上的函數(shù)解析式，判斷出函數(shù)在口,2),[2,3),[3,4)上后一個(gè)區(qū)間上

的函數(shù)值都比前一個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值大，從而函數(shù)最小值(如果有)只能在第一個(gè)區(qū)間

口,2)上取得，但在工2)上函數(shù)無最小值，因此可得出結(jié)論；

(3)由絕對(duì)值的性質(zhì)