高中數(shù)學第二章基本初等函數(shù)Ⅰ2.2.1對數(shù)與對數(shù)運算第二課時對數(shù)的運算講義新人教A版必修

第二課時對數(shù)的運算目標導航課標要求1.掌握對數(shù)的運算性質(zhì),并能運用運算性質(zhì)化簡、求值.2.了解對數(shù)的換底公式及其應(yīng)用.3.初步掌握對數(shù)在生活中的應(yīng)用.素養(yǎng)達成通過本節(jié)內(nèi)容的學習,使學生體會轉(zhuǎn)化思想在對數(shù)中的作用,提高學生數(shù)學運算能力.新知探求課堂探究新知探求·素養(yǎng)養(yǎng)成【情境導學】導入一問題1:指數(shù)運算有哪些性質(zhì)?答案:若a,b>0,且a≠1,b≠1,r,s∈R,則ar·as=ar+s;arbr=(ab)r;(ar)s=ars.問題2:指數(shù)式ax=b對應(yīng)的對數(shù)式是什么?答案:x=logab.導入二求下列對數(shù)的值:①log24;②log28;③log232;④log832.解:①設(shè)log24=x,則2x=4,所以x=2,即log24=2;②設(shè)log28=x,則2x=8,所以x=3,即log28=3;③設(shè)log232=x,則2x=32,所以x=5,即log232=5;想一想導入二中①②③之間存在什么運算關(guān)系?知識探究1.對數(shù)的運算性質(zhì)如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:(1)loga(M·N)=

;(2)loga

=

;(3)logaMn=

(n∈R).探究1:loga(MN)=logaM+logaN是否成立?答案:不一定,當M>0且N>0時,該式成立,當M<0,N<0時,該式不成立.logaM+logaNlogaM-logaNnlogaM【拓展延伸】與對數(shù)有關(guān)的方程的求解與對數(shù)有關(guān)的方程主要有三類:第一類是形如關(guān)于x的方程logaf(x)=b(a>0,且a≠1),通常將其轉(zhuǎn)化為指數(shù)式f(x)=ab,這樣解關(guān)于x的方程f(x)=ab即可,最后要注意驗根.第二類是形如關(guān)于x的方程logaf(x)=logag(x)(a>0,且a≠1),通常將其轉(zhuǎn)化為求方程f(x)=g(x)的解即可,最后要注意驗根.第三類是形如關(guān)于x的方程f(logax)=0(a>0,且a≠1),通常利用換元法,設(shè)logax=t,轉(zhuǎn)化為解方程f(t)=0得t=p的值,再解方程logax=p,化為指數(shù)式,則x=ap,最后要注意驗根.自我檢測BD1.(運算性質(zhì))log42-log48等于(

)(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)22.(運算性質(zhì))log35-log345等于(

)(A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2A答案:14.(換底公式)log816=

.

5.(換底公式)log23·log34·log45·log52=

.

題型一對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用課堂探究·素養(yǎng)提升解:(2)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=2+1=3.

(1)本題主要考查對數(shù)式的化簡與計算.解決這類問題一般有兩種思路:一是將式中真數(shù)的積、商、冪、方根運用對數(shù)的運算性質(zhì)將它們化為對數(shù)的和、差、積、商,然后化簡求值;二是將式中對數(shù)的和、差、積、商逆用對數(shù)的運算性質(zhì)化為真數(shù)的積、商、冪、方根,然后化簡求值.(2)對數(shù)計算問題中,涉及l(fā)g2,lg5時,常利用lg2+lg5=1及l(fā)g2=1-lg5,lg5=1-lg2等解題.方法技巧(2)原式=lg5(3lg2+3)+3(lg2)2-lg6+lg6-2=3lg5·lg2+3lg5+3(lg2)2-2=3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2=3lg2+3lg5-2=3(lg2+lg5)-2=1.解:(1)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3=2log32-5log32+2+3log32-3=-1.題型二換底公式的應(yīng)用【例2】

計算:(1)log1627log8132;(2)(log32+log92)(log43+log83).方法技巧應(yīng)用換底公式時,(1)一般都換成以10為底的對數(shù).(2)根據(jù)情況找一個底數(shù)或真數(shù)的因子作為底.(2)已知log627=a,試用a表示log1816.題型三與對數(shù)有關(guān)的方程問題【例3】

解方程:(1)log5(2x+1)=log5(x2-2);(2)(lgx)2+lgx3-10=0.解:(1)由log5(2x+1)=log5(x2-2)得2x+1=x2-2,即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.檢驗:當x=-1時,2x+1<0,舍去;當x=3時,2x+1>0,x2-2>0.故x=3.(2)原方程整理得(lgx)2+3lgx-10=0,即(lgx+5)(lgx-2)=0,所以lgx=-5或lgx=2,解得x=10-5或x=102,經(jīng)檢驗知,x=10-5,x=102都是原方程的解.方法技巧簡單的對數(shù)方程及其解法名稱題型解法基本型logaf(x)=b將對數(shù)式轉(zhuǎn)化成指數(shù)式f(x)=ab同底型logaf(x)=logag(x)轉(zhuǎn)化成f(x)=g(x),需驗根需代換型F(logax)=0換元,令t=logax,轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的方程(2)lgx+2log10xx=2.【備用例3】

已知f(x)=x2+(lga+2)x+lgb,f(-1)=-2,方程f(x)=2x至多有一個實根,求實數(shù)a,b的值.題型四