第五節(jié)條件分布與條件期望

第五節(jié)條件分布與條件期望第一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四

設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量,其分布律為

P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,….

(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律分別為

P{X=xi}=pi·i=1,2,….

P{Y=yj}=p·jj=1,2,….設(shè)pi·>0,p·j>0，考慮在事件{Y=yj}已發(fā)生的條件下事件{X=xi}發(fā)生的概率,即

{X=xi|Y=yj},i=1,2,….

的概率,由條件概率公式,

一、離散型隨機(jī)變量的條件分布律第二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四顯然，上述條件概率具有分布律的特性(1).P{X=xi|Y=yj}≥0；1．定義

設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量,對于固定

的j，若P{Y=yj}>0，則稱為在Y=yj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律。

第三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四

同理，對于固定的i，若P{X=xi}>0，則稱

為在X=xi條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律。

2.條件分布函數(shù)

第四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四同理：

例二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分布律如表XYX1=-1X2=1X3=2

Y=01/1203/12

Y=3/22/121/121/12

Y=23/121/120求條件分布律P{X=xi|Y=2}.

第五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四解：X與Y的邊緣分布如表：

XYX1=-1X2=1X3=2p.jY=01/1203/124/12

Y=3/22/121/121/124/12

Y=23/121/1204/12

pi.6/122/122/124/12

P{X=-1|Y=2}=p13/p.3=3/4；P{X=1|Y=2}=p23/p.3=1/4；P{X=2|Y=2}=p33/p.3=0；又如：P{X=1|Y=0}=p21/p.1=0等；第六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,這時由于對任意x,y有P{X=x}=0,P{Y=y}=0,因此不能直接用條件概率公式引入條件分布函數(shù)P{X≤x|Y＝y(tǒng)}.下面我們用極限的方法來處理.給定y,設(shè)對于任意固定的正數(shù)ε,P{y-ε＜Y≤y+ε}>0,于是對于任意x有

上式給出了在任意y-ε＜Y≤y+ε下X的條件分布函數(shù),現(xiàn)在我們引入以下的定義.

二、連續(xù)型隨機(jī)變量條件分布的定義

第七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四1.條件分布函數(shù)的定義：給定y,設(shè)對于任意實(shí)數(shù)x,若極限

存在,則稱此極限為在條件Y=y下X的條件分布函數(shù),記為P{X≤x|Y=y}或記為FX|Y(x|y).

2．公式：設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，概率密度為p(x,y).若在點(diǎn)(x,y)處p(x,y)連續(xù),且pY(y)>0,則有

第八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四第九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四3.條件概率密度

定義同理，稱為在Y=y條件下X的條件概率密度，且滿足概率密度的兩個性質(zhì)。稱為在X=x條件下X的條件概率密度，且滿足概率密度的兩個性質(zhì)。第十頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四例:設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布N(μ1,μ2,σ12,σ22,),求在X=x的條件下,Y的條件密度函數(shù)pY|X(y|x).解:(X,Y)的密度函數(shù)為由以前的例子知道

所以X=x條件下Y的條件概率密度為

第十一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四這正是正態(tài)分布

例:設(shè)數(shù)X在區(qū)間(0,1)上隨機(jī)地取值,當(dāng)觀察到X=x(0<x<1)時,數(shù)Y在區(qū)間(x,1)上隨機(jī)取值.求Y的概率密度pY(y).第十二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四解:按題意X具有概率密度

對于任意的x(0<x<1),在X=x的條件下,Y的條件概率密度

于是得關(guān)于Y的邊緣概率密度為第十三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四三、連續(xù)場合的全概率公式和貝葉斯公式由條件概率密度定義知,故全概率公式的密度函數(shù)形式代入條件概率密度定義式,即得貝葉斯公式的密度函數(shù)形式第十四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四例設(shè)X～在X=x的條件下求Y的概率密度解根據(jù)題意,有故按x配方積分第十五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四即Y仍服從正態(tài)分布.第十六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四二、條件數(shù)學(xué)期望1定義:X在Y=y的條件下的條件分布的數(shù)學(xué)期望(若存在)稱為X在Y=y的條件下的條件期望.具體定義式:(1)當(dāng)(X,Y)為離散隨機(jī)向量時,(2)當(dāng)(X,Y)為連續(xù)隨機(jī)向量時,同樣地可定義Y在X=x的條件下的條件期望.第十七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四若記可以看出,X在Y=y的條件下的條件期望是y的函數(shù),它是一個變量.這不同于無條件期望E(X).Y取確定值y的條件下Y取值隨機(jī)的條件下則作為隨機(jī)變量Y的函數(shù),我們可稱之為在給定Y的條件下X的條件期望,它是隨機(jī)變量.第十八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四2.重期望公式定理:設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)向量,且E(X)存在,則證明:略.特殊的情形(1)Y離散情形下(2)Y連續(xù)情形下給定Y=y時算X的條件期望,然后按Y=y的可能性大小進(jìn)行加權(quán)平均第十九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四條件期望的應(yīng)用設(shè)在一個指定的時間內(nèi)供給一水電公司的電能ξ是一個隨機(jī)變量,且ξ在[10,30]上服從均勻分布.該公司對于電能的需要量η也是一個隨機(jī)變量,且η在[10,20]上服從均勻分布.對于所供給的電能,公司取得每千瓦0.03元利潤,如果需要量超過所能供給的電能,公司就從另外的來源取得附加的電能加以補(bǔ)充,并取得每千瓦0.01元利潤,問在所考慮的指定時間內(nèi),公司所獲得的利潤的期望值是多少?

例解:設(shè)T是公司所獲得的利潤,則當(dāng)時,第二十頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期四當(dāng)