第八章 射性測量數(shù)據(jù)的處理

第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理第一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第一節(jié)引言一般只有通過幾種不同方法測量結(jié)果的比較；或雖然是同一種方法，但使用不同的設(shè)備，將其測量結(jié)果進行比較。一旦找到了系統(tǒng)誤差，可以對其進行校正，以減少甚至消除系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果帶來的影響。偶然誤差也叫隨機誤差，是由不確定的因素引起的。隨機誤差的出現(xiàn)服從統(tǒng)計分布的規(guī)律。增加測量次數(shù)，可以減小偶然誤差。第二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四3第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第一節(jié)引言測量次數(shù)接近無群多時，隨機誤差(也即偶然誤差)服從正態(tài)分布規(guī)律。正態(tài)分布具有以下的特點：

1).對稱性，即絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的概率相等；

2).單峰性，即絕對值小的誤差在測量中出現(xiàn)的就概率要大于絕對值大的誤差。

3).有界性，即絕對值很大的誤差在測量中出現(xiàn)的就概率接近于零。在有限次測量中，測量誤差的絕對值不會超過一定界限。

4).抵償性，即在等精度測量中，測量誤差的代數(shù)和隨測量次數(shù)的無限增加而趨近于零。第三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四4第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四5第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第一節(jié)引言粗大誤差也叫過失誤差，往往是由于工作人員操作不當(dāng)(疏忽或失誤)造成的。一旦發(fā)現(xiàn)測量數(shù)據(jù)存在粗大誤差，就應(yīng)該舍棄該數(shù)據(jù)。放射性測量，由于核衰變事件本身的統(tǒng)計性以及探測器記錄粒子的隨機性，測量數(shù)據(jù)本身也服從統(tǒng)計分布規(guī)律。各次測量的數(shù)據(jù)總是圍繞著其平均值上下波動(漲落)。當(dāng)測量次數(shù)足夠多時，放射性測量的數(shù)據(jù)，仍然服從高斯(正態(tài))分布。第五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四6第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第一節(jié)引言從統(tǒng)計分布的理論上講，我們希望得到的是放射性計數(shù)的數(shù)學(xué)期望值，它是無限多次測量計數(shù)值的平均值。實際上我們無法對某一個樣品進行無限多次測量，只能進行有限次數(shù)的測量甚至只進行一次測量。一次測量或有限次測量的平均值只能是數(shù)學(xué)期望值的近似值，這樣就給測量結(jié)果帶來了誤差。放射性測量的這種誤差完全是由放射性核衰變和探測器記錄粒子的統(tǒng)計性引起的，故稱為統(tǒng)計誤差。第六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四7第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第一節(jié)引言對于非放射性物理量的測量，具有偶然(隨機)誤差。它是由于在測量過程中受到各種不確定因素的影響造成的，但被測物理量本身在客觀上還是一個確定不變的量。放射性測量的統(tǒng)計誤差是由于被測物理量本身的統(tǒng)計漲落造成的，它與測量過程無關(guān)。即使是所有實驗條件都是穩(wěn)定的，在相同時間內(nèi)對同一個放射源進行多次重復(fù)測量，每次測到的計數(shù)并不完全相同，這種漲落是由放射性原子核衰變的隨機性引起的。第七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四8第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第一節(jié)引言偶然誤差和放射性測量的統(tǒng)計誤差服從的分布是相同的(高斯)。因而在表示方法與計算方法上也是很相似不同之處僅在于放射性計數(shù)值的統(tǒng)計誤差與計數(shù)本身有聯(lián)系，表現(xiàn)在其方差與計數(shù)的期望值相等，而偶然誤差不具備這樣的性質(zhì)。第八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四9第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第一節(jié)引言對一組測量數(shù)據(jù)，估計其誤差的可信程度稱為置信概率。估計的誤差極限稱為置信限(或置信區(qū)間)。當(dāng)置信區(qū)間為1時，正態(tài)分布的置信概率為68.27％；當(dāng)置信區(qū)間達到2時，置信概率達到95.45％；當(dāng)置信區(qū)間達到3時，置信概率變?yōu)?9.73％。出現(xiàn)超過3范圍的誤差的幾率很小很小，不到0.3％。因此，通常認為出現(xiàn)超過3范圍誤差的幾率幾乎為零。第九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四10第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第二節(jié)測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字1.有效數(shù)字的位數(shù)和數(shù)位：測量中總是不可避免地會存在誤差，像放射性測量中存在的統(tǒng)計誤差及對非放射性物理量測量中存在的偶然誤差。測量數(shù)據(jù)就不可能完全準確，測量得到的僅僅是一個近似數(shù)。當(dāng)用一個近似數(shù)表示一個量值時，通常規(guī)定其誤差的絕對值不得超過末尾有效數(shù)字的0.5(只保留一位可疑數(shù)字)。第十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四11第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第二節(jié)測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字對某一測量數(shù)據(jù)，從該數(shù)左邊第一個不為零的數(shù)字算起到包括零的最末一位數(shù)字為止的全部數(shù)字，都稱為有效數(shù)字。有效數(shù)字的位數(shù)和數(shù)位是兩個截然不同的概念。某一數(shù)據(jù)有效數(shù)字的位數(shù)是指該數(shù)據(jù)的有效數(shù)字有幾位？數(shù)據(jù)中某一位有效數(shù)字的數(shù)位指的是該位數(shù)字是個位、十位？還是百位、千位？第十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四12第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述測量數(shù)據(jù)

328×103

32.8

3.28×10-3

0.050

0.0500

有效數(shù)字位數(shù)

33323第2位有效數(shù)字數(shù)位

萬位個位小數(shù)點后4位

小數(shù)點后3位小數(shù)點后3位第二節(jié)測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字第十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四13第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第二節(jié)測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字2.數(shù)字修約規(guī)則過去通常使用“四舍五入”的規(guī)則?，F(xiàn)在推薦使用“四舍六入五湊偶”規(guī)則:以被保留數(shù)字的末位為基準如果遇到它后面的尾數(shù)小于5(4以下)，則該尾數(shù)被舍棄；如果遇到它后面的尾數(shù)大于5(6以上)，則末位數(shù)進1；如果尾數(shù)恰為5，則要根據(jù)被保留數(shù)字的末位數(shù)而定。當(dāng)末尾數(shù)為奇數(shù)時，末尾數(shù)進1；當(dāng)末尾數(shù)為偶數(shù)時，尾數(shù)5被舍棄。第十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四14第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述原數(shù)據(jù)

299346

0.00003775

196500

0.002300

取3位有效數(shù)字299×103

3.78×10-5

1.96×1052.30×10-3第二節(jié)測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字第十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四15第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第二節(jié)測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字對一個數(shù)據(jù)，不應(yīng)多次修約，只能進行一次性修約。有一個實際測量的數(shù)據(jù)0.81149。取4位有效數(shù)字時，應(yīng)得0.8115；再取其3位時，為0.812；如果直接由原數(shù)據(jù)取3位有效數(shù)字，則應(yīng)為0.811。3位有效數(shù)字取0.811是正確的。第十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四16第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第二節(jié)測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字3.數(shù)字運算規(guī)則：

1).幾個數(shù)作加、減運算：以小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)為基準，其它各數(shù)都湊成比該數(shù)多1位小數(shù)的數(shù)參加運算；運算結(jié)果取小數(shù)位數(shù)最少的位數(shù)。例如：

183.4396＋0.17829＋34.5＝183.44＋0.18＋34.5＝218.12218.1；

159.4-83.46-16.41＝59.5359.5。第十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四17第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第二節(jié)測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字2).幾個數(shù)作乘、除運算：各數(shù)中以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為基準，其它各數(shù)都湊成比該數(shù)多1位有效數(shù)字的數(shù)參加運算；運算結(jié)果取小數(shù)位數(shù)最少的位數(shù)。例如：

13469×34＝135×102×34＝4590×102＝46×10413469×34=45794646×1041346934=396.11346934=135×10234=3.97×102=397396.1471第十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四18第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第二節(jié)測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字3).乘方和開方：乘方運算結(jié)果，有效數(shù)字位數(shù)與底數(shù)相同；開方運算結(jié)果，可比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字：例如：

(15.5)2=240.25240第十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四19第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第二節(jié)測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字4).對數(shù)運算：取對數(shù)前后的有效數(shù)字位數(shù)相等。例如：

log100=2.00ln1000=6.908log555=log(5.55×102)＝2.00＋0.744＝2.74第十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四20第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第二節(jié)測量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字4.有效數(shù)字位數(shù)的確定：直接測量讀數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)取決于測量設(shè)備的精度。測量讀數(shù)中，最多只保留一位可疑數(shù)字，這一位可疑數(shù)字來源于估計值。在放射性測量中，射線強度的間接測量得到的是射線計數(shù)，能譜分析中得到的是特征射線的峰面積，直接讀數(shù)中都沒有可疑數(shù)字，全部是有效數(shù)字。但由此計算出計數(shù)率(計數(shù)/每秒或計數(shù)/每分)時，需要考慮如何確定有效數(shù)字的位數(shù)。當(dāng)今計算機的使用使計算結(jié)果的數(shù)字位數(shù)大大增加。數(shù)字位數(shù)太多并不表明測量結(jié)果越精確。有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)根據(jù)對測量誤差的要求來確定。第二十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四21第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第三節(jié)放射性測量計數(shù)的平均值及其標準誤差1.放射性計數(shù)的平均值及其標準誤差放射性測量計數(shù)的誤差既包括了由于放射性衰變本身的統(tǒng)計漲落帶來的統(tǒng)計誤差，也包括了一般測量過程中產(chǎn)生的偶然誤差。測量計數(shù)的誤差仍然服從正態(tài)(高斯)分布。設(shè)x1，x2，，

xn為對一個放射性樣品進行等精度測量的一組計數(shù)值：其算術(shù)平均值為：

第二十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四22第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第三節(jié)放射性測量計數(shù)的平均值及其標準誤差當(dāng)n∝時，其算術(shù)平均值就為該測量值的數(shù)學(xué)期望值。通常用測量值的數(shù)學(xué)期望值來代替其真值。在正態(tài)分布中，n次測量值的算術(shù)平均值是真值的無偏估計。所以，在正態(tài)(高斯)分布中就有：

第二十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四23第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第三節(jié)放射性測量計數(shù)的平均值及其標準誤差上式中：

P(xi)表示第i次測量數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率；

代表高斯分布的方差；是高斯分布的半寬度，也叫正態(tài)分布的標準偏差(或均方根誤差)。第二十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四24第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第三節(jié)放射性測量計數(shù)的平均值及其標準誤差人們不可能進行無限多次的測量。因此，放射性計數(shù)的期望值實際上是得不到的。一個樣品通常只能進行有限次的測量(有時甚至只測量一次)。人們就用n次測量計數(shù)的平均值(甚至一次測量的計數(shù))來代替其期望值。第二十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四25第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第三節(jié)放射性測量計數(shù)的平均值及其標準誤差為測量值的標準偏差。

n次測量平均值的方差是原始測量值方差的，所以

稱為測量平均值的標準誤差。第二十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四26第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第三節(jié)放射性測量計數(shù)的平均值及其標準誤差2.誤差傳遞：

1).函數(shù)的統(tǒng)計誤差計算：假設(shè)x1，x2，，xn是n個相互獨立的變量，是這些獨立變量的多元函數(shù)。該函數(shù)的統(tǒng)計誤差為

式中x1，x2，，xn分別是獨立變量x1，x2，，xn

的標準誤差。第二十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四27第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第三節(jié)放射性測量計數(shù)的平均值及其標準誤差如果兩個數(shù)相加減：，其標準誤差為：

相對標準誤差為：第二十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四28第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第三節(jié)放射性測量計數(shù)的平均值及其標準誤差

如果兩個數(shù)相乘：，其標準誤差為：

相對標準誤差為：第二十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四29第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第三節(jié)放射性測量計數(shù)的平均值及其標準誤差對于兩個數(shù)相除：其標準誤差為：

相對標準誤差：第二十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四30第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第三節(jié)放射性測量計數(shù)的平均值及其標準誤差2).多次測量計數(shù)率的誤差：對放射性核素進行k次測量，每次測量的時間ti不同，每次測量得到的計數(shù)ni也不同。這樣的一組測量叫不等精度測量。各次測量的計數(shù)率為，其方差為：

i=1,2,….k。對于一組不等精度的測量，求平均計數(shù)率及其誤差時要加權(quán)平均。給各次測量結(jié)果賦予一個權(quán)，使測量精度高的數(shù)據(jù)對平均計數(shù)的貢獻大，測量精度低的數(shù)據(jù)對平均計數(shù)的貢獻小。

第三十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四31第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第三節(jié)放射性測量計數(shù)的平均值及其標準誤差通常取各次測量數(shù)據(jù)方差的倒數(shù)為該次測量數(shù)據(jù)對平均值的權(quán)重

為任意常數(shù)。我們可以用來代替。但是尚未計算得到，通常就用來代替：

i＝1，2，…，k

即各次測量數(shù)據(jù)的權(quán)重就是它們各自的測量時間。第三十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四32第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述

計數(shù)率的加權(quán)平均值為：

加權(quán)平均值的統(tǒng)計誤差為

加權(quán)平均值的相對誤差為

第三十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四33第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述

多次測量計數(shù)率的平均值及其誤差可以表示為如果k次測量的時間相同，則為等精度測量。

無論是一次測量還是多次測量，只要總計數(shù)相同，多次測量的平均計數(shù)率相對誤差和一次測量的計數(shù)率相對誤差是一致的。相對誤差只與測量的總計數(shù)有關(guān)，而與測量的次數(shù)無關(guān)。

第三十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四34第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述3.存在本底計數(shù)時計數(shù)率誤差的計算：由于宇宙射線、環(huán)境中天然本底、電子學(xué)儀器噪聲等因素的存在以及實驗室中可能存在的其它放射性源的貢獻，放射性測量時本底總是存在的。設(shè)在時間tb內(nèi)測得本底計數(shù)率為Nb，在時間ts內(nèi)測得樣品計數(shù)(包括本底)為Ns，則樣品的凈計數(shù)率為：這里，Ns、Nb分別為樣品計數(shù)率和本底計數(shù)率。第三十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四35第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述

凈計數(shù)率n0的標準誤差為

測量結(jié)果可以寫成第三十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四36第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述4.測量時間的選擇：在不考慮本底的情況下，從前面有關(guān)計數(shù)率的相對誤差公式可以看到：只要給定這3個量中的任意兩個量，就可以利用此式求得第3個量。在有本底存在的情況下，需要合理分配樣品和本底的測量時間，以便在規(guī)定的總的測量時間T＝ts+tb內(nèi)使測量結(jié)果的誤差最小。第三十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四37第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述

利用極值條件：

為使測量結(jié)果的誤差最小，樣品和本底的測量時間之比應(yīng)等于它們計數(shù)率的平方根之比。將tb=T-ts代如上式：第三十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四38第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述在這種最佳條件下的相對方差為在給定的情況下，需要的最小測量時間Tmin為

第三十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四39第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述在放射性樣品的測量中，直接測量的數(shù)據(jù)是樣品中某種射線的計數(shù)率。測量的目的通常是要得到樣品中某放射性核素的活度。要從測得的放射性核素射線的計數(shù)率計算得到其活度，還需要除以探測器對該射線的探測效率及該射線的分支比。所以，放射性活度是以計數(shù)值作為自變量的函數(shù)?？梢岳煤瘮?shù)的統(tǒng)計誤差的計算。第三十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四40第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述第二節(jié)

測量結(jié)果的統(tǒng)計檢驗1.

t檢驗：常用于檢驗兩組測量之間(兩種測量方法之間或兩種測量儀器之間)是否存在系統(tǒng)誤差。設(shè)兩組獨立測量數(shù)據(jù)分別為：

i=1，2，…，n1j=1，2，…，n2

則第四十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四41第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述上式中，t為服從自由度的t分布變量，式中：設(shè)P為置信度，危險度為，。取置信區(qū)間為2，置信度P＝95％，。查t分布表，若<t，則兩組測量之間無系統(tǒng)誤差存在。第四十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四42第八章射性測量數(shù)據(jù)的處理與結(jié)果表述例如:第一組測量數(shù)據(jù)x：

1.9，0.8，1.0，-0.1，4.4，5.5，1.6，