高中數(shù)學(xué)-等比數(shù)列的前n項和（1）教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

教學(xué)設(shè)計一、教材分析從教材的編寫順序上來看，等比數(shù)列的前項和是第二章“數(shù)列”第四節(jié)的內(nèi)容，它是“等差數(shù)列的前項和”與“等比數(shù)列”內(nèi)容的延續(xù)、與前面學(xué)習(xí)的函數(shù)等知識也有著密切的聯(lián)系.就知識的應(yīng)用價值上來看，它是從大量數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實問題中抽象出來的一個模型，在公式推導(dǎo)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法如分類討論、方程求解等在各種數(shù)列求和問題中有著廣泛的應(yīng)用；另外它在如“分期付款”、銀行存款（“零存整取”“定期自動轉(zhuǎn)存”）等實際問題的計算中也經(jīng)常和公式的探究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探索精神,是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)能力的良好載體．教師教學(xué)用書安排“等比數(shù)列的前項和”這部分內(nèi)容授課時間2課時，本節(jié)課作為第一課時，重在研究等比數(shù)列的前項和公式的推導(dǎo)及簡單應(yīng)用，教學(xué)中注重公式的形成推導(dǎo)過程并充分揭示公式的結(jié)構(gòu)特征和內(nèi)在聯(lián)系.二、教學(xué)目標(biāo)依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平和年齡特點，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：知識與技能目標(biāo)：理解等比數(shù)列的前項和公式的推導(dǎo)方法；掌握等比數(shù)列的前項和公式并能運(yùn)用公式解決一些簡單問題．過程與方法目標(biāo)：以數(shù)學(xué)故事為切入點，通過數(shù)據(jù)計算、公式的推導(dǎo)過程，提高學(xué)生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì)．情感與態(tài)度目標(biāo)：通過數(shù)學(xué)故事、趣味數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵學(xué)生大膽嘗試、勤于思考、敢于創(chuàng)新品質(zhì)，從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的簡潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美．閱讀數(shù)學(xué)人物故事，感受往圣前賢孜孜不倦追求科學(xué)真理的品質(zhì)，激勵學(xué)生求知創(chuàng)新的欲望.三、教學(xué)重點和難點重點：等比數(shù)列的前項和公式的推導(dǎo)及其簡單應(yīng)用．從教材體系來看，它為后繼學(xué)習(xí)提供了知識基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用；從知識特點而言，蘊(yùn)涵豐富的思想方法；就能力培養(yǎng)來看，通過公式推導(dǎo)教學(xué)可培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)用數(shù)學(xué)語言交流表達(dá)的能力.突出重點方法：“抓三線、突重點”，即(一)知識技能線：情境故事→公式推導(dǎo)→公式運(yùn)用；（二）過程與方法線:特殊到一般、具體到抽象→錯位相減法等；（三）能力線：觀察能力→解決問題能力→靈活運(yùn)用能力及嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度.難點：等比數(shù)列的前項和公式的推導(dǎo)．從學(xué)生認(rèn)知水平來看，學(xué)生的探究能力和用數(shù)學(xué)語言交流的能力還有待提高.從知識本身特點來看，等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法和等差數(shù)列的的前項和公式的推導(dǎo)方法可比性低，無法用類比的方法進(jìn)行，它需要對等比數(shù)列的概念和性質(zhì)能充分理解并融會貫通，而知識的整合對學(xué)生來說恰又是比較困難的，而且錯位相減法是第一次碰到，對學(xué)生來說是個新鮮事物.四、教學(xué)方法利用多媒體等輔助教學(xué)，采用啟發(fā)和探究-建構(gòu)教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)模式.五、教學(xué)過程1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題在古印度，有個名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當(dāng)時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求．西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格．國王令宮廷數(shù)學(xué)家計算，結(jié)果出來后，國王大吃一驚．為什么呢？我們也來算算。設(shè)計意圖：設(shè)計這個情境目的是在引入課題的同時激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)習(xí)的積極性．故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點．此時設(shè)問：同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫出麥?？倲?shù)．帶著這樣的問題，學(xué)生會動手算了起來，他們想到用計算器依次算出各項的值，然后再求和．這時我對他們的這種思路給予肯定．設(shè)計意圖：在實際教學(xué)中，由于受課堂時間限制，教師舍不得花時間讓學(xué)生去做所謂的“無用功”，急急忙忙地拋出“錯位相減法”，這樣做有悖學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢？在整個教學(xué)關(guān)鍵處學(xué)生難以轉(zhuǎn)過彎來，因而在教學(xué)中應(yīng)舍得花時間營造知識形成過程的氛圍，突破學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙．同時，形成繁難的情境激起了學(xué)生的求知欲，迫使學(xué)生急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學(xué)埋下伏筆.2.師生互動，探究問題在肯定他們的思路后，我接著問：是什么數(shù)列？有何特征？應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問題呢？師生共同建立數(shù)學(xué)建模型:求數(shù)列的前64項的和.探究1：設(shè)，記為（1）式，根據(jù)數(shù)列中進(jìn)一階的數(shù)學(xué)思想得到，能不能由數(shù)列中與的關(guān)系得到關(guān)于的方程呢?經(jīng)過師生共同努力得到了進(jìn)而得到這個方程的左邊出現(xiàn)了那么我們把寫出來.探究2：如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，（1）式兩邊同乘以2則有，記為（2）式．比較（1）(2）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？經(jīng)過比較、研究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：（1）、（2）兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就消去了，得到：．而學(xué)生在減的時候并沒有把位置錯開老師進(jìn)行板書并指出：這就是錯位相減法，并要求學(xué)生縱觀全過程，反思：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？設(shè)計意圖：經(jīng)過繁難的計算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了！讓學(xué)生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心．3.類比聯(lián)想，解決問題這時我再順勢引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化，設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，怎樣求數(shù)列的前項和呢？這里，讓學(xué)生自主完成，然后對個別學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)．展示學(xué)生的完成情況(注:在實際教學(xué)中學(xué)生完成的比較好很多同學(xué)都能由前面特殊的的求法順利的寫出的求法).設(shè)計意圖：在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學(xué)生自己探究公式，從而體驗到學(xué)習(xí)的愉快和成就感．在學(xué)生推導(dǎo)完成后我再問:由得對不對？這里的能不能等于1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？時是什么數(shù)列？此時（這里引導(dǎo)學(xué)生對進(jìn)行分類討論，得出公式，同時為后面的例題教學(xué)打下基礎(chǔ)．）再次追問：結(jié)合等比數(shù)列的通項公式如何把用、、表示出來？（引導(dǎo)學(xué)生得出公式的另一形式）設(shè)計意圖：通過反問精講，一方面使學(xué)生加深對知識的認(rèn)識，完善知識結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡單地模仿和接受，變?yōu)閷χR的主動認(rèn)識，從而進(jìn)一步提高分析、類比和綜合的能力．這一環(huán)節(jié)非常重要，盡管時間有時比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用．4.及時練習(xí)，熟練應(yīng)用讓學(xué)生在掌握公式的基礎(chǔ)上熟練公式運(yùn)用，著重強(qiáng)調(diào)公式的選擇.設(shè)計意圖：本例由書中的例題改編而成，利用等比數(shù)列通項公式和等比數(shù)列求和公式快速解答，“知三求二”體現(xiàn)方程思想分類討論的數(shù)學(xué)思想有利于提高思維的靈活性和計算準(zhǔn)確性.5.變式訓(xùn)練深化認(rèn)識首先，學(xué)生獨(dú)立思考，自主解題，再請學(xué)生匯報結(jié)果，最后幻燈演示他們的解答，其它同學(xué)進(jìn)行評價，然后師生共同進(jìn)行總結(jié)．設(shè)計意圖：采用變式教學(xué)設(shè)計題組，深化學(xué)生對公式的認(rèn)識和理解，通過直接套用公式、變式運(yùn)用公式、研究公式特點這三個層次的問題解決，促進(jìn)學(xué)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成．通過以上形式，讓全體學(xué)生都參與教學(xué)，以此培養(yǎng)學(xué)生的參與意識和競爭意識．6.總結(jié)歸納，加深理解以問題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧公式、推導(dǎo)方法，鼓勵學(xué)生積極回答，然后老師再從知識點及數(shù)學(xué)思想方法兩方面總結(jié)．設(shè)計意圖：以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力．7.故事結(jié)束，情感教育歷史人物故事之吳敬吳敬，中國明代數(shù)學(xué)家。字信民，號主一翁。浙江仁和（今杭州）人。生卒年不詳，約生活于十五世紀(jì)。曾任浙江布政使司的幕僚，以善算而聞名當(dāng)?shù)?。吳敬曾“歷訪《九章》全書，久未得見”，經(jīng)過十余年努力，吳敬終于在1450年撰寫了《九章算法比類大全》10卷，對程大位《算法統(tǒng)宗》以及明中葉以后的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了重大影響。在《九章算法比類大全》收錄這樣一道有趣的問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，試問尖頭幾盞燈？”同學(xué)們，你知道這首詩的意思是什么嗎？答案又是什么呢？設(shè)計意圖：以人文故事結(jié)束，讓學(xué)生體會前賢古人對科學(xué)孜孜不倦的追求精神，領(lǐng)略中國古代數(shù)學(xué)的無窮魅力，最后將懸念疑問留給學(xué)生去思索，激發(fā)學(xué)生的求知熱情，也讓有限的課堂延展到課堂之外.8.課后作業(yè)，分層練習(xí)（1）閱讀教材;（2）作業(yè)：必做[習(xí)題1-3]A組26；選做[習(xí)題1-3]B組13.（3）思考題：求數(shù)列的前項和設(shè)計意圖：出選作題的目的是注意分層教學(xué)和因材施教，讓學(xué)有余力的學(xué)生有思考的空間．六、教學(xué)設(shè)計說明1．情境設(shè)置趣味化.本著新課程的教學(xué)理念，考慮到高二學(xué)生的心理特點，采用歷史故事的形式創(chuàng)設(shè)問題情景，意在營造生動活潑的學(xué)習(xí)氣氛，激發(fā)學(xué)生的探究欲.2．問題探究活動化．教學(xué)中本著以學(xué)生發(fā)展為本的理念，充分給學(xué)生想的時間、說的機(jī)會以及展示思維過程的舞臺，通過合作探究、師生交流，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力和語言表達(dá)能力，展示學(xué)生解決問題的思想方法，共享學(xué)習(xí)成果。3．鞏固提高梯度化．例2采用表格形式突出表現(xiàn)五個基本量“知三求二”的關(guān)系，通過公式的正用和逆用進(jìn)一步提高學(xué)生運(yùn)用知識的能力；例3主要目的提高學(xué)生分類討論能力的培養(yǎng)。4．作業(yè)布置彈性化．通過布置彈性作業(yè)，為學(xué)有余力的學(xué)生提供進(jìn)一步發(fā)展的空間．介紹相關(guān)網(wǎng)站讓學(xué)生查閱有關(guān)資料，有利于豐富學(xué)生的知識，拓展學(xué)生的視野，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．學(xué)情分析就學(xué)生而言，等差等比數(shù)列的定義和通項公式，等差數(shù)列前項和公式是學(xué)生在學(xué)習(xí)之前已經(jīng)具備的基礎(chǔ)知識.學(xué)生具體研究了等差數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)方法，具備了一定的探究能力.因此，學(xué)生會產(chǎn)生思考，等比數(shù)列前項和公式應(yīng)該如何推導(dǎo)?公式是從什么新的角度進(jìn)行建構(gòu)?其重要性和普遍性體現(xiàn)在哪里?應(yīng)該說學(xué)生從內(nèi)心來講，有想探究等比數(shù)列前項和的欲望和驅(qū)動力。學(xué)生的認(rèn)知障礙點：1、在運(yùn)用中要特別注意和兩種情況；2、通項公式與前項和公式涉及五個量，已知三個量可求另外兩個量，但解題計算難度大.效果分析1.教學(xué)目標(biāo)：是否明確而恰當(dāng)？

教學(xué)三維目標(biāo)明確，且能夠達(dá)到.2.核心知識：教師是如何呈現(xiàn)給不同學(xué)生的？

分層次教育，針對學(xué)生的相關(guān)問題有效教育.預(yù)習(xí)----上課學(xué)習(xí)---鞏固練習(xí)----復(fù)習(xí)，這樣學(xué)生學(xué)習(xí)更系統(tǒng).3.內(nèi)在聯(lián)系：是否注意建立知識橫向或縱向聯(lián)系，與生活聯(lián)系？

能理論練習(xí)實際，注重數(shù)形結(jié)合.4.學(xué)科特點：是否體現(xiàn)了學(xué)科特點與本質(zhì)？

選擇符合學(xué)生具體情況,滿足教學(xué)目標(biāo)的例題與練習(xí)、靈活把握課堂教學(xué)節(jié)奏.5.詳略得當(dāng)：是否做到了易懂的少講或不講、易混的細(xì)講并辨析？

能做到詳略得當(dāng)，學(xué)生一看就會的不講，容易得到答案的不講.將隱形化為顯性的要詳細(xì)介紹.6.教學(xué)資源：是否合理使用教材和校內(nèi)外教學(xué)資源？

充分利用課本的圖形和文字，也可以利用多媒體課件，讓學(xué)生容易理解接受。

7.學(xué)法指導(dǎo)：是否注重學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)和培養(yǎng)？

讓學(xué)生在解題中理解運(yùn)用方法.補(bǔ)充視點：

8是否寓德育于教學(xué)內(nèi)容之中

讓學(xué)生參與合作，注重交流和團(tuán)隊的精神.

教學(xué)改進(jìn)建議：

教學(xué)過程中學(xué)生要積極參與在教學(xué)過程中，學(xué)生要積極參與調(diào)查，探究，這樣教學(xué)效果就會更好.

教材分析本節(jié)內(nèi)容分為兩課時，一節(jié)為等比數(shù)列的前項和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，一節(jié)為通項公式和前項和公式的綜合應(yīng)用.本節(jié)內(nèi)容很重要，等比數(shù)列的前項和是等差數(shù)列的前項和與等比數(shù)列的延續(xù)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列知識和解決一類求和問題的重要基礎(chǔ)和有力工具.它不僅在現(xiàn)實生活中有著廣泛的實際應(yīng)用，如儲蓄，分期付款的計算等等，而且公式推導(dǎo)過程中所蘊(yùn)含的類比、分類討論、方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。公式的推導(dǎo)中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想、方法（如分類討論思想，錯位相減法等），這些思想方法在其它數(shù)列求和問題中多有涉及，能幫助同學(xué)們探討一些簡單的數(shù)列如何求和.課堂評測練習(xí)一．選擇題1.設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,若,,則數(shù)列前7項的和為()A．63 B．64 C．127 D．1282.在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項，前三項和為21，則=()A．84B．72C．33D．1893.等比數(shù)列的前項和為，若，則公比為()A．1B．1或－1C．或D．2或－24．已知等比數(shù)列的公比為2，前4項的和是1，則前8項的和為()A.15B．17C．19D．215．已知等比數(shù)列的首項為8，是其前項的和，某同學(xué)經(jīng)計算得，，，后來該同學(xué)發(fā)現(xiàn)了其中一個數(shù)算錯了，則該數(shù)為()A． B．C． D．6．某人為了觀看2008年奧運(yùn)會，從2001年起每年5月10日到銀行存入a元定期儲蓄，若年利率為p且保持不變，并且每年到期的存款及利息均自動轉(zhuǎn)為新一年定期，到2008年將所有的存款和利息全部取回，則可取回的錢的總數(shù)（元）為()A．B．C．D．]二．填空題7．等比數(shù)列{}的公比,已知=1，，則{}的前4項和=．8．若數(shù)列滿足：，，…，則.9．在等比數(shù)列｛an｝中，若，則＝．10．設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項和為，若成等差數(shù)列，則的值為.解答題11.在等比數(shù)列中，求．課后反思本著新課改的教學(xué)理念，考慮到學(xué)生的心理特點以及初、高中教學(xué)的銜接，讓學(xué)生初步了解“數(shù)學(xué)來源于生活”，采用漫畫故事的形式創(chuàng)設(shè)問題情境，意在營造和諧、積極的學(xué)習(xí)氣氛，激發(fā)學(xué)生的探究欲.教學(xué)中本著以學(xué)生發(fā)展為本的理念，充分給學(xué)生想的時間、說的機(jī)會以及展示思維過程的舞臺，通過他們自主學(xué)習(xí)、合作探究，展示學(xué)生解決問題的方法，共享學(xué)習(xí)成果，體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成功的喜悅.通過師生之間不斷合作和交流，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力和語言表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和嚴(yán)謹(jǐn)性.“等比數(shù)列前n項和”的推導(dǎo)不只一種方法，本節(jié)課是通過介紹同乘公比，錯位相減法，探究這種方法如何推廣到一般等比數(shù)列的求和．?dāng)?shù)學(xué)公式只是一些符號，學(xué)生記憶容易，但用起來困難，因此，公式的記憶.要借助于對知識點的理解。在課堂實施過程中，教學(xué)思路清晰、明確，學(xué)生對問題的回答也比較踴躍，并能對問題的解法提出自己的不同觀點，找出最簡單、有效的解決方法。因此，對等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)有一個科學(xué)的分析過程，學(xué)生對公式的獲取思路明確，理解比較深刻，較好地完成了課前預(yù)設(shè)的目標(biāo).但由于教學(xué)內(nèi)容的緊湊，過于追求教學(xué)的量，在教學(xué)、訓(xùn)練中側(cè)重于方法的指導(dǎo)而忽略了過程的詳細(xì)講解，對學(xué)生的計算能力、變形能力會產(chǎn)生不利影響，這一點，在第二天的作業(yè)中就體現(xiàn)出來.另外，過多的羅列解題方法，提高了學(xué)生的解題能力，但學(xué)生課后沒有自己的思維空間，對學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)就顯得的不足.課標(biāo)分析新課標(biāo)指出，教學(xué)目標(biāo)應(yīng)包括知識與技能目標(biāo)，過程與方法目標(biāo)，情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)這三個方面，而這三維目標(biāo)又應(yīng)是緊密聯(lián)系的一個有機(jī)整體，學(xué)生學(xué)會知識與技能的過程同時成為學(xué)會學(xué)習(xí)，形成正確價值觀的過程，這告訴我們，在教學(xué)中應(yīng)以知識與技能為主線，滲透情感態(tài)度價值觀，并把前面兩者充分體現(xiàn)在過程與方法中.為此，我將三維目標(biāo)進(jìn)行整合，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：知識與技能目標(biāo)：理解等比數(shù)列的前項和公式的推導(dǎo)方法