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PAGEPAGE1浙江省溫州市普通高中2024屆高三上學(xué)期第一次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題選擇題部分一、選擇題1.設(shè)集合,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】,所以,故選:B.2.設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限,則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,則設(shè),由得,由,得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.故選:B.3.動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線:的距離的比等于,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是()A. B.C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意可得,平方化簡(jiǎn)可得,進(jìn)而得,故選:A.4.已知向量,,則在上的投影向量的坐標(biāo)是()A. B.C. D.【答案】B【解析】在上的投影向量為,故選:B.5.已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下表所示.則()A. B. C. D.【答案】D【解析】由分布列可得,,故選:D6.若函數(shù),的值域?yàn)?,則的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意可知若,則可得;顯然當(dāng)時(shí),可得,由的值域?yàn)椋萌呛瘮?shù)圖像性質(zhì)可得,解得,即的取值范圍是.故選:D.7.已知為等比數(shù)列,則“”是“,是任意正整數(shù)”的()A.充分條件但不是必要條件 B.必要條件但不是充分條件C.充要條件 D.既不是充分條件也不是必要條件【答案】C【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,則若,則,則所以,是的充分條件;又根據(jù)已知可知,約去可得因?yàn)闉榈缺葦?shù)列,所以,所以,所以當(dāng)為等比數(shù)列時(shí),是的充分條件;故選:C8.如圖,所有棱長(zhǎng)都為1的正三棱柱,,點(diǎn)是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn),且,為線段上的動(dòng)點(diǎn),直線平面,則點(diǎn)的軌跡為()A.三角形(含內(nèi)部) B.矩形(含內(nèi)部)C.圓柱面的一部分 D.球面的一部分【答案】A【解析】如下圖所示:首先保持在線段上不動(dòng),假設(shè)與重合根據(jù)題意可知當(dāng)點(diǎn)在側(cè)棱上運(yùn)動(dòng)時(shí),若點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí),為的中點(diǎn),此時(shí)由可得滿足,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖中位置時(shí),易知,取,可得,取棱上的點(diǎn),滿足,根據(jù)三角形相似可得三點(diǎn)共線,當(dāng)點(diǎn)在側(cè)棱上從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),點(diǎn)軌跡即為線段;再研究當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)在線段上從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),點(diǎn)的軌跡是線段,當(dāng)點(diǎn)在線段上從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),點(diǎn)的軌跡是線段,因此可得,當(dāng)點(diǎn)是側(cè)棱上運(yùn)動(dòng)時(shí),在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)的軌跡為及其內(nèi)部的所有點(diǎn)的集合;即可得的軌跡為三角形(含內(nèi)部).故選:A.二、選擇題9.在一次數(shù)學(xué)考試中,某班成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,則下列說(shuō)法正確的是()A.圖中所有小長(zhǎng)方形的面積之和等于1 B.中位數(shù)的估計(jì)值介于100和105之間C.該班成績(jī)眾數(shù)的估計(jì)值為97.5 D.該班成績(jī)的極差一定等于40【答案】ABC【解析】對(duì)于A,由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知,圖中所有小長(zhǎng)方形的面積之和等于1,即A正確;對(duì)于B,易知組距為,前兩組成績(jī)所占的頻率為,前三組成績(jī)所占的頻率為,由中位數(shù)定義可得其估計(jì)值介于100和105之間,即B正確;對(duì)于C,由圖可知頻率最高的成績(jī)區(qū)間,取中間值為代表可知班成績(jī)眾數(shù)的估計(jì)值為97.5,即C正確;對(duì)于D,由圖可知成績(jī)最高區(qū)間為,最低區(qū)間為,但最高分和最低分不一定分別為,所以其成績(jī)極差不一定為40,即D錯(cuò)誤;故選:ABC10.已知平面平面,則下列結(jié)論一定正確的是()A.存在直線平面,使得直線平面B.存在直線平面,使得直線平面C.存在直線平面,直線平面,使得直線直線D.存在直線平面,直線平面,使得直線直線【答案】BCD【解析】A.若存在直線平面,使得直線平面,則,故錯(cuò)誤;B.當(dāng)時(shí),又,所以,故正確;C.當(dāng)時(shí),,故正確;D.當(dāng)時(shí),,故正確;故選:BCD11.若圓與直線相切,且與圓相切于點(diǎn),則圓的半徑為()A.5 B.3 C. D.【答案】BD【解析】圓的圓心為,半徑為1,圓與圓相切于點(diǎn),則圓心在軸,設(shè)圓心為,則由題意,解得或,時(shí),半徑為,時(shí),半徑為,故選:BD.12.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,對(duì)于任意實(shí)數(shù),都有,且滿足,則()A.函數(shù)為奇函數(shù)B.不等式的解集為C.若方程有兩個(gè)根,,則D.在處的切線方程為【答案】AC【解析】對(duì)于A,,由可得,所以,且定義域?yàn)椋蕿槠婧瘮?shù),A正確,由于,所以為常數(shù),則又在中,令,則,故,故,所以,對(duì)于B,可得,又,故,則,故B錯(cuò)誤,對(duì)于C,為單調(diào)遞增函數(shù),而為開(kāi)口向上,且對(duì)稱軸為的二次函數(shù),且是的兩個(gè)交點(diǎn),的兩個(gè)交點(diǎn)設(shè)為,則,且,又為單調(diào)遞增函數(shù),所以,所以,C正確,由得,所以在處的切線方程為,D錯(cuò)誤,故選:AC.非選擇題部分三、填空題13.已知,則______(用表示).【答案】【解析】,故答案為:14.______.【答案】82【解析】可得兩式和的結(jié)果為82,故答案為:82.15.與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球,稱為圓臺(tái)的內(nèi)切球,若圓臺(tái)的上下底面半徑為,,且,則它的內(nèi)切球的體積為_(kāi)_____.【答案】【解析】由題意,畫(huà)出圓臺(tái)的直觀圖,其中為圓臺(tái)的母線長(zhǎng),,分別為上、下底面的圓心,點(diǎn)為內(nèi)切球的球心,點(diǎn)為球與圓臺(tái)側(cè)面相切的一個(gè)切點(diǎn).則由題意可得:,.因此可得:內(nèi)切球半徑,即得內(nèi)切球的體積為.故答案為:.16.斜率為1的直線與雙曲線()交于兩點(diǎn),點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn),滿足,和的重心分別為,的外心為,記直線,,的斜率為,,,若,則雙曲線的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】若直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn),設(shè)的中點(diǎn)為,聯(lián)立方程組,整理得,可得,則,又由在直線上,可得,所以,所以,即直線與雙曲線相交線的中點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率與直線的斜率之積為定值,如圖所示,取的中點(diǎn),因?yàn)榈闹匦脑谥芯€上,的重心在中線上,所以,,可得,即,又由,可得,可得因?yàn)椋业耐庑臑辄c(diǎn),則為線段的中點(diǎn),可得,因?yàn)椋?,所以,所以,所?故答案為:.四、解答題17.已知四棱錐的底面為等腰梯形,,,,平面.(1)求證:;(2)若四棱錐的體積為2,求平面與平面夾角的余弦值.(1)證明:∵平面,平面,∴,過(guò)點(diǎn)作,由為等腰梯形,,故,所以,即,即,平面,∴平面,平面,故.(2)解:方法一:,∵,,∴.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,,,,,,設(shè)平面法向量為,則,,取,得同理,設(shè)面法向量為,則,,取,得,由題意,.設(shè)平面與平面的夾角為,則,方法二:,∵,,∴.∵平面,平面,∴平面平面,過(guò)作,則平面垂足,平面,則,過(guò)作的垂線,垂足為,連,由于平面,所以平面,平面,故,則為所求二面角夾角平面角.,所以,,,,.18.設(shè)的三個(gè)內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別為,,,且.(1)若,求的最小值;(2)求的值.解:(1)由余弦定理知,方法1:所以,當(dāng)時(shí)取等,此時(shí)為正三角形.故的最小值為.方法2:所以,當(dāng)時(shí)取等.故的最小值為.(2)方法1:因?yàn)?所以原式方法2:因?yàn)?,原式綜上所述:.19.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,.(1)求;(2)記為數(shù)列的前項(xiàng)和,若,且是以2為公差的等差數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解:(1)解一:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,由可得,即,解得,,故.解二:由得,故,則故,則.(2)解一:由題意知,則,移項(xiàng)平方得,則可得是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,則,可得,則,當(dāng)時(shí),,故,故.解二:由題意可設(shè)(是常數(shù)),則,平方相減可得,則,可得,則,當(dāng)時(shí),,故,故.20.已知().(1)求導(dǎo)函數(shù)的最值;(2)試討論關(guān)于的方程()的根的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.解:(1)∵,記∴,解得:當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,所以的最大值等于.(2)方法1:由,即,即.令,∴,由解得:∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴,且所以:當(dāng)時(shí),方程無(wú)解;當(dāng)時(shí),方程有1個(gè)解;當(dāng)時(shí),方程有2個(gè)解.方法2:由,即,即.令,,∴,由解得:∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴,且所以:當(dāng)時(shí),方程無(wú)解;當(dāng)時(shí),方程有1個(gè)解;當(dāng)時(shí),方程有2個(gè)解.方法3:由,即,兩邊取對(duì)數(shù)得:,即.令,所以由,解得當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減所以當(dāng),即時(shí),方程無(wú)解;當(dāng),即時(shí),方程有1個(gè)解;當(dāng),即時(shí),方程有2個(gè)解.21.已知拋物線的焦點(diǎn)為,拋物線上的點(diǎn)處的切線為.(1)求的方程(用,表示);(2)若直線與軸交于點(diǎn),直線與拋物線交于點(diǎn),若為鈍角,求的取值范圍.解:(1)解法1:拋物線:即,則,則在處切線的斜率為,所以,:,即.解法2:(1)設(shè)切線方程為,與拋物線:聯(lián)立得,,(*)因?yàn)橹本€與拋物線相切,故方程(*)的判別式即,解得,所以,:,即.(2)易知,.設(shè)直線:,.代入拋物線方程得,故,,因?yàn)闉殁g角,所以,即,即,(*)因?yàn)?,不等式?)即,解得,所以.22.某電子器件由若干個(gè)相同的電子模塊構(gòu)成,每個(gè)電子模塊由4個(gè)電子元件按如圖所示方式聯(lián)接,其中每個(gè)電子元件導(dǎo)通的概率均為0.9.(1)求每個(gè)電子模塊導(dǎo)通的概率(保留兩位有效數(shù)字);(2)已知某電子器件由20個(gè)相同的電子模塊構(gòu)成,系統(tǒng)內(nèi)不同電子模塊彼此獨(dú)立,是否導(dǎo)通互不影響,當(dāng)且僅當(dāng)電子器件中不低于50%的電子模塊處于導(dǎo)通狀態(tài)時(shí),電子器件才能正常工作.若在該電子器件中再添加兩個(gè)相同的電子模塊,試判斷新電子器件較原電子器件正常工作的概率是增加還是減???請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)該電子模塊導(dǎo)通即電子1、4必須導(dǎo)通且電子2、3至少要有一個(gè)導(dǎo)通,所以.(2)設(shè)為原電子器件中導(dǎo)通的子模塊的個(gè)數(shù),,則新電子器件正常工作即原電子器件中至少有11個(gè)電子模塊導(dǎo)
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