2021年福建省廈門市洪塘中學高二數(shù)學文測試題含解析

2021年福建省廈門市洪塘中學高二數(shù)學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸負半軸上，拋物線上的點P（m，﹣2）到焦點的距離為4，則m的值為（）A．4 B．﹣2 C．4或﹣4 D．12或﹣2參考答案： C【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】先根據(jù)題意設(shè)出拋物線的標準方程，進而得到p的值確定拋物線的方程，再將p點坐標代入可求出m的值．【解答】解：設(shè)標準方程為x2=﹣2py（p＞0），由定義知P到準線距離為4，故+2=4，∴p=4，∴方程為x2=﹣8y，代入P點坐標得m=±4．故選C．2.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對邊，若a=2bcosC，則此三角形一定是(

)A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形參考答案：C【考點】三角形的形狀判斷；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；正弦定理．【專題】計算題．【分析】根據(jù)a=2bcosC得到bcosC=，然后根據(jù)三角函數(shù)定義，得到bcosC=CD=，得到D為BC的中點，根據(jù)全等得到三角形ABC為等腰三角形．【解答】解：過A作AD⊥BC，交BC于點D，在直角三角形ACD中，cosC=得CD=bcosC，而a=2bcosC得bcosC=，所以CD=AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD得到三角形ABD≌三角形ACD，所以b=c，三角形ABC為等腰三角形．故選C【點評】考查學生利用三角函數(shù)解直角三角形的能力．掌握用全等來證明線段相等的方法．3.設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x<0時，g(x)＋f(x)g(x)>0，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是（

）A、(－3，0)∪(3，+∞)

B、(－3，0)∪(0，3)

C、(－∞，－3)∪(3，+∞)

D、(－∞，－3)∪(0，3)參考答案：B略4.與橢圓共焦點，且過點的雙曲線的標準方程是 A． B． C． D．參考答案：D略5.設(shè)集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|-2x-3≤0},則A∩（CRB）=（

）A．(1,4)

B．(3,4)

C．(1,3)

D．(1,2)∪（3,4）參考答案：B6.已知A，B，C三點不共線，點O為平面ABC外的一點，則下列條件中，能得到P∈平面ABC的是（）A． B．C． D．參考答案：B【考點】共線向量與共面向量．【分析】根據(jù)題意，由空間向量基本定理可得：P∈平面ABC的充要條件是存在實數(shù)α、β、γ，使得=α+β+γ成立，且α+β+γ=1，實數(shù)α、β、γ有且僅有1組；據(jù)此依次分析選項，驗證α+β+γ=1是否成立，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，A，B，C三點不共線，點O為平面ABC外的一點，若P∈平面ABC，則存在實數(shù)α、β、γ，使得=α+β+γ成立，且α+β+γ=1，實數(shù)α、β、γ有且僅有1組；據(jù)此分析選項：對于A：中，+（﹣）+=0≠1，不滿足題意；對于B：中，++（﹣1）≠1，滿足題意；對于C：=++中，1+1+1=3≠1，不滿足題意；對于D：=﹣﹣中，1+（﹣1）+（﹣1）=﹣1≠1，不滿足題意；故選：B．【點評】本題考查空間向量的共線與共面的判斷，關(guān)鍵是掌握空間向量共面的判斷方法．7.在數(shù)列中，=1，，則的值為

（

）A．99

B．49

C．102

D．101

參考答案：D根據(jù)題意，由于=1，，可知數(shù)列的首項為1，公差為2，那么可知其通項公式為,因此可知=102-1=101，故選D.8.已知函數(shù)的周期為2，當，如果，則函數(shù)的所有零點之和為（

）A．2

B.4

C.6

D.8參考答案：D9.在空間中，下列命題正確的是（

）A平行于同一平面的兩條直線平行

B平行于同一直線的兩個平面平行C垂直于同一直線的兩條直線平行

D垂直于同一平面的兩條直線平行

參考答案：D10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為2，則可輸入的實數(shù)x值的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：D【考點】程序框圖．【分析】根據(jù)題中程序框圖的含義，得到分段函數(shù)，由此解關(guān)于x的方程f（x）=2，即可得到可輸入的實數(shù)x值的個數(shù)．【解答】解：根據(jù)題意，該框圖的含義是：當x≤2時，得到函數(shù)y=x2﹣1；當x＞2時，得到函數(shù)y=log2x．即y=因此，若輸出結(jié)果為2時，①若x≤2，得x2﹣1=2，解之得x=±，②當x＞2時，得y=log2x=2，得x=4因此，可輸入的實數(shù)x值可能是，﹣或4，共3個數(shù)．故選：D．【點評】本題給出程序框圖，求輸出值為3時可能輸入x的值，著重考查了分段函數(shù)和程序框圖的理解等知識，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，以、為頂點作正，再以和的中點為頂點作正，再以和的中點為頂點作正，…，如此繼續(xù)下去．有如下結(jié)論：①所作的正三角形的邊長構(gòu)成公比為的等比數(shù)列；②每一個正三角形都有一個頂點在直線（）上；③第六個正三角形的不在第五個正三角形邊上的頂點的坐標是；④第個正三角形的不在第個正三角形邊上的頂點的橫坐標是．其中正確結(jié)論的序號是

（把你認為正確結(jié)論的序號都填上）．參考答案：①②③④12.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足，則

．參考答案：由題意，復數(shù)滿足，則，所以.

13.經(jīng)過圓x2＋2x＋y2＝0的圓心C，且與直線x＋y＝0垂直的直線方程是__________參考答案：14.某四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的體積為_______；該四面體四個面的面積中最大的是________.參考答案：8,10；15.求拋物線的焦點坐標為

▲

.參考答案：16.不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|x＜1或x＞3}，則不等式cx2﹣bx+a＜0的解集為．參考答案：（﹣1，﹣）【考點】一元二次不等式的解法．【專題】計算題；方程思想；定義法；不等式的解法及應用．【分析】由于不ax2+bx+c＞0的解集為{x|x＜1或x＞3}，可得：1，3是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可把不等式cx2﹣bx+a＜0化為二次不等式即可解出．【解答】解：由題意得：a＞0，﹣=1+3=4，=1×3=3，即b=﹣4a，c=3a，故不等式cx2﹣bx+a＜0可化為：3x2+4x+1＜0，化簡得（3x+1）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜﹣．∴所求不等式的解集為（﹣1，﹣），故答案為：（﹣1，﹣）．【點評】本題考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．17.矩陣的逆矩陣為__________.參考答案：【分析】通過逆矩陣的定義構(gòu)建方程組即可得到答案.【詳解】由逆矩陣的定義知：,設(shè)，由題意可得：，即解得，因此.【點睛】本題主要考查逆矩陣的相關(guān)計算，難度不大.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的離心率為e=，且過點（1，）．拋物線C2：x2=﹣2py（p＞0）的焦點坐標為（0，﹣）．（Ⅰ）求橢圓C1和拋物線C2的方程；（Ⅱ）若點M是直線l：2x﹣4y+3=0上的動點，過點M作拋物線C2的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB交橢圓C1于P，Q兩點．（i）求證直線AB過定點，并求出該定點坐標；（ii）當△OPQ的面積取最大值時，求直線AB的方程．參考答案：考點：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（I）由已知條件，設(shè)橢圓方程為，把點代入能求出橢圓C1的方程．拋物線C2中，由，能求出拋物線C2的方程．（II）（i）設(shè)點M（x0，y0），且滿足2x0﹣4y0+3=0，點A（x1，y1），B（x2，y2），由于切線MA，MB同過點M，有，由此能證明直線AB過定點．（ii）設(shè)P（x3，y3），Q（x4，y4），聯(lián)立方程，得，由此利用根的判別式和韋達定理能求出直線方程．解答： 解：（I）由于橢圓C1中，，則設(shè)其方程為，由于點在橢圓上，故代入得λ=1．故橢圓C1的方程為．拋物線C2中，∵拋物線C2：x2=﹣2py（p＞0）的焦點坐標為（0，﹣），∴，故p=1，從而橢圓C1的方程為，拋物線C2的方程為x2=﹣2y．（II）（i）證明：設(shè)點M（x0，y0），且滿足2x0﹣4y0+3=0，點A（x1，y1），B（x2，y2），則切線MA的斜率為﹣x1，從而MA的方程為y=﹣x1（x﹣x1）+y1，考慮到，則切線MA的方程為x1x+y+y1=0，同理切線MB的方程為x2x+y+y2=0，由于切線MA，MB同過點M，從而有，由此點A（x1，y1），B（x2，y2）在直線x0x+y+y0=0上．又點M在直線2x﹣4y+3=0上，則2x0﹣4y0+3=0，故直線AB的方程為（4y0﹣3）x+2y+2y0=0，即y0（4x+2）+（2y﹣3x）=0，∴直線AB過定點．（ii）解：設(shè)P（x3，y3），Q（x4，y4），考慮到直線AB的方程為x0x+y+y0=0，則聯(lián)立方程，消去y并簡化得，從而，，，從而，點O到PQ的距離，從而=，當且僅當，即，又由于2x0﹣4y0+3=0，從而消去x0得，即，解得，從而或，∴所求的直線為x+2y+2=0或x﹣14y﹣10=0．點評：本題考查橢圓和拋物線方程的求法，考查直線過定點的證明，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用．19.在三角形ABC中，，求三角形ABC的面積S．參考答案：【考點】正弦定理的應用．【專題】計算題．【分析】先根據(jù)cosB求出sinB的值，再由兩角和與差的正弦公式求出sinA的值，由余弦定理求出c的值，最后根據(jù)三角形的面積公式求得最后答案．【解答】解：由題意，得為銳角，，，由正弦定理得，∴．【點評】本題主要考查兩角和與差的正弦公式和三角形面積公式的應用，屬基礎(chǔ)題．22．對某電子元件進行壽命追蹤調(diào)查，情況如下：壽命/小時100～200200～300300～400400～500500～600個數(shù)2030804030（1）完成頻率分布表；分組頻數(shù)頻率100～200

200～300

300～400

400～500

500～600

合計

（2）完成頻率分布直方圖；（3）估計電子元件壽命在100～400小時以內(nèi)的概率；（4）估計電子元件壽命在400小時以上的概率．【答案】【解析】【考點】互斥事件的概率加法公式；頻率分布直方圖．【專題】計算題；作圖題．【分析】（1）由題意知，本題已經(jīng)對所給的數(shù)據(jù)進行分組，并且給出了每段的頻數(shù)，根據(jù)頻數(shù)和樣本容量做出頻率，填出頻率分布表（2）結(jié)合前面所給的頻率分布表，畫出坐標系，選出合適的單位，畫出頻率分步直方圖．（3）由累積頻率分布圖可以看出，壽命在100～400h內(nèi)的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.65，我們估計電子元件壽命在100～400h內(nèi)的概率為0.65．（4）由頻率分布表可知，壽命在400h以上的電子元件出現(xiàn)的頻率，我們估計電子元件壽命在400h以上的概率為0.35．【解答】解：（1）完成頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率100～200200.10200～300300.15300～400800.40400～500400.20500～600300.15合計2001（2）完成頻率分布直方圖如下：（3）由頻率分布表可知，壽命在100～400小時的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.10+0.15+0.40=0.65，所以估計電子元件壽命在100～400小時的概率為0.65（4）由頻率分布表可知，壽命在400小時以上的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.20+0.15=0.35，所以估計電子元件壽命在400小時以上的概率為0.35【點評】本題在有些省份會作為高考答題出現(xiàn)，畫頻率分布條形圖、直方圖時要注意縱、橫坐標軸的意義．通過本題可掌握總體分布估計的各種方法和步驟．20.已知等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和，求的值．參考答案：（1）

∴

∴．

（2）∴∴

故．

21.如下圖，在棱長為2的正方體中，分別是的中點,求證：（1）

（2）（3）求三棱錐-的體積

參考答案：22.已知圓O：x2+y2=9及點C（2，1）．（1）若線段OC的垂直平分線交圓O于A，B兩點，試判斷四邊形OACB的形狀，并給予證明；（2）過點C的直線l與圓O交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，