高中總復(fù)習(xí)第一輪數(shù)學(xué)(新)第二章.函數(shù)的奇偶性

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.4函數(shù)的奇偶性鞏固·夯實(shí)基礎(chǔ)一、自主梳理1.奇函數(shù)：對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f（-x)=—f（x）〔或f（x）+f(—x)=0〕,則稱f（x）為奇函數(shù).2.偶函數(shù)：對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(—x）=f（x）〔或f(x）-f（-x)=0〕,則稱f(x）為偶函數(shù)。3。奇、偶函數(shù)的性質(zhì)（1）具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱（也就是說，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)。(2）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.(3）若奇函數(shù)的定義域包含數(shù)0,則f（0）=0.(4)奇函數(shù)的反函數(shù)也為奇函數(shù)。（5）定義在（-∞，+∞)上的任意函數(shù)f(x)都可以唯一表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和。二、點(diǎn)擊雙基1．下面四個結(jié)論中，正確命題的個數(shù)是(）①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交②奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn)③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱④既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f（x）=0(x∈R)A.1B。2C。3D.4解析:①不對；②不對，因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域可能不包含原點(diǎn)；③正確；④不對，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)可以為f（x）=0〔x∈(—a，a）〕。答案:A2．已知函數(shù)f（x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函數(shù)，那么g(x）=ax3+bx2+cx是（）A.奇函數(shù)B。偶函數(shù)C.既奇且偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)解析:由f(x)為偶函數(shù)，知b=0，有g(shù)（x)=ax3+cx(a≠0）為奇函數(shù).答案:A3．若函數(shù)f（x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(-∞，0］上是減函數(shù),且f（2）=0，則使得f(x)<0的x的取值范圍是（）A.(—∞,2)B.（2，+∞）C.（—∞—2)∪(2，+∞）D.(—2,2)解析：由圖象法可解，由函數(shù)的性質(zhì)可畫出其圖象如圖所示。顯然f(x)〈0的解集為｛x｜-2〈x<2｝,故選D。答案：D4．已知函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù),g(x）是R上的奇函數(shù),且g（x)=f(x—1),若f(2)=2,則f（2006)的值為（)A。2B.0C.-2D.±2解析：由題意得g（—x）=f(-x-1）=f［—(x+1）］，g（x+2）=f(x+1），∴g(x+2)=g(-x)=—g(x)。∴g(x+4）=-g（x+2)=g(x）.∴g(x）為周期函數(shù)且T=4.f（2006)=g（2007)=g（3+2004）=g（3）=f(2)=2.故選A.答案:A5．已知f(x）=ax2+bx+3A+b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)椋踑-1，2a]，則a=____,b=______。解析：定義域應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對稱，故有a—1=—2a,得A=.又對于所給解析式，要使f（—x)=f(x)恒成立，應(yīng)b=0.答案:0誘思·實(shí)例點(diǎn)撥【例1】f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f（2）=0，則方程f(x)=0在區(qū)間(0,6）內(nèi)解的個數(shù)的最小值是()A.2B。3C.4D.5解析:周期為3，且f（2)=0,是R上的奇函數(shù),∴f(2)=f（—1)=—f(1),f(2）=—f(—2),f（—2)=f(1)=f(4)，f(2）=f（5）?！鄁（1)=f(2）=f(3）=f(4）=f(5)=0.答案:D【例2】判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1）f(x）=｜x+1|-｜x—1｜;（2)f(x)=(x-1)·；(3)f(x)=;(4)f(x）=剖析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.解：（1）函數(shù)的定義域x∈（—∞,+∞)，對稱于原點(diǎn).∵f(-x)=｜—x+1|-|-x-1|=|x—1|—｜x+1｜=-(|x+1|-|x—1｜)=—f（x），∴f（x）=|x+1|—|x-1|是奇函數(shù)。(2)先確定函數(shù)的定義域。由≥0，得-1≤x<1,其定義域不對稱于原點(diǎn)，所以f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。（3）去掉絕對值符號，根據(jù)定義判斷。由得故f(x)的定義域?yàn)閇-1，0］∪（0，1），關(guān)于原點(diǎn)對稱，且有x+2>0。從而有f(x）=，這時有f（-x)==-f（x）,故f(x)為奇函數(shù)。(4)∵函數(shù)f(x)的定義域是（—∞,0）∪(0,+∞），并且當(dāng)x〉0時，—x〈0，∴f(—x）=（—x）［1—(-x)］=—x（1+x)=-f(x)（x>0）。當(dāng)x〈0時，—x>0,∴f（—x）=-x(1—x)=-f（x)（x〈0).故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)。講評:(1）分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段證明。(2)判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先求定義域再化簡函數(shù)解析式.【例3】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈={x｜x≠0｝，且滿足對于任意x1、x2∈D，有f（x1·x2)=f(x1)+f(x2）.（1）求f(1）的值；(2）判斷f(x）的奇偶性并證明;(3)如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6)≤3，且f(x)在(0，+∞）上是增函數(shù),求x的取值范圍.(1)解:令x1=x2=1,有f(1×1)=f(1)+f(1)，解得f（1)=0。(2)證明:令x1=x2=—1,有f［（-1）×(—1)]=f(-1）+f（—1).解得f（-1)=0。令x1=-1，x2=x,有f(-x）=f（—1)+f（x）,∴f（-x）=f(x）。∴f(x）為偶函數(shù)。（3）解:f(4×4)=f（4）+f（4）=2,f（16×4)=f(16)+f（4)=3?！鄁（3x+1）+f（2x-6）≤3,即f［(3x+1）(2x-6)]≤f（64)。(*）∵f(x)在(0，+∞）上是增函數(shù)，∴(＊)等價于不等式組或即∴3〈x≤5或—≤x〈—或-<x<3?！鄕的取值范圍為｛x|—≤x<-或-〈x〈3或3<x≤5｝.講評:解答本題易出現(xiàn)如下思維障礙：（1）無從下手，不知如何脫掉“f”.解決辦法:利用函數(shù)的單調(diào)性.（2）無法得到另一個不等式.解決辦法：關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上，奇函數(shù)的單調(diào)性相同，偶函數(shù)的單調(diào)性相反。鏈接·拓展已知f(x）、g（x)都是奇函數(shù),f（x)〉0的解集是(a2,b），g（x）〉0的解集是