復變函數習題課件

第一章內容復數復變函數極限連續(xù)性代數運算乘冪與方根復數表示法幾何表示法

向量表示法三角及指數表示法復球面復平面擴充曲線與區(qū)域判別定理極限的計算第二章內容復變函數導數微分解析函數初等解析函數指

數

函

數三

角

函

數對

數

函

數冪

函

數性質解析函數的判定方法可

導

與

微

分

的

關

系可導與解析的判定定理雙

曲

函

數復數

z

=

x

+

iy(

x,

y)復函數

w

=

f

(z)

=

u(

x,

y)

+

iv(

x,

y)u(

x,

y),

v(

x,

y)z

fi

z0極限

lim

f

(z)

=

Az0

=

x0

+

iy0

,

A

=

u0

+

iv0

,lim

u(

x,

y)

=

u0

,

lim

v(

x,

y)

=

v0

.xfi

x0yfi

y0xfi

x0yfi

y0u(x,y)，v(x,y)在(x0

,y0

)連續(xù).連續(xù):

f

(

z)在z0連續(xù)?u

=

-

?v

.?y

?x可導:

f

(z)可導

u(x,

y)

,

v(x,

y)

在(

x,

y)

可微,

且?u

=

?v

,?x

?y微分 可導區(qū)域內解析

區(qū)域內可導公式2xx

<

0,

y

?

0x

<

0,

y

=

0x

=

0,

y

?

0,x

>

0,arctan

y

,x

p

,

arctan

y

–

p

,p輻角的主值arg

z

=–z

?

0(其中-p

<arctan

y

<p)2

x

2(cosq

+

i

sinq

)n

=

cos

nq

+

i

sin

nq.n

n+

i

sinw

=

n

z

=

r

n

cos1

q

+

2

kπ

q

+

2

kπ

(k

=

0,1,2,,

n

-1)棣莫佛公式iq

z

=

re解析函數的判定方法如果能用求導公式與求導法則證實復變函數f

(z)的導數在區(qū)域D內處處存在,則可根據解析函數的定義斷定f

(z)在D內是解析的.如果復變函數f

(z)=u

+iv

中u,v

在D內的各一階偏導數都存在、連續(xù)(因而u,v可微)并滿足C

-R

方程,那末根據解析函數的充要條件可以斷定f

(z)在D內解析.初等函數的定義：指數函數ez

=

e

x

(cos

y

+

i

sin

y)對數函數w

=

Ln

z

=

ln

z

+

i

Arg

z

=

ln

z

+

i

arg

z

+

2kpi(

k

=

0

,–

1,

–

2

,

).ln

z

=

ln

z

+

i

arg

z(

z

?

0).w

=

za22ieiz

+

e-iz=

ea

Ln

zeiz

-e-izcos

z

=sin

z

=|

exp

z

|=

e

x

,Arg(exp

z)=y

+2kp

,

(其中k為任何整數)冪函數三角函數同實數范圍內不同的地方復數不能比較大小復數有唯一的∞z

fi

z0的方式是任意的。D

z

fi

0的方式是任意的。D

zD

z

fi

0f

(

z

)

-

f

(

z

0

)

,lim

f

(z)

=

A,zfi

z0f

￠(

z

)

=

lim.e

z為周期函數.Ln

z

為多值函數za

為多值函數sin

z

￡

1,cos

z

￡

1不再成立..nnLn

z

不再成立1Ln

z

n

=

n

Ln

z,

Ln

z

=解典型例題(第一章)例1上的象:在映射w

=z

2

下求下列平面點集在w

平面4(1)

線段

0

<

r

<

2,

q

=

π

;設z

=reiq

,w

=

reij

,則

r

=

r

2

,

j

=

2q,故線段

0

<

r

<

2,

q

=

π

映射為0

<

r

<

4,

j

=

π

,4

2還是線段.youvow=z2

fix(2)

扇形域

0

<

q

<

π

, 0

<

r

<

2.解

設

z

=

reiq

,j

=

2q,4w

=reij

,

則r

=r

2

,20

<

j

<

π

,

0

<

r

<

4,π故扇形域0

<q

<4

,0

<r

<2映射為w=z2

fi仍是扇形域.上的象:在映射w

=z

2

下求下列平面點集在w

平面例2例3解z對于映射

w

=

z

+

1

,

求圓周

z

=

2

的象.令

z

=

x

+

iy,

w

=

u

+

iv,z映射w

=z

+1x2

+

y2x

-

iy

,

u

+

iv

=

x

+

iy

+,xx

2

+

y2于是u

=x

+,yx2

+

y2v

=

y

-因為

z

=

2

x

2

+

y2

=

4v

=

3

y所以

u

=

5

x,

2

2

+

=

1.

5

2

3

2u2

v2表示w

平面上的橢圓4444x

=

u,

y

=

v5

3例題(第二章)例1

判定下列函數在何處可導,

在何處解析:(1)

w

=

z;

(2)

f

(

z

)

=

e

x

(cos

y

+

i

sin

y

);(3)

w

=

z

Re(

z

).v

=

-

y,解

(1)

w

=

z

,

u

=

x,?y?v

=

-1.?x?v

=

0,?u

=

1,

?u

=

0,?x

?y不滿足C-R方程,,處處不解析.故w

=z

在復平面內處處不可導(2)

f

(z)

=

ex

(cos

y

+

i

sin

y)u

=

ex

cos

y,

v

=

ex

siny,=

ex

cos

y,

=

-ex

sin

y,?x

?y?u

?u?y?v

=

ex

cos

y,?x?v

=

ex

sin

y,?u

=

-

?v

.?y

?x?u

=

?v

,?x

?y即故f

(z)在復平面內處處可導,處處解析.且f

￠(z)=e

x

(cos

y

+i

sin

y)=f

(z).(3)

w

=

z

Re(z)

=

x2

+

xyi,u

=

x2

,

v

=

xy,=

x

.?y=

y

,?x?v

?v?u

=

2

x

,

?u

=

0

,?x

?y四個偏導數均連續(xù)僅當x

=y

=0

時,滿足柯西－黎曼方程

,故函數w

=z

Re(z)僅在z

=0

處可導,在復平面內處處不解析.D

內解析,并且設f

(z

)=u(x

,y

)+iv

(x

,y

)在區(qū)域v

=u

2

,求f

(z

).例2解(1)?u

=

?v

=

2u

?u

,?x

?y

?y?u

=

-

?v

=

-2u

?u

,

(2)?y

?x

?x?x將(2)代入(1)得?u

(4u2

+1)=0,由(4u2

+1)?0

?u

=0,?y由(2)

得?u

=0,所以u

=c

(常數),?xf

(z)

=

c

+

ic2如果

f

(

z)

在區(qū)域

D內處處為零

,

則

f

(

z)

在

區(qū)域

D內為一常數.?x

?x?y

?y例3?u

=

?v

=

?u

=

?v

”

0,?x

?y

?y

?xf

￠(z)=?u

+i

?v

=?v

-i

?u

”0,

故所以u

=常數,v

=常數,因此f

(z)在區(qū)域D內為一常數.例4證證明w

=z

2

在復平面上不解析.(1)

z

2

=

x2

+

y2

-

2

xyi,u

=

x2

+

y2

,

v

=

-2

xy,?u

=

2

x,

?u

=

2

y,

?v

=

-2

y,

?v

=

-2

x.?x

?y

?x

?y僅當x

=0

時,滿足柯西－黎曼方程,故函數w

=z

2

僅在直線x

=0

上可導,在復平面內不解析.解例5

設f

(z)=x2

+axy

+by2

+i(cx2

+dxy

+y2

),問常數a,b,c,d

取何值時,f

(z)在復平面內處處解析??y?u

=

2

x

+

ay,

?u

=

ax

+

2by,?x

?y?v

=

2cx

+

dy,

?v

=

dx

+

2

y,?x

?y

?y?u

=

?v

,

?u

=

-

?v

,?x欲使2

x

+

ay

=

dx

+

2

y,?x-

2cx

-

dy

=

ax

+

2by,所求

a

=

2,

b

=

-1,

c

=

-1,

d

=

2.例1設

z

=

x

+

iy

,

求(1)

e

i

-

2

z解因為ez

=

e

x

+iy

=

e

x

(cos

y

+

i

sin

y)所以其模

e

z

=

e

xei

-2

z=

ei

-2(

x

+iy

)=

e-2

x+i

(1-2

y

)

,ei

-2

z=

e-2

x

;例2

求出下列復數的輻角主值:解因為