第四章格林函數(shù)

第四章格林函數(shù)第一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五第四章格林函數(shù)

格林函數(shù)在電磁場理論中有廣泛的應(yīng)用，本節(jié)將在線性空間的框架下，建立格林函數(shù)的定義和應(yīng)用分析。事實上，希爾伯特空間中的S-L系統(tǒng)（微分算子方程）與積分算子之間有著密切的聯(lián)系，從這個聯(lián)系中我們可以引入格林函數(shù)的定義，同時，利用這些格林函數(shù)，也就將微分方程的表述轉(zhuǎn)化為積分方程，進(jìn)而得到問題的求解。第二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五1、點源函數(shù)法回顧；2、格林函數(shù)的引入；3、格林函數(shù)與

函數(shù)；4、一維格林函數(shù)；5、三維格林函數(shù)；6、格林函數(shù)在電磁學(xué)中的應(yīng)用；7、

并矢格林函數(shù)第四章格林函數(shù)

第三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4.1點源函數(shù)法回顧

§4格林函數(shù)經(jīng)典的格林函數(shù)方法在力學(xué)、電磁場理論中有廣泛的應(yīng)用。從點源的概念出發(fā)（如質(zhì)點、點電荷、點熱源等），根據(jù)疊加原理，通過點源場的有限積分來得到任意源的場。這種求解數(shù)學(xué)物理方程的方法即經(jīng)典的格林函數(shù)法，又稱為點源函數(shù)法或影響函數(shù)法。第四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)4.1.1格林函數(shù)法的回顧首先，找到一個點源在一定邊界條件和初值條件下所產(chǎn)生的場或影響，即點源的影響函數(shù)（格林函數(shù)）；然后，由于任意分布的源總可以看作是許許多多這樣的點源的疊加，利用場的疊加原理，對格林函數(shù)在整個源域上積分，即可得到任意源的場，這就是格林函數(shù)法的主要思想。回顧內(nèi)容包括：1、點源函數(shù)的性質(zhì)；2、格林函數(shù)的一般求法（電像法）等；3、格林函數(shù)求解邊值問題的途徑?！?.1點源函數(shù)法回顧

第五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)例如：空間中，靜電荷產(chǎn)生的電勢問題，MOXYZ電荷源電荷密度空間M處的電勢滿足泊松方程：實際上：由靜電學(xué)可知，位于點的單位正電荷在r處的電勢為§4.1點源函數(shù)法回顧

第六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)表明：上方程的求解，可以通過以下思想獲得：1）找到一個點源在一定邊界或初值條件下的場—即格林函數(shù)（或稱點源函數(shù)，影響函數(shù)）2）根據(jù)線性迭加原理，將各點源的場迭加起來，得到一般源的場—即通過有限積分表示原問題的解?！窳趾瘮?shù)法（點源法）根據(jù)迭加原理，任意電荷分布的電勢為：§4.1點源函數(shù)法回顧

第七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)從以上例題的分析可見，格林函數(shù)法的主要特點是：1）直接求得問題的特解，（它不受方程類型和邊界條件的局限），2）通常結(jié)果用一個含有格林函數(shù)的有限積分表示，物理意義清晰，便于以統(tǒng)一的形式研究各類定解問題；3）且對于線性問題，格林函數(shù)一旦求出，就可以算出任意源的場，這樣將一個復(fù)雜的求解問題，就轉(zhuǎn)換為關(guān)鍵是求解點源的相對簡單的問題?！?.1點源函數(shù)法回顧

第八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)4.1.2函數(shù)§4.1點源函數(shù)法回顧

第九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)2、定義

——函數(shù)更普遍的定義為§4.1點源函數(shù)法回顧

第十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)§4.1點源函數(shù)法回顧

第十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)§4.1點源函數(shù)法回顧

第十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)3、三維函數(shù)其中為三維函數(shù)且具有性質(zhì)：這表明，高維函數(shù)等于一維情況的乘積，由此，高維函數(shù)也具有一維函數(shù)的所有的性質(zhì)。§4.1點源函數(shù)法回顧

第十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)§4.1點源函數(shù)法回顧

第十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)其中，為不同時為零的常數(shù)。為了得到定解問題(1)(2)§4.1點源函數(shù)法回顧

4.1.3泊松方程的邊值問題的解的積分表達(dá)式，首先引入格林公式一、泊松方程的基本形式第十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)§4.1點源函數(shù)法回顧

二、格林公式此式稱為化為體積分第十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)§4.1點源函數(shù)法回顧

此式稱為第十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)§4.1點源函數(shù)法回顧

第十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)§4.1點源函數(shù)法回顧

三、積分公式——格林函數(shù)法目標(biāo)：求解第十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)§4.1點源函數(shù)法回顧

由于其中為M與M0之間的距離(3)第二十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)§4.1點源函數(shù)法回顧

若能由此式化簡整理得到u(M),則一定是方程（1）的解這里G就相當(dāng)于格林第二公式中的v第二十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)§4.1點源函數(shù)法回顧

第二十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)§4.1點源函數(shù)法回顧

第二十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)§4.1點源函數(shù)法回顧

負(fù)號來自內(nèi)小球面的法向與矢徑方向相反第二十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)§4.1點源函數(shù)法回顧

注意到格林函數(shù)的對稱性：上式的物理意義很難解釋清楚，右邊第一項，G(M,M0)代表M0點的點源在M點產(chǎn)生的場，而h(M)代表的卻是M點的源。將上式中的G(M0,M)用G(M,M0)代替且，將M和M0在公式中互換，可得第二十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)§4.1點源函數(shù)法回顧

（4）第二十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)§4.1點源函數(shù)法回顧

物理意義：（1）右邊第一項積分代表在積分區(qū)域中體分布源h(M0)在M點產(chǎn)生的場的總和；（2）右邊第二、三積分項則是邊界上的源所產(chǎn)生的場。這兩種影響都是由同一格林函數(shù)給出的。上式給出了泊松方程解的積分表達(dá)，但由于G(M,M0)未知且不同邊值條件也需做進(jìn)一步的分析。第二十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)§4.1點源函數(shù)法回顧

2、泊松方程邊值問題的積分公式(A)第一類邊界條件基本公式變?yōu)橛蛇吔鐥l件變?yōu)橹灰狦(M,M0)，滿足定解問題，則上式u(M)就都為已知量表示第二十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五G(M,M0)所構(gòu)成的定解問題即下式稱為泊松方程的狄氏問題

滿足狄氏問題的格林函數(shù)，簡稱為狄氏格林函數(shù)?！?格林函數(shù)§4.1點源函數(shù)法回顧

——狄氏積分公式第二十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五基本積分公式變?yōu)椤?格林函數(shù)§4.1點源函數(shù)法回顧

(B)第二類邊界條件由邊界條件變?yōu)榈耸讲淮嬖冢驗樵诘诙慅R次邊界條件下無解。第三十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五表示在邊界上是絕熱的，由于邊界絕熱，從點源出來的§4格林函數(shù)§4.1點源函數(shù)法回顧

從物理上看，其意義十分明顯。方程可看成穩(wěn)定的熱傳導(dǎo)方程在M0點有一個點熱源，而邊界條件熱量，會使體積內(nèi)的溫度不斷升高，而不可能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。顯然，為了解決這一矛盾，或者修改格林函數(shù)所滿足的方程使之與邊界條件相容，這就要引入所謂的廣義格林函數(shù)方程；或者修改邊界條件使之與格林函數(shù)所滿足的方程相容，這里不再詳細(xì)討論。第三十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4.1點源函數(shù)法回顧

§4格林函數(shù)代入基本積分公式，得(C)第三類邊界條件若要求G(M,M0)滿足第三類的齊次邊界，即則當(dāng)G(M,M0)乘，以u(M)乘上式再相減，得第三十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4.1點源函數(shù)法回顧

§4格林函數(shù)由上面的討論可見，在各類非齊次邊界條件下解泊松方程可以先在相應(yīng)的同類齊次邊界條件下解格林函數(shù)所滿足的方程再通過基本積分公式得到u(M)。1)格林函數(shù)的定解問題，其方程形式比原泊松方程簡單，且邊界條件又是齊次的，因此求解相對容易。2)且不同泊松方程的非齊次項h(M)和邊界條件中的不同g(M)，只要屬于同類邊值問題，函數(shù)G(M,M0)都相同。這就將泊松方程的邊值問題化為幾種類型邊界條件下求解格林函數(shù)的問題。第三十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4.1點源函數(shù)法回顧

§4格林函數(shù)4.1.4

格林函數(shù)的一般求法一、無界空間的格林函數(shù)基本解從前討論可知，確定了G，就能利用積分表達(dá)式求得泊松方程邊值問題的解。但一般求解G，并非易事。只有某些特殊情況下，比較容易求出。無界區(qū)域的格林函數(shù)G0,又稱為相應(yīng)方程的基本解。將一般邊值問題的格林函數(shù)G分為：對于三維泊松方程，基本解G0滿足G1則滿足相應(yīng)的齊次方程(拉普拉斯方程)第三十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五它描述的是點的點源在無界空間產(chǎn)生的穩(wěn)定場。以靜電場為例，它描述在點電量為的點電荷在無界空間中所產(chǎn)生電場在點的電勢，即§4.1點源函數(shù)法回顧

§4格林函數(shù)及相應(yīng)的邊界條件，例如在第一邊值問題中，從而有拉普拉斯方程的邊值問題的求解是熟知的，至于方程類似的對于二維泊松方程，可用平面極坐標(biāo)求得其基本解G0滿足第三十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五在接地導(dǎo)體球內(nèi)放置電荷時，導(dǎo)體球面上將產(chǎn)生感應(yīng)電荷。因此，球內(nèi)電勢應(yīng)為球內(nèi)電荷直接產(chǎn)生的電勢與感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電勢之和?？蓪寫為邊界條件為§4.1點源函數(shù)法回顧

§4格林函數(shù)此處G便是泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)。從電磁學(xué)知考慮物理問題，設(shè)有一接地導(dǎo)體球內(nèi)的點放置一電量為的點電荷。則球內(nèi)電勢滿足泊松方程二、用電像法求格林函數(shù)其中G0是不考慮球面邊界影響的電勢，G1是感應(yīng)電荷引起的第三十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五G1則可以由及上式的邊界條件用分離變量法得到。以及邊界條件§4.1點源函數(shù)法回顧

§4格林函數(shù)這樣G0就是基本解，由前面的討論可知，G0滿足從而G1滿足但這樣得到的解往往是無窮級數(shù)。以下介紹另一種方法即電像法，用電像法可以得到有限形式的解。第三十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五電像法的基本思想：用一設(shè)想的等效點電荷來代替所有的感應(yīng)電荷，于是可求得G1的類似于G0的有限形式的解。顯然，這一等效的點電荷不能位于球內(nèi)，因為感應(yīng)電荷在球內(nèi)的場滿足即球內(nèi)是無源的。又根據(jù)對稱性，這個等效電荷必位于OM0的延長線上的某點M1，記等效電荷的電量為q，其在空間任意點M引起的電勢為§4.1點源函數(shù)法回顧

§4格林函數(shù)若將場點取在球面P點，則若則相似，從而第三十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4.1點源函數(shù)法回顧

§4格林函數(shù)因此若取，則球面上的總電勢為正好滿足這個設(shè)想的位于M1點的等效點電荷稱為M0點點電荷的電像。這樣，球內(nèi)任一點的總電勢是其中第三十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五4.2.1格林函數(shù)的引入在希爾伯特空間中的S-L系統(tǒng)（微分算子方程）與積分算子之間有著密切的聯(lián)系，從這個聯(lián)系中可以引入格林函數(shù)的定義，同時，利用這些格林函數(shù)，可將微分方程的表述轉(zhuǎn)化為積分方程，進(jìn)而得到問題的求解。注意到積分算子方程：其中K是積分算子，如果定義為§4.2格林函數(shù)的引入

§4格林函數(shù)第四十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五而是一個積分算子的核，當(dāng)這個核來自于包含微分算子方程的解時，被稱為微分算子在相應(yīng)邊界條件下的格林函數(shù)，記為：它是服從邊界條件的系統(tǒng)相對應(yīng)于的格林函數(shù)。為赫維賽函數(shù)：由此，根據(jù)微分積分方程的關(guān)系，可以引入格林函數(shù)，事實上，可以仿照以上方法，構(gòu)造不同邊界條件下的格林函數(shù)?！?.2格林函數(shù)的引入

§4格林函數(shù)第四十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五例：方程下的解為因此，可以引入格林函數(shù)

作為算子在本問題邊界條件下的格林函數(shù)。§4.2格林函數(shù)的引入

§4格林函數(shù)在邊界條件第四十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五同樣這個方程，改變邊界條件為時方程的解為因此，根據(jù)格林函數(shù)的定義有即：§4.2格林函數(shù)的引入

§4格林函數(shù)第四十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五可見：1、邊界條件對格林函數(shù)的形式影響很大；2、格林函數(shù)的對稱性與邊界條件有關(guān)，后一個邊界下是對稱的，滿足事實上，格林函數(shù)的對稱性與算子的厄米性密切相關(guān)。4.2.2格林函數(shù)的對稱性若算子L對任意函數(shù)f

和g有則L是對稱的，即自伴算子。在給定邊界條件下，正因為微分算子的對稱性，格林函數(shù)也具有對稱性?！?.2格林函數(shù)的引入

§4格林函數(shù)第四十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五4.2.3微分方程與積分方程顯然，在，通過格林函數(shù)，可以把微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程，從而使問題簡化。這種作用是通過將微分算子轉(zhuǎn)化為以格林函數(shù)為核的平方可積的積分算子，這種平方可積類型的核具有許多很好的性質(zhì)，可以把任何有界函數(shù)的無窮序列變成一個包含有平均收斂子序列的序列，容易和矩陣?yán)碚撓嘟Y(jié)合，使問題容易求解?！?.2格林函數(shù)的引入

§4格林函數(shù)第四十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4.2格林函數(shù)的引入

§4格林函數(shù)若需求解它不能直接積分求解，在此意義下它才是真正的微分方程。積分號下包含有未知函數(shù)的方程稱為——積分方程類似的，對其中可得相應(yīng)的積分方程第四十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五設(shè)有算子方程不妨設(shè)L具有一個正交完備的本征函數(shù)集合，即有則將解y和已知函數(shù)f都表示為代入算子方程，有1、格林函數(shù)的本征表述§4.3格林函數(shù)與函數(shù)§4格林函數(shù)第四十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五即由于線性無關(guān)，因此所以注意，這里的，并且假設(shè)對所有的n有§4格林函數(shù)§4.3格林函數(shù)與函數(shù)第四十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五可得：因此格林函數(shù)的本征函數(shù)表達(dá)式為是實數(shù)，算子L是厄米的，則格林函數(shù)是對稱的。§4格林函數(shù)§4.3格林函數(shù)與函數(shù)第四十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五例：求在區(qū)間[0,1]內(nèi)，算子對應(yīng)的格林函數(shù)的本征函數(shù)表示。解：L的端點值為零的歸一化的本征函數(shù)是本征值是故格林函數(shù)為它一致收斂于一個連續(xù)函數(shù)，即前邊所給的§4格林函數(shù)§4.3格林函數(shù)與函數(shù)第五十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五2、格林函數(shù)與函數(shù)進(jìn)一步，把L作用到G上，注意到，對任意函數(shù)f(x)

有而是一個正交歸一完備集合，右端就是f(x)的本征函數(shù)展開，因此有§4格林函數(shù)§4.3格林函數(shù)與函數(shù)第五十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五因此I具有函數(shù)的性質(zhì)，從而得到這正是我們預(yù)期的結(jié)果。至此，格林函數(shù)表示方程的解為對有其中是對應(yīng)齊次方程的通解，常數(shù)項由邊界條件確定?！?格林函數(shù)§4.3格林函數(shù)與函數(shù)第五十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五設(shè)一般的二階線性微分算子為對齊次方程：的兩個線性無關(guān)的解為，我們希望求解方程比較上兩個方程可以看到，除了外，G必須滿足方程，因此，對，G應(yīng)該是方程（1）的兩個解的線性組合，對類似。于是我們得到（1）（2）§4格林函數(shù)§4.4一維格林函數(shù)第五十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五而在處，G必須連續(xù)，因為如果它不連續(xù)，就包含一個函數(shù)，因此就應(yīng)包含函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但是（2）式中只有一個函數(shù)，所以G是連續(xù)的。但是是不連續(xù)的，而且我們可以從（2）式兩邊從從到進(jìn)行積分來確定它的躍度。即把（2）式兩邊積分（3）§4格林函數(shù)§4.4一維格林函數(shù)第五十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)§4.4一維格林函數(shù)假設(shè)連續(xù)，由考慮到很小，這些函數(shù)在積分范圍內(nèi)的變化可以忽略（即提到積分號外），用它們在處的值替代，再化簡，得到G的導(dǎo)數(shù)在的躍度為：（4）第五十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五利用G在處的連續(xù)性，加上（4）式，可得，其中W是朗斯基行列式，它是因此，G可以表示為：§4格林函數(shù)§4.4一維格林函數(shù)第五十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五可以證明總不為零，可以通過邊界條件確定，格林函數(shù)的最終形式與邊界條件的類型有很強(qiáng)的依賴關(guān)系。如果邊界條件是各種單點型，則要求，格林函數(shù)可表示為：§4格林函數(shù)§4.4一維格林函數(shù)第五十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五而由格林函數(shù)表示的解為其中為初始時刻，當(dāng)我們用單點邊界條件時，可以把積分項看作不存在一樣來確定A和B.對于邊界條件是兩端點型時，如同樣可以把解寫成（5）式，只是恰當(dāng)選擇G中的，使（5）從而再由解（5）式確定A和B的值。§4格林函數(shù)§4.4一維格林函數(shù)第五十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五那么對非齊次微分方程，如它能夠被寫成積分方程的形式其中是齊次方程滿足邊界條件的解的線性組合，G是L滿足相應(yīng)邊界條件的格林函數(shù)?！?格林函數(shù)§4.4一維格林函數(shù)第五十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五例：算子在給定兩點邊界條件下的格林函數(shù)：§4格林函數(shù)§4.4一維格林函數(shù)解：因為而：從而第六十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五為了方便，把端點。由得§4格林函數(shù)§4.4一維格林函數(shù)又由得所以：代入G的表達(dá)式，得可見邊界條件影響格林函數(shù)的結(jié)果。對比單點邊界條件（經(jīng)典力學(xué)）的格林函數(shù)(5.35a)為第六十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五在三維情況下，研究算子其中是拉普拉斯算子，事實上，三維算子方程計算格林函數(shù)的方法不同于一維的情況，我們作如下討論：對算子方程（1）§4格林函數(shù)§4.5三維情況下的格林函數(shù)第六十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五假設(shè)式和的傅立葉變換存在對（1）兩邊進(jìn)行傅立葉變換，有利用格林公式令則有（2）§4格林函數(shù)§4.5三維情況下的格林函數(shù)第六十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五§4格林函數(shù)§4.5三維情況下的格林函數(shù)積分域是整個三維空間，因此在計算表面積分時，我們把表面取成半徑為R的球面，然后取R趨于無窮的極限即可。此時正好是徑向的單位矢，所以面積分項為第六十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五其中如果當(dāng)時，足夠快地趨于零，那么面積分將為趨于零，則有其中，因此方程（2）變?yōu)椤?格林函數(shù)§4.5三維情況下的格林函數(shù)第六十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五以下分兩種情況考慮：1.的情況令，此時總不為零，有所以其中表示齊次方程解的任意線性組合。帶入，寫成由格林函數(shù)表示的解為§4格林函數(shù)§4.5三維情況下的格林函數(shù)第六十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五其中格林函數(shù)利用復(fù)變函數(shù)理論，得到在實際物理問題中，經(jīng)常要求r非常大時解(3)仍有界，因此，解最終表示為(3)§4格林函數(shù)§4.5三維情況下的格林函數(shù)第六十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五（4）在這種情況下，忽略(5.49)式中的面積分是合理的，當(dāng)足夠大，因此，當(dāng)足夠大時，按指數(shù)形式下降?！?格林函數(shù)§4.5三維情況下的格林函數(shù)(源的分布)下降得足夠快(有限)，則第六十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五例：靜電場的泊松方程解：當(dāng)足夠大，，其中這個結(jié)果在我們的期盼之中，足夠遠(yuǎn)距離處，可以把任何的電荷分部都看成是點電荷?！?格林函數(shù)§4.5三維情況下的格林函數(shù)在中令給出第六十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五2.的情況中當(dāng)時為零。為了避開這個困難，我們假定是一個正實數(shù)和一個虛數(shù)之和，即最后讓，得到正常的結(jié)果。由得采用和情況相同的處理步驟，得到§4格林函數(shù)§4.5三維情況下的格林函數(shù)對它的處理要更細(xì)致些，因為現(xiàn)在第七十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五（5）§4格林函數(shù)§4.5三維情況下的格林函數(shù)其中由于插入了虛部，積分道路上沒有了極點，可以像前邊的情況繼續(xù)進(jìn)行下去，最后得第七十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五代回（5）式得其中，是齊次方程的解，它的形式§4格林函數(shù)§4.5三維情況下的格林函數(shù)為所以完全解為A,q由初始條件確定。第七十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五例：求解薛定諤方程在時的解。解：這種情況正是上述情況，令，立刻得到波函數(shù)所滿足的積分方程§4格林函數(shù)§4.5三維情況下的格林函數(shù)其中，這是量子力學(xué)中散射問題的李普曼——許溫格（Lippmann—Schwinger）方程。第七十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五在遠(yuǎn)區(qū)，其中是徑向單位矢量，分母上的則§4格林函數(shù)§4.5三維情況下的格林函數(shù)其中，則稱為散射振幅，它表示散射粒子流和入射流之比。令：第七十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五1、拉普拉斯方程在笛卡兒坐標(biāo)系下的格林函數(shù)例：如圖所示，一無限長矩形波導(dǎo)管，管壁接地，管內(nèi)放一均勻細(xì)線電荷，求管內(nèi)電勢分布。解：此問題可歸結(jié)為這樣的問題中，仍可用前邊討論的一維微分算子格林函數(shù)的思想，即把包含源的空間分為唯一的兩個區(qū)域，而源只考慮一次。對本二維問題，可以按源的左邊和右邊劃分，也可按源的上邊和下邊劃分。結(jié)果相同。§4格林函數(shù)§4.6格林函數(shù)在電磁學(xué)中的應(yīng)用第七十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五(1)在的區(qū)域，有代入上式得從而有：注意到上邊界條件，得解為§4格林函數(shù)§4.6格林函數(shù)在電磁學(xué)中的應(yīng)用令第七十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五注意到上邊界條件上式化為§4格林函數(shù)§4.6格林函數(shù)在電磁學(xué)中的應(yīng)用相應(yīng)的本征函數(shù)為本征值為故考慮了邊界條件的方程的解為第七十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五(2)在的區(qū)域，有其解為：(3)由,處的G的性質(zhì)確定系數(shù)和：由G的連續(xù)性（即電勢的連續(xù)性）：§4格林函數(shù)§4.6格林函數(shù)在電磁學(xué)中的應(yīng)用即：第七十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五由三角函數(shù)的正交性，得(a)下邊討論G對y的導(dǎo)數(shù)在源處的躍度其中：§4格林函數(shù)§4.6格林函數(shù)在電磁學(xué)中的應(yīng)用令：第七十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五把G代入原微分方程得兩邊乘以，并在[0,a]上積分，由正交性得這就是所滿足的常微分方程，由前邊討論的躍度公式§4格林函數(shù)§4.6格林函數(shù)在電磁學(xué)中的應(yīng)用第八十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五可得即：結(jié)合可得§4格林函數(shù)§4.6格林函數(shù)在電磁學(xué)中的應(yīng)用第八十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五最后可得格林函數(shù)為§4格林函數(shù)§4.6格林函數(shù)在電磁學(xué)中的應(yīng)用或第八十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五2、拉普拉斯方程在柱面坐標(biāo)系下的格林函數(shù)例:如右圖所示，求接地的圓柱形導(dǎo)電匣內(nèi)的電位問題，匣內(nèi)的一個單位源在點上。解：格林函數(shù)滿足的方程是類似上例，把圓柱導(dǎo)電匣內(nèi)分成兩個區(qū)域：（1）§4格林函數(shù)§4.6格林函數(shù)在電磁學(xué)中的應(yīng)用第八十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五(1)在區(qū)域用分離變量法可求得其解為其中是的第n個根。(2)在區(qū)域§4格林函數(shù)§4.6格林函數(shù)在電磁學(xué)中的應(yīng)用第八十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五(3)在處G的性質(zhì)決定系數(shù)。由G的連續(xù)性得：令：其中：§4格林函數(shù)§4.6格林函數(shù)在電磁學(xué)中的應(yīng)用第八十五頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五代入原方程（1），并化簡得將兩邊乘以并在和上對積分，并考慮正交性得Gz滿足：其中從而§4格林函數(shù)§4.6格林函數(shù)在電磁學(xué)中的應(yīng)用第八十六頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五即：聯(lián)立前邊得到的§4格林函數(shù)§4.6格林函數(shù)在電磁學(xué)中的應(yīng)用可得系數(shù)第八十七頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五進(jìn)而得§4格林函數(shù)§4.6格林函數(shù)在電磁學(xué)中的應(yīng)用當(dāng)時當(dāng)時第八十八頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五由于所得格林函數(shù)解對所有的a,l值都成立，所以我們可以把所得結(jié)果推廣而求得另外一些問題的格林函數(shù)。推廣1:如果使l變成無窮大，則能夠求出具有一端開路的一個半無窮長接地圓柱形匣的格林函數(shù)。這個問題還能夠進(jìn)一步推廣以得到一個無限長接地圓柱的格林函數(shù)。這個問題的解是§4格林函數(shù)§4.6格林函數(shù)在電磁學(xué)中的應(yīng)用第八十九頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五推廣2:若再使a變?yōu)闊o窮大，就得自由空間中的一個單位源在柱面坐標(biāo)下的格林函數(shù)。此時格林函數(shù)的徑向關(guān)系的傅立葉級數(shù)的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一個傅立葉積分表達(dá)式，成為式中用取代了并且使用了由的漸近式所得出的值。然而從靜電學(xué)知道，柱面坐標(biāo)下自由空間的格林函數(shù)是其中兩者應(yīng)該是完全一致的?！?格林函數(shù)§4.6格林函數(shù)在電磁學(xué)中的應(yīng)用第九十頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五對于矢量方程，我們可以采用兩種處理方法：一是標(biāo)量分解；二是直接引入矢量格林函數(shù)（并矢格林函數(shù)）來求解，這種方法在電磁場問題中經(jīng)常用到。1、用矢量勢函數(shù)求解麥克斯韋方程：已知麥克斯韋方程組的微分形式：對于時諧場在自由空間傳播§4格林函數(shù)§4.7并矢格林函數(shù)第九十一頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五由此，引入矢量勢A和標(biāo)量勢：最終可得關(guān)于矢勢A及標(biāo)勢的方程：及洛倫茲條件：§4格林函數(shù)§4.7并矢格林函數(shù)其中第九十二頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五解以上方程等于解四個標(biāo)量亥姆霍茲方程，解可以由標(biāo)量格林函數(shù)表示，即：§4格林函數(shù)§4.7并矢格林函數(shù)這里，格林函數(shù)滿足第九十三頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五電場和磁場矢量可以由矢勢A表示為對于遠(yuǎn)區(qū)場：及其中代入E、H的表達(dá)式忽略高階項§4格林函數(shù)§4.7并矢格林函數(shù)第九十四頁，共一百零五頁，編輯于2023年，星期五