第六章系統(tǒng)的頻域分析及其應(yīng)用

第六章系統(tǒng)的頻域分析及其應(yīng)用第一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五

時域分析的要點是，以沖激函數(shù)為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù)；而系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)=x(t)*h(t)。由單位沖激函數(shù)δ(t)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，記為h(t)。

回憶是美好的：零狀態(tài)響應(yīng)：不考慮起始時刻系統(tǒng)的儲能作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵信號所產(chǎn)生的響應(yīng)。零輸入響應(yīng)：沒有外加激勵作用，只有起始狀態(tài)（起始時刻系統(tǒng)儲能）所產(chǎn)生的響應(yīng)作用。第二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五第三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)虛指數(shù)信號ejwt(-<t<)通過系統(tǒng)的響應(yīng)任意非周期信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)頻響H(jw)的定義與物理意義H(jw)與h(t)的關(guān)系計算H(jw)的方法第四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五

傅里葉分析是以正弦信號和虛指數(shù)信號為基本信號，“任意”輸入信號可分解為一系列不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是頻率,故稱為頻域分析。LTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應(yīng)

第五頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五

在研究LTI系統(tǒng)時，復指數(shù)信號的重要性在于這樣一個事實，即：一個LTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應(yīng)也是同樣一個復指數(shù)信號，不同的只是在幅度上的變化。也就是說：

連續(xù)時間LTI系統(tǒng)：

對于傅里葉分析:下面,我們從卷積積分和卷積和推到一下上述結(jié)論:第六頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五1．虛指數(shù)信號ejwt(-<t<)通過連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)其中稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

上式說明，虛指數(shù)信號作用于LTI系統(tǒng)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)仍為同頻率的虛指數(shù)信號，虛指數(shù)信號幅度和相位由系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)確定。所以H(jw)反映了連續(xù)LTI系統(tǒng)對不同頻率信號的響應(yīng)特性。第七頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五2．任意非周期信號通過連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)若信號f(t)的Fourier存在，則可由虛指數(shù)信號ejwt(-<t<)的傅里葉反變換表示，即由系統(tǒng)的線性時不變特性，可推出信號f(t)作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。第八頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五由LTI積分特性，即等式兩邊同時積分，等式仍然成立即由LTI均勻性，即等式兩邊同乘一個常數(shù)，等式仍然成立Yf(jw)連續(xù)LTI系統(tǒng)第九頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五第十頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五

系統(tǒng)把頻譜為F(jw)

的輸入改變成頻譜為H(jw)F(jw)的響應(yīng)，改變的規(guī)律完全由H(jw)決定。Yf(jw)=H(jw)F(jw)上式的物理意義：

f(t)作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的頻譜等于激勵信號的頻譜乘以系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。Yf(jw)=H(jw)F(jw)請同學們思考：上面的結(jié)論我們可以通過以前的知識得出嗎？第十一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五3．連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)的定義與物理意義系統(tǒng)的幅頻特性系統(tǒng)的相頻特性H(jw)的物理意義：H(jw)反映了系統(tǒng)對輸入信號不同頻率分量的傳輸特性。H(jw)稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，定義為或Yf(jw)=H(jw)F(jw)第十二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五4．H(jw)與h(t)的關(guān)系即H(jw)等于系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)的Fourier變換由H(jw)的定義，顯然有第十三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五5．計算H(jw)的方法由系統(tǒng)的動態(tài)方程式直接計算；由系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的傅立葉變換計算；由電路的零狀態(tài)頻域電路模型計算。第十四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五第十五頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五第十六頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五[例1]已知某LTI系統(tǒng)的動態(tài)方程為y"(t)+3y'(t)+2y(t)=f(t)，求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)。解：利用Fourier變換的微分特性，微分方程的頻域表示式為由定義可求得第十七頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五[例2]已知某LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)=(e-t-e-2t)u(t)，求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)。解：利用H(jw)與h(t)的關(guān)系第十八頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五分析電路系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，主要有兩種方法。一是通過Kirchhoff定律建立系統(tǒng)的微分方程，然后利用Fourier變換求出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。如例6—6所用的方法。另一種更簡單的方法是對電路中的基本元件建立頻域模型，得出基本元件的廣義阻抗，然后直接利用電路的基本原理求出電路系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。下面介紹第二種方法。根據(jù)電路基本元件電阻、電感、電容的時域特性可得電路系統(tǒng)的頻率響應(yīng)：第十九頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五其中ZR、ZL和ZC分別表示電阻、電感、電容頻域的廣義阻抗第二十頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五[例3]圖示RC電路系統(tǒng)，激勵電壓源為f(t)，輸出電壓y(t)為電容兩端的電壓vc(t)，電路的初始狀態(tài)為零。求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)和單位沖激響應(yīng)h(t)。解：RC電路的頻域(相量)模型如右圖，由Fourier反變換，得系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)為由電路基本原理有第二十一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五RC電路系統(tǒng)的幅度響應(yīng)隨著頻率的增加，系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(jw)|不斷減小，說明信號的頻率越高，信號通過該系統(tǒng)的損耗也就越大。由于|H(j(1/RC))|=0.707，所以把wc=1/RC稱為該系統(tǒng)的3db截頻。低通濾波器第二十二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五連續(xù)信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析連續(xù)周期信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析正弦信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)任意周期信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)第二十三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五一、連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析1.已知描述系統(tǒng)的微分方程方程兩邊進行Fourier變換，并利用時域微分特性，有解此代數(shù)方程即可求得零狀態(tài)響應(yīng)的頻譜Yf(jw)。第二十四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五2.已知系統(tǒng)的頻率響應(yīng)對Yf(jw)進行Fourier反變換，可得系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)頻域分析方法與卷積積分法的關(guān)系：(1)兩種分析方法實質(zhì)相同，只不過是采用單元信號不同。(2)分析域不同，卷積積分法——時域，頻域分析法——頻域。Fourier變換的時域卷積定理是聯(lián)系兩者的橋梁。一、連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析第二十五頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五[例1]已知某LTI系統(tǒng)的動態(tài)方程為y"(t)+3y'(t)+2y(t)=3f'(t)+4f(t)，系統(tǒng)的輸入激勵f(t)=e-3tu(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。[解]由于輸入激勵f(t)的頻譜函數(shù)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)由微分方程可得故系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)的頻譜函數(shù)Yf(jw)為第二十六頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五二、周期信號通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析1.正弦信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)由Euler公式可得由虛指數(shù)信號ejwt作用在系統(tǒng)上響應(yīng)的特點及系統(tǒng)的線性特性，可得零狀態(tài)響應(yīng)y(t)為第二十七頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五同理結(jié)論：正、余弦信號作用于線性時不變系統(tǒng)時，其輸出的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)仍為同頻率的正、余弦信號。輸出信號的幅度y(t)由系統(tǒng)的幅度函數(shù)|H(jw0)|確定，輸出信號的相位相對于輸入信號偏移了第二十八頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五2.任意周期信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)將周期為T0的周期信號f(t)用Fourier級數(shù)展開為因為故由系統(tǒng)的線性特性可得周期信號f(t)通過頻率響應(yīng)為H(jw)的系統(tǒng)的響應(yīng)為若f(t)、h(t)為實函數(shù)，則有第二十九頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五[例2]求圖示周期方波信號通過系統(tǒng)H(jw)=1/(a+jw)的響應(yīng)y(t)。解：對于周期方波信號，其Fourier系數(shù)為可得系統(tǒng)響應(yīng)y(t)為由第三十頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)響應(yīng)頻域分析小結(jié)優(yōu)點：求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時，可以直觀地體現(xiàn)信號通過系統(tǒng)后信號頻譜的改變，解釋激勵與響應(yīng)時域波形的差異，物理概念清楚。不足： （1）只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)仍按時域方法求解。（2）若激勵信號不存在傅立葉變換，則無法利用頻域分析法。（3）頻域分析法中，傅立葉反變換常較復雜。解決方法：采用拉普拉斯變換第三十一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)與理想濾波器無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)理想濾波器的頻響特性理想低通濾波器

沖激響應(yīng)

階躍響應(yīng)第三十二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)若輸入信號為f(t)，則無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的輸出信號y(t)應(yīng)為K為常數(shù)，td是輸入信號通過系統(tǒng)后的延遲時間。時域特性頻域特性其幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為第三十三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅度和相位響應(yīng)無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)應(yīng)滿足兩個條件：(1)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)|H(jw)|在整個頻率范圍內(nèi)應(yīng)為常數(shù)K，即系統(tǒng)的帶寬為無窮大；(2)系統(tǒng)的相位響應(yīng)f(jw)在整個頻率范圍內(nèi)應(yīng)與成正比。第三十四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五[例1]已知一LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為(1)求系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(jw)|和相位響應(yīng)f(w)，并判斷系統(tǒng)是否為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。(2)當輸入為f(t)=sint+sin3t(-<t<)時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：(1)因為所以系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)分別為系統(tǒng)的幅度響應(yīng)|H(jw)|為常數(shù)，但相位響應(yīng)f(w)不是w的線性函數(shù)，所以系統(tǒng)不是無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。(2)第三十五頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五[例1]的輸入和輸出信號波形顯然，輸出信號相對于輸入信號產(chǎn)生了失真。輸出信號的失真是由于系統(tǒng)的非線性相位引起的。第三十六頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五理想濾波器的頻響特性濾波器是指能使信號的一部分頻率通過，而使另一部分頻率通過很少的系統(tǒng)。理想低通理想高通理想帶通理想帶阻第三十七頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五理想低通濾波器截止角頻率幅頻響應(yīng)|H(jw)|在通帶0~wc

恒為1，在通帶之外為0。相頻響應(yīng)f(w)在通帶內(nèi)與成線性關(guān)系第三十八頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五1理想低通濾波器的沖激響應(yīng)第三十九頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五理想低通濾波器沖激響應(yīng)分析(1)h(t)的波形是一個取樣函數(shù)，不同于輸入信號d(t)的波形，有失真。原因：理想低通濾波器是一個帶限系統(tǒng)，而沖激信號d(t)的頻帶寬度為無窮大。減小失真方法：增加理想低通截頻wc。h(t)的主瓣寬度為2p/wc，wc越小，失真越大。當wc

時，理想低通變?yōu)闊o失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)，h(t)也變?yōu)闆_激函數(shù)。第四十頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五理想低通濾波器沖激響應(yīng)分析(2)h(t)主峰出現(xiàn)時刻t=td比輸入信號d(t)作用時刻t=0延遲了一段時間td。td是理想低通濾波器相位特性的斜率。(3)h(t)在t<0的區(qū)間也存在輸出，可見理想低通濾波器是一個非因果系統(tǒng)，因而它是一個物理不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。第四十一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五2理想低通濾波器的階躍響應(yīng)第四十二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五理想低通濾波器階躍響應(yīng)分析(1)階躍響應(yīng)g(t)比輸入階躍信號u(t)延遲td

。td是理想低通濾波器相位特性的斜率。(2)階躍響應(yīng)的建立需要一段時間。階躍響應(yīng)從最小值上升到最大值所需時間稱為階躍響應(yīng)的上升時間tr。tr=2p/wc，即上升時間tr與理想低通截頻wc成反比。wc越大，上升時間就越短，當wc

時，tr

0。(3)存在Gibbs現(xiàn)象。即在間斷點的前后出現(xiàn)了振蕩，其振蕩的最大峰值約為階躍突變值的9%左右，且不隨濾波器帶寬的增加而減小。第四十三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五結(jié)論(1)輸出響應(yīng)的延遲時間取決于理想低通濾波器的相位特性的斜率。(2)輸入信號在通過理想低通濾波器后，輸出響應(yīng)在輸入信號不連續(xù)點處產(chǎn)生逐漸上升或下降的波形，上升或下降的時間與理想低通濾波器的通頻帶寬度成反比。(3)理想低通濾波器的通帶寬度與輸入信號的帶寬不相匹配時，輸出就會失真。系統(tǒng)的通帶寬度越大于信號的帶寬，則失真越小，反之，則失真越大。第四十四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五[例]求帶通信號f(t)=Sa(t)cos2t，-<t<，通過線性相位理想低通濾波器的響應(yīng)。解：因為利用Fourier變換的頻移特性，可得第四十五頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五1)當wc>3時，輸入信號的所有頻率分量都能通過系統(tǒng)，即y(t)=f(t-td)=Sa(t-td)cos[2(

t-td)]，-<t<2)當wc<1時，輸入信號的所有頻率分量都不能通過系統(tǒng)，即y(t)=0，-<t<3)當1<wc

<3時，只有1wc范圍內(nèi)的頻率分量能通過系統(tǒng)，故由抽樣信號頻譜及Fourier變換的時域和頻域位移特性可得第四十六頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五

離散信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)

離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

ejWk通過LTI系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

任意信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)

信號通過線性相位系統(tǒng)的響應(yīng)

理想數(shù)字濾波器

第四十七頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五一、離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)magnituderesponse

phaseresponsegroupdelay

離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為第四十八頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五二、ejWk通過LTI系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(零狀態(tài))第四十九頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五三、任意信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)第五十頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五四、信號通過線性相位系統(tǒng)的響應(yīng)線性相位系統(tǒng)：f(W)=-Wk0線性相位系統(tǒng)的群延遲：

，通過線性相位系統(tǒng)的響應(yīng)為t

(W)=k0

第五十一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五五、理想數(shù)字濾波

(a)理想低通(b)理想高通(c)理想帶通(d)理想帶阻第五十二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五連續(xù)時間信號的時域抽樣信號抽樣的理論分析時域抽樣定理抽樣定理的工程應(yīng)用信號重建實際應(yīng)用舉例第五十三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五1.信號抽樣的理論分析第五十四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五第五十五頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五若連續(xù)信號f(t)的頻譜函數(shù)為F(jω)，則抽樣信號

理想抽樣信號的頻譜分析的頻譜函數(shù)為時域抽樣（相乘）頻域卷積第五十六頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五其中：T

為抽樣間隔，ws=2p/T為抽樣角頻率。且序列f[k]的頻譜等于抽樣信號的頻譜，即有第五十七頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五抽樣信號fs(t)頻譜與抽樣間隔T關(guān)系：混疊(aliasing)第五十八頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五

若帶限信號f(t)的最高角頻率為ωm，則信號f(t)可以用等間隔的抽樣值唯一地表示。而抽樣間隔T需不大于1/2fm，或最低抽樣頻率fs不小于2fm。若從抽樣信號fs(t)中恢復原信號f(t)，需滿足兩個條件：fs

=

2fm

為最小取樣頻率，稱為NyquistRate.(1)f(t)是帶限信號，即其頻譜函數(shù)在|w|>wm各處為零；(2)抽樣間隔T需滿足，2.時域取樣定理或抽樣頻率fs需滿足fs

2fm

（或ωs

2ω

m）

。第五十九頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五例題例1：已知實信號f(t)的最高頻率為fm

(Hz)，試計算對各信號f(2t)，f(t)*f(2t)，f(t)f(2t)抽樣不混疊的最小抽樣頻率。對信號f(2t)抽樣時，最小抽樣頻率為4fm(Hz)；對f(t)*f(2t)抽樣時，最小抽樣頻率為2fm(Hz)；對f(t)f(2t)抽樣時，最小抽樣頻率為6fm(Hz)。解：根據(jù)信號時域與頻域的對應(yīng)關(guān)系及抽樣定理得：第六十頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五3.抽樣定理的工程應(yīng)用許多實際工程信號不滿足帶限條件

抗混低通濾波器第六十一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五混疊誤差與截斷誤差比較第六十二頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五思考題根據(jù)時域抽樣定理，對連續(xù)時間信號進行抽樣時，只需抽樣速率fs

2fm。在工程應(yīng)用中，抽樣速率常設(shè)為fs

(3~5)fm，為什么？若連續(xù)時間信號f(t)

的最高頻率fm未知，如何確定抽樣間隔T？第六十三頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五4.信號重建信號重建模型第六十四頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五由抽樣信號fs(t)恢復連續(xù)信號f

(t)hr(t)第六十五頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五第六十六頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五信號與系統(tǒng)頻域分析的應(yīng)用調(diào)制解調(diào)雙邊帶調(diào)幅(DSBAMSC)同步解調(diào)單邊帶調(diào)幅(SSBAMSC)頻分復用時分復用第六十七頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五一、雙邊帶調(diào)幅(AmplituteModulation)信號的頻譜分析調(diào)制信號載波信號第六十八頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五雙邊帶調(diào)幅中各信號頻譜第六十九頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五二、同步解調(diào)第七十頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五第七十一頁，共七十九頁，編輯于2023年，星期五5、抽樣定理的實際應(yīng)用舉例