第四章大數(shù)定律和中心極限定理

第四章大數(shù)定律和中心極限定理第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五一.切比雪夫不等式

若r.v.X的期望和方差存在，則對任意0，有這就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。

它有以下等價的形式：§1大數(shù)定率第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五例已知某種股票每股價格X的平均值為1元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1元，求a,使股價超過1+a元或低于1-a元的概率小于10%。解:由切比雪夫不等式令第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五

一.依概率收斂設(shè){Xn}為隨機(jī)變量序列，X為隨機(jī)變量，若任給>0,使得則稱{Xn}依概率收斂于X.可記為第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五如意思是:當(dāng)a時,Xn落在內(nèi)的概率越來越大.而意思是:,當(dāng)?shù)谖屙摚踩?，編輯?023年，星期五二.幾個常用的大數(shù)定律1.切比雪夫大數(shù)定律

設(shè){Xk,k=1,2,...}為獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且有相同的數(shù)學(xué)期望，及方差2>0，則即若任給>0,使得第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五證明:由切比雪夫不等式這里故第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五2.貝努利大數(shù)定律

設(shè)進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗，每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，記fn為n次試驗中事件A發(fā)生的頻率，則證明:設(shè)第i次試驗事件A發(fā)生第i次試驗事件A不發(fā)生則由切比雪夫大數(shù)定理第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五3.辛欽大數(shù)定律

若{Xk,k=1.2,...}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列,EXk=<,k=1,2,…則推論:若{Xi,i=1.2,...}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列,E(X1k)=<,則第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五

§2中心極限定理

一.依分布收斂

設(shè){Xn}為隨機(jī)變量序列，X為隨機(jī)變量，其對應(yīng)的分布函數(shù)分別為Fn(x),F(x).若在F(x)的連續(xù)點(diǎn)，有則稱{Xn}依分布收斂于X.可記為第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五二.幾個常用的中心極限定理1.獨(dú)立同分布中心極限定理(Levy-Lindeberg)設(shè){Xn}為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，若EXk=<，DXk=2<，k=1,2,…,則{Xn}滿足中心極限定理。根據(jù)上述定理，當(dāng)n充分大時第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五例1.將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于500的概率是多少？解:設(shè) Xk為第k次擲出的點(diǎn)數(shù),k=1,2,…,100,則X1,…,X100獨(dú)立同分布.由中心極限定理第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五設(shè)隨機(jī)變量n(n=1,2,...)服從參數(shù)為n,p(0<p<1)的二項分布，則2.德莫佛-拉普拉斯中心極限定理(DeMoivre-Laplace)證明:設(shè)第i次試驗事件A發(fā)生第i次試驗事件A不發(fā)生則由中心極限定理,結(jié)論得證第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五

例2

在一家保險公司里有10000個人參加壽命保險，每人每年付12元保險費(fèi)。在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.6%，死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得1000元，問：

(1)保險公司虧本的概率有多大？

(2)其他條件不變，為使保險公司一年的利潤不少于60000元，賠償金至多可設(shè)為多少？第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五解:設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則X~B(n,p),其中n=10000，p=0.6%，設(shè)Y表示保險公司一年的利潤，Y=1000012-1000X于是由中心極限定理(1)P{Y<0}=P{1000012-1000X<0}=1P{X120}1

(7.75)=0;第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五P{Y>60000}=P{1000012-aX>60000}=P{X60000/a}0.9;（2）設(shè)賠償金為a元，則令由中心極限定理,上式等價于第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五例3

根據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布.現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的.求這16只元件的壽命的總和大于1920小時的概率.由題給條件知，諸Xi獨(dú)立，16只元件的壽命的總和為解:設(shè)第i只元件的壽命為Xi,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y>1920)第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五由題給條件知,諸Xi獨(dú)立,16只元件的壽命的總和為解:設(shè)第i只元件的壽命為Xi,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y>1920)由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心極限定理,近似N(0,1)P(Y>1920)=1-P(Y1920)

=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五例4.(供電問題)某車間有200臺車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車.設(shè)開工率為0.6,并設(shè)每臺車床的工作是獨(dú)立的，且在開工時需電力1千瓦.問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)?第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五用X表示在某時刻工作著的車床數(shù)，解：對每臺車床的觀察作為一次試驗，每次試驗觀察該臺車床在某時刻是否工作，工作概率為0.6，共進(jìn)行200次試驗.依題意，X~B(200,0.6),現(xiàn)在的問題是：P(X≤N)≥0.999的最小的N.求滿足設(shè)需N臺車床工作，（由于每臺車床在開工時需電力1千瓦，N臺工作所需電力即N千瓦.）第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五

由德莫佛-拉普拉斯極限定理近似N(0,1),于是

P(X≤N)=P(0≤X≤N)這里

np=120,np(1-p)=48由3σ準(zhǔn)則，此項為0。第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五查正態(tài)分布函數(shù)表得由≥0.999，從中解得N≥141.5,即所求N=142.

也就是說,應(yīng)供應(yīng)142千瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn).≥3.1,故第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五例5

在一個罐子中,裝有10個編號為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個，并記下號碼.問對序列{Xk},能否應(yīng)用大數(shù)定律？

諸Xk

獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律.解:

k=1,2,…E(Xk)=0.1,

(1)設(shè)，k=1,2,…第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五

即對任意的ε>0,解:

k=1,2,…E(Xk)=0.1,

諸Xk

獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律.第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五(2)至少應(yīng)取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95?解：設(shè)應(yīng)取球n次，0出現(xiàn)頻率為由中心極限定理近似N(0,1)第二十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五近似N(0,1)第二十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五欲使即查表得從中解得即至少應(yīng)取球3458次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95.第二十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五(3)用中心極限定理計算在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率.解：在