考研輔導(dǎo)第三章隨機(jī)過程

通信系統(tǒng)中用于表示(載荷)信息的信號不可能是單一的確定的,而是各種不同的信號.信息就包含于出現(xiàn)這種或那種信號之中.例如二元信息需用二種信號表示,具體出現(xiàn)哪個信號是隨機(jī)的,不可能準(zhǔn)確予測(如能予測,則無需通信了)我們稱這種具有隨機(jī)性的信號為隨通信系統(tǒng)中存在各種干擾和噪聲,這些干擾和噪聲的波形更是各式各樣,隨機(jī)的不可予測的.我們稱其為隨機(jī)干擾和隨機(jī)噪聲。盡管隨機(jī)信號和隨機(jī)干擾（噪聲）取何種波形是不可隨機(jī)過程是與時間有關(guān)的隨量，在確定的時刻它是隨量。隨機(jī)過程的具體取數(shù)空間（），所有樣函數(shù)及其統(tǒng)計特性即構(gòu)成了隨機(jī)過程，我們以大寫字母X(t),Y(t）等表示隨機(jī)過程，以對應(yīng)的小寫字母x(t),y(t)等表示隨機(jī)過程的實現(xiàn)（樣函數(shù)）。F1x1, =PX ≤ 2.1稱作隨機(jī)過程Xt的一維分布函數(shù)。其中：P[]表示概率F1x1,如果存在 = x, 則稱其為Xt的一維概率密度 3.2.2 稱：Fnx1,x2...xn,t1,t2...tn=Xtn維分布函數(shù)。如果存在：

Xt1≤x1;Xt2≤x2;...Xtn≤ 2.3Fnx1,x2,...xn,t1,t2...tn= x,x...x,t,t..x1x2... 3.2.則稱其為Xt的n維概率密度。如果對于任何時刻t1,t2...tn和任意n=1,2,... 都給定了Xt的分布函數(shù)或概率密度，則認(rèn)為Xt的統(tǒng)計描述是充分的。EX

x x,tdx=

3.2. DX =EXt-EX 2 x- 2 x,tdx ∞x2 x,tdx-m2t=2 2.6 Xt稱為標(biāo)準(zhǔn)差。EXt1X =RXt1,t2 ∞xx x,x,t, dxd 2.7 12 CXt1,t2= Xt1-mX Xt2-mX x- x- x,x,t, dxd =RXt1,t2-mXt1mXt2.5） t, CXt1, Xt1X若Xt1,t2= [或CXt1,t2=0],則稱Xt1和Xt2不相關(guān)令:X(t),Y(t)為兩個隨機(jī)過程; Xt1,Xt2...Xtn;Yt1,Yt1...Y n+m維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù)定義為Fn,mx1,x2...xn,t1,t2...tn;y1,y2...ym,t1,t1..

3.2.3.2.=P[Xt1≤x1,Xt2≤x2...Xtn≤xn,Yt1≤y1,Yt1≤y2...Y ≤ym 3.2.1 若存在

Fn,x1,x2...xn,t1,t2...tn,y1,y2...ym,t1,t1.. x1x2...xny1y2...=pn,mx1,x2...xn,t1,t2...tn,y1,y2...ym,t1,t1.. 2.11 則稱為Xt和Yt的n+m維聯(lián)合概率密度。若對于任意（整數(shù)）n,m,以及t1,t2...tn, Fn,mx1,x2...xn,t1,t2...tn;y1,y2...ym,t1.. =Fnx1,x2...xn,t1,t2...tnFmy1,y2...ym,t1.. 3.2.1 則稱X 和Yt相互獨立式（3.12）可簡寫為：Fnm=FnXtYt相互獨立的條件除式312pnm=pn式3.12和式3. 都是Xt和Yt相互獨立的充分和必要條件

3.2.1 t,

=EX Y ∞xy x,t,y, dxd 3.2.1X CXYt1,t2= Xt1-mX Yt2-mY =RXYt1,t2-mXt1mY若對于任意t1,t2,有：CXYt1,t2= 則稱Xt和Y 不相關(guān)不難證明，相互獨立的Xt,Yt,必定不相關(guān)；反之，不一定。對于正態(tài)隨機(jī)過程，不相關(guān)和獨立是等價的。

3.2.1 n和t1,t2...tn以及pnx1,x2...xn,t1,t2...tn=pnx1,x2...xn,t1+,t2+...tn+則稱Xt

3.3.1）EX = 數(shù)學(xué)期望和方差與時間無關(guān)2）DX =3 t, =

∞x,x, x,x,dxd = 其中：t2-t1= 相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差函X4）CXt1,t2=RX-m2=CX t2-t1=有關(guān)X若X 的數(shù)學(xué)期望EX =ax為常數(shù)，且自相關(guān)函Rxt1,t2=Rx t2-t1=有關(guān)，則稱Xt為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，或稱廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。不難看出，嚴(yán)平穩(wěn)過程一定是寬平穩(wěn)過程，反之，不一定。但對于正態(tài)隨機(jī)過程兩者是等價的。后面，若不加特別說明，平穩(wěn)過程均指寬平穩(wěn)過程。若Xt,Y 是寬平穩(wěn)過程，RXYt1,t2=EXtYt+ =RXY其中：t2-t1=XtYt為聯(lián)合寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。令：X 是實平穩(wěn)過程，RX是其自相關(guān)函

3.3.RX0=EX2 XtX2t是它在1電阻上的瞬時功率t時刻，而R 是其統(tǒng)計平均功率與t無關(guān)RX =RX-3）RX ≤RX若X =Xt+T,即為T周期隨機(jī)過程，則RX=RX+ T周期函數(shù)。一般可以認(rèn)為當(dāng)∞時，Xt與Xt+相互獨立，所以，若EXt =0, 則有：LimRX=0

各態(tài)歷經(jīng)性遍歷性令:xtXt的實現(xiàn)樣函數(shù)),其時間平均值為x=lim1∫Txtx 一般情況,不同樣函數(shù)x(t)的時間平均值不一樣,是一個隨量Xt)的數(shù)學(xué)期望統(tǒng)計平均值與其樣函數(shù)的時間平均值以概率為一相等,即PE[Xt] =Xt為均值遍歷過程xtxt+=lim1∫Txtxtxtxt+ xtxt+若P[RXxtxt+則稱Xt為自相關(guān)遍歷過程Xt的均值和自相關(guān)均為遍歷的,X(t)為寬遍歷隨機(jī)過程Xt)的所有統(tǒng)計平均特性和其樣函數(shù)所有相應(yīng)的時間平均特性以概率為一相等,Xt)為嚴(yán)遍歷過程或窄義遍歷過程∞∞若X(t)是平穩(wěn)過程,且:則X(t)是遍歷過程.

E[Xt]=0;∫-∞R

d<∞,令：Xt為平穩(wěn)隨機(jī)過程；xt為其某實現(xiàn)樣概率，因Xt為功率信號，則xt也為功率信號，根據(jù)第2章的結(jié)論，其功率譜密度為：2PX=

FTT

其中：

xT xtt0t

EFT2一般情況，不同樣函數(shù)xt的PX也會不同，即FT是隨機(jī)的。因此，須用其EFT2FTT2PXFTT2

=lim

PX為Xt的功率譜密度。3.3.8功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系（維納—辛理 RX PX 3.10證 =

te-jtd t1ejt1d =E1∫T/2∫T/2XtXt1e-jt-t1dt1d =1∫T/2∫T/2Rt-t1e-jt-t1dt1dt 令：=t-t1 先對積分令t1=const 這時，d=dt t=-T/2, =-T/2-t1t=T/2 =T/2-t1二重積分變?yōu)椋?j -T/2-積分域如下圖所示

1R dd交換積分次序（t1).分二部分1>0 則有 1∫TRe-j∫T/2-dt1dT1 -T=∫TRe-jT-d=∫TRe-j1-dT2

Re-jT

dt1d

Re-j1+d -T/2- 因為當(dāng)<0時,=-，當(dāng)>0時,= 因此有：1+ 由此有：

1-TFTT

Re-jdTEFT2 TEFT2

e-jd 3.3.1 即：PXRX1的付氏變換，反變換是： ∞ ejd 3.12PX RX 證畢。這就是著名的維納—辛 理。

3.3.1339.功率譜密度的性質(zhì)： PX≥ 3.14 0=EX2 = ∞ d 3.15 Xt的平均功率即PX是單位帶寬中的功率功率譜密 雙因其∞調(diào)為能量，所以也稱能量譜。

3.3.1 0

d Xt為實平穩(wěn)隨機(jī)過程，則RPX均為偶函數(shù)。通信技術(shù)中常用所謂單邊功率譜密度：其定義是：GX

2PX, 0.

3.3.1還有：

∞ e-jd=2∞ cosd

∫0 ejdX =

cosd =2∞ fcos2fdf =2 3.18 例331已知 Xt=sin0t+ 其中 0=const為均勻分布的 量,其概率密度為

p

0≤≤求 Xt的RXt1, 和PX

其它mt=Esin0t+ =Ecos0tsin+sin0tcos=cos0tEsin1+sin0tEcos ==cos 2 sind+sin

cosd=0∫0 0∫0Rt1,t2=EXt1X =Esin0t1+sin0t2+ =E2

cos

t2-

-cos

t1+

+2 =1cos

t-

-0=1cos 由此可見，Xt是寬平穩(wěn)過程。

=1cos

3.3.1 =- ++

3.3.2 3.4.隨機(jī)過程（正態(tài)定義：隨機(jī)過程，任意n維（n=1,2,...)Pnx1,x2...xn,t1,t2.. xj_xj_ e ∑∑Bj=1k=

3.4.xk-k式中：ak=EX 2=EXtk-axk-kB—歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即：

bjkXtj和Xtk的舊一化

協(xié)方差函數(shù) =EXtj- Xtk- Bjk—B的元素bjk的代數(shù)式（也是一行列式由此式可看出：過程Xt的n維概率密度完全決定于其Xt1...X的數(shù)學(xué)期望，方差和X 與Xtk兩兩之間的歸一化協(xié)方差bjktj,tk性質(zhì)如果過程是寬平穩(wěn)過程，則EX =akkDXtk =2與時刻tk無關(guān)，是一常數(shù)；而bjk tj,tk僅與tj-tk有關(guān)，因此其n維概率密度滿足嚴(yán)平穩(wěn)條件，所以寬平穩(wěn)的過程就是嚴(yán)平穩(wěn)的過程。也就是說，對于過程來說，寬平穩(wěn)和嚴(yán)平穩(wěn)是一致的。k注意，對于其他隨機(jī)過程此結(jié)論不一定成立。如果X 和Xtk兩兩不相關(guān)，即 j= bjk

j≠則有：

B=

B

j= j≠ B 這時有：Pnx1,x2,...xn,t1,...tn

12

nnexp-j= 2 n

nj=

exp

j=1x-x-2 2j1=j=

xj-axj-a22j∏jj=1-令：f1xj,tj-

2j則有：jpnx1,x2,...xn,t1,t2,...tn=f1x1f2x2...fn即：Xt1...X 兩兩相互獨立這說明，對于正態(tài)隨機(jī)過程的任何兩個時刻的隨 量，不相關(guān)也就是統(tǒng)計獨立。注意，對于其他隨機(jī)過程此結(jié)論不一定成立。

3.4.p1x

exp 3.4. x-ax-a22為方差p12p12a 1)∫-∞=∫a= 對稱于a

圖3.1.正態(tài)概率密度曲線若a= = 則稱為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布，px=1exp

2正態(tài)分布函數(shù)Fx=∫- exp d 2令：u=z-a du=dzu2u2Fx式中：

x-∞ exp∞

du= 2 2x 2∫-∞exp d —概率積分函數(shù) -x+x=

erfx

dt

erfcx=1-erfx

3.4.1∫ed 三者關(guān)系，見書114頁，見式3. 3.erfx=2 2x-1erfcx=2-2

3.4.123.4.12或x=2

+1er2

=1-1erf22

3.4.1由此有：Fx=2

+1er2

=1-1erf a 3.4.1a因為∞ 2∫-∞exp-

dz=2 2所 2∫-∞exp dz+2∫xexp dz=22x+22

∫-

exp

du 令：u=-=x+ -∞exp du=x+- = 4.15一般表中只給x≥0時的 值,x<0時的x值可由3.4.8求出 yt=xthX Y-Yt=Xtht=∫∞huXt-ud- ∞Xht-d 3.5.3.5.1 隨機(jī)過程Yt的均值（統(tǒng)計平均）設(shè)：EXt <∞, 且系統(tǒng)穩(wěn)定∞mYt=EY =E∫-∞huXt-udu ∞huEXt- du ∞humdu= ∞hud 3.5. t=mH0=

t無關(guān)。H0=

∞

hud 352 隨機(jī)過程Yt的自相關(guān)函數(shù)RYt1 =EYt1Y = ∞huX1-udu∫∞hvXt-vd

- =E∫=E∫- -∫∫∞∞∫∫∞∞

Xt1-uXt2-vhuhvdvduXt1-uXt2- huhvdudv ∞ ∫∫ ∫∫

t2-t1+u-+u-v

huhvdudvuhvdudv=RY 5.3tYt為平穩(wěn)隨機(jī)過程。353XtYt的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度

t1,t2=EXt1Y

=EX

Xt2-uhudu∞ ∞EX Xt- hudu ∞ t-u- hudu∞ -uhudu= h = 3.5. 定義：XtYt的互功率譜密度PXY=FRXY根據(jù)卷積定理有：PXY=FRX Fh =PXY

=PXH 3.5.X

為白噪聲，即其功率譜密度為

=2

-∞<<

=N0, =N0h=N0h 3.5. 此性質(zhì)可用來測量線性網(wǎng)絡(luò)的h;為此將白噪聲加到網(wǎng)絡(luò)輸入，并測量其輸入輸出之間的互相關(guān)函數(shù)，即可得到 h.(見圖3.已知：XtRX,XtX^t的互相關(guān)函數(shù)RXX^hXh其中：ht=1

XH=-jsgn ∞RX 據(jù)前結(jié)果有：R^= h du=R^= ∫-∞- RX為偶函數(shù)，所以R^X是奇函數(shù)，即RXX^是奇函數(shù)，即RXX^0=0,這說明：Xt與^t在同一時刻互不相關(guān)：若Xt過程，則

也 過程， 過程不相關(guān)即獨立，所 Xt和X^t在同一時刻是相互獨立的。另外，根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：RXY =RYX-RX^X（）RX^X-=-RXX^=-N白噪聲

據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)RNY=N0/2h

3.5.圖3.2 Nt和Yt為平穩(wěn)遍歷過程,時間平均=統(tǒng)計平均。由此有：RXX = 奇函數(shù)3.5.4.Yt的功率譜密 PY RY ∞ e-jd ∞ +u-vhvhudvdu

d

3.5. ∞h ∞h ∞ +u-

e-jddvdu+

hu d

hv d

d =H*HPX =H2PX即:PY=H2PX 5.9X若:H=-jSgn,則Yt=^X不難證明：

=PX

3.5.1由此有 RX^=RX

3.5.1稱平穩(wěn)隨機(jī)過程為白噪聲nt,其功率譜密度：Pn=N0/2常 -∞<< 3.5.1PnPn0N0Pn

=N02

3.5.1355.Yt的概率密度：Xt是正態(tài)隨機(jī)過程，則Yt也是正態(tài)隨機(jī)過程RP會變化。若過程XtX》系統(tǒng)帶寬則：t趨于過程正態(tài)過例：若Xt為白噪聲，則其X ∞,所以當(dāng)它為限頻系統(tǒng)的輸入時，輸出即為正態(tài)過程準(zhǔn)確，不是近似。X YRX PX h H RY PYPY=PX HRY=RXRh其中：Rh H2 且 Rh =∫-∞hhu+d =t2-RXY=EXt1Y =RXY=RXhPXY =FRXY =PXH當(dāng)h =1,H =-jsgn 時Yt=X^t則有；R^= =^ 奇函數(shù) RXX^-=RX^X 互相關(guān)函數(shù)性質(zhì) RX^XR^-=-R^ 奇函數(shù)性質(zhì) 6 PX^=PX RX^=RX窄帶隨機(jī)過程定義及表示式PX-0令Xt為平穩(wěn)隨機(jī)過程，其功率譜密度PXPX-0圖36c>>Xt為窄帶隨機(jī)過程，其樣函數(shù)之一如圖362所示：t圖362窄帶隨機(jī)過程的樣函數(shù) .Xt=atcosct+ =atcostcosct-atsintsinctXct=atcostXst=atsint則有： t=Xctcosct-Xstsinc其中：atXt的包絡(luò)；tXt的相位；Xct稱作Xt的同相分量；Xst稱作Xt的正交分量；at,t,Xst都是隨機(jī)過程。

3.6.3.6.3.6.3.6.Xt的解析信號Zt=XtjX^Xct,Xst的特性之間的關(guān)系。XXt的解析信號可表示為：X

可以得到Xt,at,t以及Zt=Xt+jX^t tejct 3.6.X其中 t=Zte-jXXtXtejct稱作復(fù)載波。X

3.6.X可以證明 t=Xct+jXst=atej 6.7X實際上，將式3.6.7代入式3.6. 得t=Xc

Xct+jXscosct-Xs

cosct+jsinc sinct+jXctsinct+XstcosctXt=Rez

=Xctcosct-Xssin

與式364一致。 X又 Zt tejct=atejtejctX=ate由此有：

ct+

=a cosct+

+jsinct+ Xt=Rez

=atcosct+

361一致。由式36X2tX2t+X2cs

和3.6. 可得到 3.6.t=arctgXs Xc 3.6.相關(guān)函數(shù)與功率譜密度Zt的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度根據(jù)復(fù)過程自相關(guān)函數(shù)的定義Z 的自相關(guān)函數(shù)為：RZt1,t2=EZ*

Z

= Xt1-j^ Xt2+jX^ =EXt1Xt2+^t1^t2+jXt1X^t2-j^t1=RX+RX^+jRXX^-jRXX^其中：=t2-t1據(jù)式3.5. 可得到RZ=2RX+j^XZt的功率譜密度：PZ=FRZ =2FRX +jFR^X

3.6.1=2PX+2j

RXX^

=2PX+2jPXH=2PX+2j-jsgnPX =2PX+sgnPX =2PX1+sgn =4PXu其中 sgn= >

3.6.1 <0u 1 >0 <復(fù)包絡(luò)Xt的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度XRX=EX

tXt+ =EZ*tejctZt+e-jct+=EZ*tZt+

e-jc=

e-jc

3.6.1Z根據(jù)RX PXZ及付氏變換性質(zhì)，可得：PX=+

3.6.1P和 的圖形如圖3.6.3所示。由圖可見， 是基帶隨機(jī)過程當(dāng)X<<Z時，相對于cos , 是慢變化的復(fù)Xt函數(shù) c XPZ-0圖363解析信號和復(fù)包絡(luò)的功率譜密度Xct,Xst的統(tǒng)計特性已知:t= t+j t,因 為低通型復(fù)函數(shù)，所 Xst均為低通型實函數(shù)，當(dāng)<<ccosct,XctXst均為慢變化的實函數(shù)。又有：X

=Zte-jct=Xt+j^ cos

t-jsinc=Xtcosct+比較上面二式可得：

tsinct+j^tcosct-XtsincXct=Xtcosct+^tsinc 6.14Xst=

tcosct-Xtsinc 3.6.1XctXst有以下性質(zhì)：若EX =0 則E^ = 由此有EXc =EXs = 3.6.1^若Xt是過程，則X 也 過程，由此：Xct和Xst也是 過程。過程的線性和仍為過程。Xt是寬平穩(wěn)過程，則XctXst為聯(lián)合寬平穩(wěn)過程，即它們是平穩(wěn)過程，且它們的互相關(guān)函數(shù)只與有關(guān)。證：RXCt1,t2= Xt1cosct1+^ sinc X cosct2+^ sin c=RXcosct1cosct2+RX^sinct1sinc+RX^Xsinct1cosct2+RXX^cosct1sinct2=RX cosct1cosct2+sinct1sinc cosct1sinct2-sinct1cosc=RXcosct2- +RX^Xsinct2-=RXcosc+RXsinc*利用三角cos.cos+sin.sin=cos-sin.cos-cos.sin=sin-同理可求得：RXst1, =RXcosc+^RXsinc即RXs =RXc.只與有關(guān)，故Xct和Xst是寬平穩(wěn)過程。為證明聯(lián)合寬平穩(wěn)性，現(xiàn)看Xct和Xst的互相關(guān)函數(shù)：EXct1Xst2 =E Xt1cosct1+^tsinct1^t2cosct2-Xt2sinct2 =RX^Xcosct1.cosct2-R^XXsinct1.sinc-RX.cosct1.sinct2+R^Xsinct1.cosct2=RXX^cosc-RX.sinc,

3.6.13.6.1RXc

t1,t2=R^Xcosc-RXsinc

3.6.1有關(guān)。利用互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：RXY=RYX-可得到 RXsXc=RXcXs-=-RXcosc+RXsinc證畢4)由以上各式不難得到：XRXc0=RXs =RX =2XXctXt的方差是相等的。

3.6.23.6.2RXcXs0=-RXsXc0=因為^X 是奇函數(shù)

=0 3.6.2這說明Xct和Xs 在同一時刻t=0不相關(guān)，若 過程則相互獨立。5）因有RXc=RXs 所以PXc=PXs已知：RXc=RXs=RXcosc+R^Xsinc由此有：PXc=PXs=FRXc =FRXcosc+^Xsinc根據(jù)頻域卷積定理有：1 - ++ 1 -jsgn

- -+ 1=2PX-c+1

+-2PX-csgn-c-PX+csgn+ 1=2PX- 1-sgn- +PX 1+sgn+PXc=PX-cuc-+PX u+ 3.6.2PX-

圖3.6.4PX PXc和PXs圖3.6.4顯示了PX PXc和PXs之間的關(guān)系嚴(yán)格限頻信號）；當(dāng)：<c時，有：

=PXs PX+c+PX- -c≤ 6.240, 對于非嚴(yán)格限頻信號，當(dāng)<<c時，3.6.2 式近似成立0, 不難看出：當(dāng)PX對稱于cRX=RXccosc=RXscosc 3.6.2結(jié)論：均值為0的窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程其同相分量Xct和正交分量Xst也是平穩(wěn)過程，且均值為0，方差等于X t的方差，在同一時刻Xct和Xst互相獨立。Xct,Xst,at, 的概率密度1）Xct,Xst的聯(lián)合概率密度pXc xc,x =p xcpXs xsx xs = 2= 2

2 2

exp

xc+x2

3.6.22）at

的聯(lián)合概率密度已知：Xct=at.coatXst=at.sint由式3.6.2 及隨機(jī)向量的概率密度變換法則pa,a,=pXc其中：

xca,,xsa, xJ

cos sin-asin acos =pa,a,

exp-22

a2a2 0≤≤

3.6.2 a ∞ a,d

eap d aaa2

∫02a2paa=2exp a≥ 稱為瑞利分a2p

∞ a,da

∞

exp da a, 2∫0=1,0 均勻分布。且有：paa.p =pa,a,由式3630可見,att同一時刻相互獨立。

3.6.23.6.3 余弦波加窄帶隨機(jī)過程令：Xt=Acosct+nt, 其中：nt 為窄帶平穩(wěn)過程噪聲。可表示為：nt=nctcosct-nstsinctXt=A+nc cosct-nstsinctc令：n1t=A+nct 則有ccn1t,ns 均為過程且在同時刻相互獨立cn1t的均值為 t的均值為0 cn1tnst的方差均為2cn1-A2+cs2cn1-A2+cs2c同一時刻 n1,

expn1 2c還可寫成：Xt=Rtcosct+ c=Rtcostcosct-R sint.sinct

3.7.其中：Rt稱作Xt的包絡(luò)，t稱作Xt的相位。不難看出有：cn1t=Rtcost 及R c

n12

+n2

3.7.cs t=Rtsint t=arctgnstcsnt 3.7.ntc現(xiàn)求：Rtt的同一時刻的聯(lián)合概率密度，根據(jù)概率變換法則有：c其中：c

pRr,=pncn

n1r,,nsr, J

n1r,cn1r,c

cos sinnsnsnsns=rcos2+sin2=r2+A2r2+A2-2Arcos2

3.7.由此有：pRr,

2

r≥0≤≤2包絡(luò)R的概率密度： r ∞ rd

rexp R 1ex

A cosd∫02 3.7.已知 x 2expxcosd 7.6 2稱為0階修正函數(shù)。將式3.7.6代入式3.7.5 得：r2r2+A2ApRr=2exp r≥I010稱為分布或廣義瑞I010x圖3.7.1 0階修正函數(shù)I0x引入歸一化變量和信擾比：v=r a=A信噪比；v2+av2+a2則有：pvv=pRr=vex

I0av 3.7.式3.7. 稱 分布或廣義瑞利分布的標(biāo)準(zhǔn)形式,圖3.7.2為其圖形pva=

a=

a= 圖372.標(biāo)準(zhǔn)廣義瑞利分布由式377和圖372可見1）a=02）當(dāng)a>>1時，在v=a附近近 分布。即A>>,大信噪比時平穩(wěn)隨機(jī)過程通過乘法器令Xit為均值等于0的平穩(wěn)隨機(jī)過程，相關(guān)函數(shù)和功率譜密度為Ri,Pi;Xit 通過乘法器與本地載波相乘得到X0t,如圖381所示：Xi X0cosc圖38X0t的自相關(guān)函數(shù)R0t,t+=EX0tX0t+ =EXitXit+cosctcosct+ =Ri

cosc+cos2ct+c

3.8.2由式381X0t的統(tǒng)計平均相關(guān)函數(shù)R0t,t+t有關(guān)，因此2X0t是非平穩(wěn)隨機(jī)過程1R0t,t+時間平均可得到： t,t+=lim T t,t+dt =1 cos+1 cos2t+ 由于：

T-T

cos2ct+cd

≤2

12因此：lim T/2cos2t+dt≤lim = 由此得： t,t+

cos 8.2 X0t的功率譜密度定義：t,t+R0t,t+的變換為X0tt,t+ = =∞ t,t+e-jd cosejd 根據(jù)頻域卷積定理有：∫-∞ =1.1

- ++ - + 3.8. 窄帶（平穩(wěn)）噪聲通過相干解調(diào)令：nt為均值等于0的白噪聲，通過中心頻率為c窄帶濾波器（函數(shù)為H1如圖3.9.1所示），得到窄帶噪聲nit,而nit通過由相乘電路和低通濾波器組成的相干解調(diào)電路得到n0t,低通濾波器的傳遞函數(shù)示于圖3.9.2。H1m<<-2

圖39H21

2H1整個過程示于圖393H1H1白噪聲

- 0 圖39H2ni nH2n0 =

-∞<<

cos0圖393nit=nctcos0t-nstsin0tnpt=nitcos0t=nc cos20t-nstsin0t.cos0t=1

t+2

nctcos2

t-

tsin20

t=1

t.（nc

為低通型基帶信號）1R0=E2n

t.1

t+ =1 =1 n由式3.6.2 有

3.9. Pn+0+Pn- ,≤m 3.9. 0, 又有 =pnc 3.9.n2cn2t =n2n2c 附錄3.1隨量函數(shù)的概率密已知 量X1,X2的聯(lián)合概率密度X1XY1,Y2X1,X2的函數(shù)：Y1=f1X1,X2Y2=f2X1,X2反函數(shù)為多值函數(shù)：X1=1Y1,Y2X2=2Y1,Y2具有若干多值區(qū)：

x1,x2;且隨

F3.1.F3.1.X1=11Y1, X1=21Y1,X2=12Y1, X2=22Y1, ... 平面x1,x2y1,y2的對應(yīng)關(guān)系示于圖F1,F2.

F3.1.00ddd0圖F 圖F由圖F1,F2和式（F