2024年浙江省寧波市鄞州中學(xué)強(qiáng)基招生數(shù)學(xué)試題

2024年浙江省寧波市鄞州中學(xué)強(qiáng)基招生數(shù)學(xué)試卷一、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分。1.若，且，則________.2.__________.3.已知正實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)________.4.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最大值5，則的值為_(kāi)_________.5.已知中，上的一點(diǎn)，，，則的最大值為_(kāi)________.6.若點(diǎn)為線段中點(diǎn)，，且，，，，則_______.7.如圖，在中，，分別在，上，連結(jié)交于，若，，，，共線，的面積為11，則的面積為_(kāi)_______.8.已知整數(shù)，，滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)_______.9.已知，，是大于1的正整數(shù)，且為整數(shù)，則_______.10.已知、為圓的兩條切線，連結(jié)交圓于點(diǎn)，若，，，則__________.二、解答題：本題共2小題，共16分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。11.（本小題8分）已知，矩形的，頂點(diǎn)分別在軸，軸上，反比例函數(shù)與矩形的，分別交于，，的面積為4.5.（1）判斷并證明直線與的關(guān)系.（2）求的值.（3）若，分別為直線和反比例函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，求的最小值.12.（本小題8分）如圖，在中，，是垂心，是外心，延長(zhǎng)交于，于.（1）求證：.（2）證明：，，，四點(diǎn)共圓.（3）若，求.

答案和解析1.【答案】【解析】解：，，，，，是方程的兩個(gè)根，，.故答案為.根據(jù)觀察方程組的系數(shù)特點(diǎn)，可把方程組轉(zhuǎn)化成的形式，其中，是其兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到結(jié)果.本題考查了解方程組，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用.關(guān)鍵是觀察方程組的系數(shù)特點(diǎn)，得到，是方程的兩個(gè)根，得到結(jié)果.2.【答案】【解析】解：原式.故答案為：.將改寫(xiě)為，改寫(xiě)為，，再利用裂項(xiàng)相消法即可解決問(wèn)題.本題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律，能將改寫(xiě)為，改寫(xiě)為，，及熟知裂項(xiàng)相消法是解題的關(guān)鍵.3.【答案】18【解析】解：構(gòu)造圖示的三個(gè)直角三角形，即，，，滿(mǎn)足，，，，，，則由勾股定理可知，即同理可得，，所以可知當(dāng)，，四點(diǎn)共線時(shí)，最小，即為長(zhǎng)，當(dāng)當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，.在中.故答案為18.本題利用幾何法求解，通過(guò)構(gòu)造圖示的三個(gè)直角三角形，即，，，則由勾股定理可知，即同理可得，，所以可知當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，最小，即為長(zhǎng)，本題主要考查二次根式最值問(wèn)題，用幾何法構(gòu)造直角三角形，結(jié)合最短路徑問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.4.【答案】1或7【解析】解：由題意，的對(duì)稱(chēng)軸是直線，當(dāng)時(shí)，.又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)最大值為，或（不合題意）；②當(dāng)最大值為，或，均不合題意；③當(dāng)最大值為，（不合題意）或.綜上，或7.故答案為：1或7.依據(jù)題意，由的對(duì)稱(chēng)軸是直線，結(jié)合當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而分類(lèi)討論即可判斷得解.本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值、二次函數(shù)的最值，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.5.【答案】【解析】解：如圖，以為邊作等邊三角形，連接，過(guò)點(diǎn)作于，，設(shè)，則，，，點(diǎn)在以為半徑，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與圓相切時(shí)，有最大值，此時(shí)：，是等邊三角形，，，，，又，，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形，，故答案為：.由題意可得點(diǎn)在以為半徑，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)與圓相切時(shí)，有最大值，由“”可證，可得，可證四邊形是矩形，可得，即可求解.本題考查了四點(diǎn)共圓，圓的有關(guān)知識(shí)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.6.【答案】3【解析】解：如圖，過(guò)作.延長(zhǎng)交于.，，為線段中點(diǎn)，，在和中，，，，，面積，，，，，，，.故答案為：3.先畫(huà)出圖形，過(guò)作.延長(zhǎng)交于.由，得，再證明，得，，由面積，得，，，，，最后再計(jì)算即可.本題考查了平行線的性質(zhì)，利用中線倍長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.7.【答案】30【解析】解：梅涅勞斯定理：如圖，，證明：過(guò)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，，；塞瓦定理：如圖，，證明：根據(jù)上述梅涅勞斯定理，可得出，在中，是梅涅線，①在中，是梅涅線，②.根據(jù)梅涅勞斯定理，在中，是梅涅線，，，，，，根據(jù)塞瓦定理可得，，，而，，.故答案為：30.根據(jù)梅涅勞斯定理和塞瓦定理可得出和，從而得出，再利用即可得解.本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積問(wèn)題等內(nèi)容，在初中競(jìng)賽、自招、強(qiáng)基等題目中，梅涅勞斯定理和塞瓦定理是必須掌握的基礎(chǔ)內(nèi)容.8.【答案】118【解析】解：，，，，，，即，故答案為：118.根據(jù)，得出，從而得出結(jié)論.本題考查了因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握完全全平方公式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì).9.【答案】12【解析】解：、、是大于1的正整數(shù)，，，是分?jǐn)?shù)，，，為假分?jǐn)?shù)，為整數(shù)，且分子分母能互相約分，，①當(dāng)，時(shí)，分子中定有7，分母中有7才能進(jìn)行約分，當(dāng)時(shí)，，故符合題意，，②，時(shí)，分子中定有13，分母中有13才能進(jìn)行約分，當(dāng)時(shí)，不是整數(shù)，故不符合題意，③，時(shí)，分子中定有21，分母中有21才能進(jìn)行約分，當(dāng)時(shí)，不是整數(shù)，故不符合題意，其余情況依次討論均不符合題意故答案為：12.根據(jù)、、的條件和三個(gè)分?jǐn)?shù)的乘積為整數(shù)，得出、、的值，進(jìn)而求和.本題考查了分式的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件分類(lèi)討論得到、、的值.10.【答案】【解析】解：連接，，，作，設(shè)，同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍，，，，是等邊三角形，，，，是的切線，，，，，，，，，，，同理可證：，得出：，，，，，是直徑，，，，，，，，，，，，.連接，，，作，設(shè)，證是等邊三角形，得出，證，，得出，得出是直徑，再解直角三角形，求出，即可.本題考查切線長(zhǎng)定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí).作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.11.【答案】解：（1）如圖1，，理由如下：由題意得，，，，，，，，，，，，；（2）如圖2，圖2作于，，，，，，（舍去），；（3）如圖2，取點(diǎn)，，則直線與直線關(guān)于對(duì)稱(chēng)，連接，并延長(zhǎng)交于，連接，則，是的中點(diǎn)，，當(dāng)最小時(shí)，最小，作直線，交軸與，且使與雙曲線在第一象限的圖象相切，切點(diǎn)為，作于，作，則的最小值是的長(zhǎng)，直線的解析式為：，設(shè)直線的解析式為：，由整理得，，，，（舍去），，，，，，，，，.【解析】（1）可表示出，，從而得出，，進(jìn)而表示出和，進(jìn)而得出，進(jìn)而證得，從而，從而得出；（2）作于，可推出，從而，進(jìn)一步得出結(jié)果；（3）取點(diǎn)，，則直線與直線關(guān)于對(duì)稱(chēng)，連接，并延長(zhǎng)交于，連接，則，可得出當(dāng)最小時(shí)，最小，作直線，交軸與，且使與雙曲線在第一象限的圖象相切，切點(diǎn)為，作于，作，則的最小值是的長(zhǎng)，可設(shè)直線的解析式為：，由整理得，，從而得出，求得的值，進(jìn)一步得出結(jié)果.本題考查了求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象的交點(diǎn)與方程（組）之間的關(guān)系，三角形中位線的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形的中位線.12.【答案】解：（1）根據(jù)題意，以為圓心，為半徑作圓，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，，，是直徑，，，為垂心，，，，，，是平行四邊形，，，，，，設(shè)半徑為，，，又，；（2）為垂心，，，，，，，，，、、、四點(diǎn)共圓；（3）設(shè)，，，在直角中，，，，，，，在直角中，，即：，在直角中，，即：，，，在中，，即：，，或（舍去），.【解析】（1）由垂心，得到垂直關(guān)系，結(jié)合圓周角度數(shù)為，得到圓心角的度數(shù)，得到是平行四邊形，從而得到結(jié)果；（