第四節(jié)空間曲線及其方程

第四節(jié)

空間曲線及其方程一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程三、空間曲線在坐標面上的投影四、小結 思考題G(

x,

y,

z)

=

0F

(

x,

y,

z)

=

0空間曲線的一般方程特點曲：線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在曲線上，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程.【注】空間曲線用一般方程表示,表達式形式不唯一.xozyS1S2C空間曲線C

可看作空間兩曲面的交線.一、空間曲線的一般方程z

=

z(t

)

y

=

y(t

)

x

=

x(t

)當給定t

=t1

時，就得到曲線上的一個點(x1

,y1

,z1

)，隨著參數(shù)的變化可得到曲線上的全部點.空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程【例

1

】如果空間一點M

在圓柱面x

2

+

y2

=

a

2

上以角速度

繞z

軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速度v沿平行于z軸的正方向上升（其中、v都是常數(shù)），那么點A?MM出發(fā)，經(jīng)過t時間，運動到M點M

在xoy面的投影M

(x,y,0)x

=

a

cosw

ty

=

a

sinw

tz

=

vtw

tM

構成的圖形叫做螺旋線．試建立其參數(shù)方程．取時間t為參數(shù)，

動點從A點螺旋線的參數(shù)方程【解】xyzoP圓柱面x

2

+

y

2

=

a

2aMNQ螺旋線的重要性質(zhì)：上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比當θ

從0

fi

2p，螺線從點P

fi

Q螺旋線又稱圓柱螺線yz0θxM(x,y,z)x

=

acosqy

=

asinq

(q

=

w

t

,

b

=

v

)z

=

bq

wPQ

=

2

p

b叫螺距G(

x,

y,

z)

=

0設空間曲線的一般方程：

F

(

x,

y,

z)

=

0消去變量z

后得：

H

(

x,

y)

=

0投影柱面的特征：

曲線關于

xoy的投影柱面以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面.三、空間曲線在坐標面上的投影如圖:投影曲線的研究過程.空間曲線投影曲線投影柱面類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影

x

=

0R(

y,

z)

=

0

y

=

0T

(

x,

z)

=

0yoz

面上的投影曲線,

xoz面上的投影曲線,z

=

0H

(

x,

y)

=

0空間曲線在xo面y

上的投影曲線【例2】求曲線

在坐標面上的投影.2

1z

=

x2

+

y2

+

z2

=

1【解】4(1)消去變量z后得

x2

+

y2

=

3

,在xo面y

上的投影為4,32

2z

=

0x

+

y

=3

;2|

x

|￡1所以在

xoz面上的投影為線段.

y

=

0z

=

2

,上，2（2）因為曲線在平面

z

=

1（3）同理在yo面z上的投影也為線段.2

32

, |

y

|￡

.

x

=

0z

=

1【例

3】求拋物面

y2

+

z

2

=

x

與平面

x

+

2

y

-

z

=

0的截線在三個坐標面上的投影曲線方程.

x

+

2

y

-

z

=

0

y2

+

z2

=

x【解】

截線方程為

如圖,,（2）消去y

得投影

y

=0

x2

+

5z2

-

2

xz

-

4

x

=

0.（3）消去x

得投影

x

=

0

y2

+

z2

+

2

y

-

z

=

0,（1）消去z

得投影z

=0

x2

+

5

y2

+

4

xy

-

x

=

02

-x2

-y2

及z

=x2

+y2【例4】求曲面z

=z

=

x2

+

y2z

=

2

-

x2

-

y21z

=

1

x2

+

y2

=

1yxzo得交線L：【解】由的交線L在xoy

平面的投影。x

yz

=0

2z1ox2

+

y2

=1Lz

=

0投影柱面x

2

+

y

2

=

1所求投影曲線為

x

2

+

y

2

=

1.2

-x2

-y2

及z

=x2

+y2【例4】求曲面z

=的交線L在xoy

平面的投影。z

=

x2

+

y2z

=

2

-

x2

-

y2z

=

1

x2

+

y2

=

1得交線L：【解】由補充:空間立體或曲面在坐標面上的投影.空間立體曲面【例5】設一個立體,由上半球面

z

=

4

-

x2

-

y2和

z

=

3(

x2

+

y2

)錐面所圍成,求它在

xoy面上的投影.半球面和錐面的交線為【解】z

=z

=C

:

4

-

x2

-

y2

,3(

x2

+

y2

),消去z

得投影柱面x2

+y2

=1,則交線C

在xoy

面上的投影為z

=

0.

x2

+y2

=1,

一個圓,\

所求立體在xoy

面上的投影為x2

+

y2

￡

1.【注意】空間立體或曲面在坐標面上的投影是該坐標面上的一塊區(qū)域,或一段曲線.故一般用不等式表示.空間曲線的一般方程、參數(shù)方程．四、小結空間曲線在坐標面上的投影．

H

(

x,

y)

=

0

R(

y,

z)

=

0G(

x,

y,

z)

=

0F

(

x,

y,

z)

=

0z

=

z(t

)

y

=

y(t

)

x

=

x(t

)z

=

0

x

=

0

y

=

0T

(

x,

z)

=

0【思考題】求橢圓拋物面2

y

2

+x

2

=z與拋物柱面

2

-x

2

=z的交線關于