2012年全國大學生數(shù)學建模競賽B題

一、問題提出

在設計太陽能小屋時，需在建筑物外表面（屋頂及外墻）鋪設光伏電池，光伏電池組件所產(chǎn)生的直流電需要經(jīng)過逆變器轉(zhuǎn)換成220V交流電才能供家庭使用，并將剩余電量輸入電網(wǎng)。不同種類的光伏電池每峰瓦的價格差別很大，且每峰瓦的實際發(fā)電效率或發(fā)電量還受諸多因素的影響，如太陽輻射強度、光線入射角、環(huán)境、建筑物所處的地理緯度、地區(qū)的氣候與氣象條件、安裝部位及方式（貼附或架空）等。因此，在太陽能小屋的設計中，研究光伏電池在小屋外表面的優(yōu)化鋪設是很重要的問題。附件1-7提供了相關(guān)信息。請參考附件提供的數(shù)據(jù)，對下列三個問題，分別給出小屋外表面光伏電池的鋪設方案，使小屋的全年太陽能光伏發(fā)電總量盡可能大，而單位發(fā)電量的費用盡可能小，并計算出小屋光伏電池35年壽命期內(nèi)的發(fā)電總量、經(jīng)濟效益（當前民用電價按0.5元/kWh計算）及投資的回收年限。在求解每個問題時，都要求配有圖示，給出小屋各外表面電池組件鋪設分組陣列圖形及組件連接方式（串、并聯(lián)）示意圖，也要給出電池組件分組陣列容量及選配逆變器規(guī)格列表。在同一表面采用兩種或兩種以上類型的光伏電池組件時，同一型號的電池板可串聯(lián)，而不同型號的電池板不可串聯(lián)。在不同表面上，即使是相同型號的電池也不能進行串、并聯(lián)連接。應注意分組連接方式及逆變器的選配。問題1：請根據(jù)山西省大同市的氣象數(shù)據(jù)，僅考慮貼附安裝方式，選定光伏電池組件，對小屋（見附件2）的部分外表面進行鋪設，并根據(jù)電池組件分組數(shù)量和容量，選配相應的逆變器的容量和數(shù)量。問題2：電池板的朝向與傾角均會影響到光伏電池的工作效率，請選擇架空方式安裝光伏電池，重新考慮問題1。問題3：根據(jù)附件7給出的小屋建筑要求，請為大同市重新設計一個小屋，要求畫出小屋的外形圖，并對所設計小屋的外表面優(yōu)化鋪設光伏電池，給出鋪設及分組連接方式，選配逆變器，計算相應結(jié)果。

二、基本假設

1、假設：在檢測的每小時內(nèi)的各個方向的輻射強度和散射強度的變化值很小，變化可以忽略不計，即記為定值。2、假設：影響每峰瓦的實際發(fā)電效率或發(fā)電量因素每年；3、假設：同一分組陣列中的組件在安裝時，盡可能保證具有相同的太陽輻射條件（朝向、傾角等）；4、假設：5、假設：

意義全年太陽能光伏發(fā)電總量單位發(fā)電量的費用逆變器的工作電壓的最小值逆變器的工作電壓的最大值逆變器的功率電池的功率電池的端電壓電池組件的價格逆變器的單價單位KW元VVWWV元元備注

三、符號說明意義全年太陽能光伏發(fā)電總量單位發(fā)電量的費用逆變器的工作電壓的最小值逆變器的工作電壓的最大值逆變器的功率電池的功率電池的端電壓電池組件的價格逆變器的單價單位KW元VVWWV元元備注

符號

Z

D

V1i

V2i

Pi

Pj

Uj

Kn

Ci

注解：

i的取值為

j的取值為

n的取值為

部分符號

四、問題分析

問題背景，前期數(shù)據(jù)的分析，解決問題的總體思路,不要玩文字游戲，盡量有些圖、表、框架圖、數(shù)學符號公式等，顯得生動些，比如解決問題的流程圖，重要因素之間的關(guān)系圖等。

五、模型的建立與求解

問題一模型建立與求解時刻W/m2012

1011小時W/m201問題一模型建立與求解時刻W/m2012

1011小時W/m2012

32503251水平面總輻射

0.000.000.00

155.56161.11法向直射輻射

0.000.000.00

0.000.00北向總輻射

0.000.000.00

77.7880.565.1.1問題一的分析1、重要概念的理解概念一：峰瓦，太陽能裝置容量計算單位，為裝設之太陽電池模板於標準狀況(模板溫度25℃，AM1.51,000W/m2太陽光照射)下最大發(fā)電量的總和。1峰瓦=1000瓦/每平方米日照強度下電池所產(chǎn)生的功率概念二：光伏效應，指光照使不均勻半導體或半導體與金屬結(jié)合的不同部位之間產(chǎn)生電位差的現(xiàn)象。它首先是由光子（光波）轉(zhuǎn)化為電子、光能量轉(zhuǎn)化為電能量的過程；其次，是形成電壓過程。概念三：端電壓，路端電壓是靜電力把單位正電荷從正極移到負極所做的功。2、思路的理解通過對山西省大同市的氣象數(shù)據(jù)的處理，找到各方向每段時間的太陽光輻照量，以逆變器的額定功率和與允許輸入的電壓范圍為限制條件確定所有的電池組件連接的分組陣列情況，把小屋外表面分成幾塊，根據(jù)每塊的面積大小選擇合適的電池組件進行貼附。再根據(jù)處理后的氣象數(shù)據(jù)計算每塊的轉(zhuǎn)化效率，通過逆變器后的輸出效率，最后累加計算出一年的發(fā)電總量，再根據(jù)光伏組件不同年段的效率求出35年的總發(fā)電量。3、數(shù)據(jù)處理（1）電池組件和逆變器的符號表示：SNi分別表示逆變器SN1，SN2、、、SN18（即其中i=1、、、18）。在程序中分別用1到18的數(shù)字表示。CDj分別表示電池組件A1、、、A6，B1、、、B7，C1、、、C11（其中j=1,2、、、24）。在程序中分別用1到24的數(shù)字表示。（2）天氣的數(shù)據(jù)處理：<1>氣象數(shù)據(jù)的理解數(shù)據(jù)附件4其部分數(shù)據(jù)如下表表1-1日期W/m21月1日1月1日1月1日

5月16日5月16日

12

19.20.23U1n3252

875587568759inU119.44

0.000.000.0012

19.20.23U1n3252

875587568759inU119.44

0.000.000.00n0.00

0.000.000.0059.72

0.000.000.00

12月31日12月31日12月31日<2>氣象數(shù)據(jù)處理方法

<3>氣象數(shù)據(jù)處理結(jié)果

4、確定逆變器與電池組件對應關(guān)系（1）判斷并聯(lián)的支路情況考慮到并聯(lián)的光伏組件端電壓相差不應超過10%，所以我們在并聯(lián)時只考慮并聯(lián)的各個支路的電池組件數(shù)量相等的情況。如下對其作解釋

端電壓相差：%（n>1，n>i>0。且i，n都為整數(shù)）

故當i=0時，端電壓相差的取得最小值，即%。而又要求%<10%，

即可得n>10。而可以從附件3、5的數(shù)據(jù)的同時滿足電壓和功率要求的只能是n<10。所以我們可以不考慮并聯(lián)電路的各個支路電路不等的情況（1）確定電池組件陣列方式根據(jù)附件1中所說的電池組塊與逆變器的電壓和功率關(guān)系通過如下圖1所示的程序流程圖得出只是串聯(lián)的電池組件組成的電池與逆變器之間的聯(lián)系：

其中i，j，n的初值為1，i++和j++表示他們自加1。Y表示上述命題成立，N表示上述命題不成立。根據(jù)上述程序流程圖可以得出只是串聯(lián)的陣列方式，再通過上述的流程圖用（去掉比較電壓）可以得出光伏電池組件部分陣列方式如下表所示：5、太陽光輻照的有效面積的計算由于給定的給定小屋的外觀尺寸圖地理方位四面分別面向正東、正南、正西、正北，所以這些面的法線方向正好是大同市的氣象數(shù)據(jù)：東向總輻射強度、南向總輻射強度、西向總輻射強度、北向總輻射強度的方向。故其面的，而屋頂與地平面成一定的夾角，如果直接用一下公式計算

由于地球時時刻刻是運動的，如果利用上述公式角度是不變的，在這里有將引入部分能概念

1、太陽時t

15t12(1)23.45sin(3)sincoscos度,2284n15t12(1)23.45sin(3)sincoscos度,2284n度,365(2)處為12:00。鐘表所指的時間也稱為平太陽時（簡稱為平時），我國采用東經(jīng)120度經(jīng)圈上的平太陽時作為全國的標準時間，即“北京時間”。（注：大同的經(jīng)度為

11318'）。（該定義摘自《太陽能應用技術(shù)》的第二章——太陽輻射）

2、時角

時角是以正午12點為0度開始算，每一小時為15度，上午為負下午為正，即10點和14點分別為-30度和30度。因此，時角的計算公式為

s其中t為太陽時（單位：小時）。（該定義摘自《太陽能應用技術(shù)》的第二章——s太陽輻射）3、赤緯角赤緯角也稱為太陽赤緯，即太陽直射緯度，其計算公式近似為

其中n為日期序號，例如，1月1日為n1，3月22日為n81。（該定義摘自《太陽能應用技術(shù)》的第二章——太陽輻射）1.太陽高度角太陽高度角是太陽相對于地平線的高度角，這是以太陽視盤面的幾何中心和理想地平線所夾的角度。太陽高度角可以使用下面的算式，經(jīng)由計算得到很好的近似值：sinsinsincoscoscos,

其中為太陽高度角，為時角，為當時的太陽赤緯，為當?shù)氐木暥?大同的

緯度為40.1o)。（該定義摘自維基百科）

太陽方位角A。

太陽方位角是太陽在方位上的角度，它通常被定義為從北方沿著地平線順時針量度的角。它可以利用下面的公式，經(jīng)由計算得到良好的近似值，但是因為反正弦值，也就是xsin1y有兩個以上的解，但只有一個是正確的，所以必需小心的處理。sinA.(4)

下面的兩個公式也可以用來計算近似的太陽方位角，不過因為公式是使用余弦函

sincoscoscossinsincoscoscossincossinsinsincoscosAt時角來修正。當時角為負值時(上午)，方位角的角度小于180度，時角為正值時(下午)，方位角應該大于180度，即要取補角的值。cosA,(5)

cosA,(6)

其中為太陽的方位角，為太陽高度角，為時角，為當時的太陽赤緯，

為當?shù)氐牡乩砭暥?大同的緯度為40.1o)。（該定義摘自維基百科）

5.1.2問題一模型的建立根據(jù)附件1所描述的電池組件和逆變器之間的關(guān)系和電池組件的串并聯(lián)的要求根據(jù)逆變器的參數(shù)調(diào)整設計電池組件分組陣列串并聯(lián)的方式以滿足相應的輸出電壓和總功率，建立一個模型，找出能夠滿足逆變器和電池組件的連接方式和個數(shù)。1、算出只有串聯(lián)的情況的組合Pi=[6001200115223043504552033005610111102222011002200334455668338106482600026000]；Pj=[2153252002702452952653202102402802952501005810090100448121250]；Uj=[46.146.9146.138.137.7345.9237.9145.9833.636.944.845.137.8313862.399115.410026.712.626.726.726.755]；V1i=[21214242424299999999180180180180180180250330]；V2i=[323264646464150150150150300300300300300300800800]；通過用程序?qū)懗龃?lián)關(guān)系的電池組件與逆變器的組合關(guān)系如下所示再根據(jù)串聯(lián)找出并聯(lián)的的組合

5.1.3問題一模型的求解根據(jù)題目要求（小屋的全年太陽能光伏發(fā)