廣東省廣州市重點(diǎn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末-數(shù)學(xué)試題

2021-2022學(xué)年度第二學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)本試卷為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1.答卷前，請(qǐng)考生務(wù)必把自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效。3.考試結(jié)束后，將答題卡交回。一、單選題：共8小題，每小題3分，共24分。每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意1．復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），則（

）A． B．2 C． D．52．設(shè)全集，，則為（

）A． B． C． D．3．某中學(xué)高二年級(jí)共有學(xué)生2400人，為了解他們的身體狀況，用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為80的樣本，若樣本中共有男生42人，則該校高二年級(jí)共有女生A．1260 B．1230 C．1200 D．11404．在空間中，下列說法正確的是（

）A．垂直于同一直線的兩條直線平行 B．垂直于同一直線的兩條直線垂直C．平行于同一平面的兩條直線平行 D．垂直于同一平面的兩條直線平行5．有位男生和位女生在周日去參加社區(qū)志愿活動(dòng)，從該位同學(xué)中任取人，至少有名女生的概率為（

）A． B． C． D．6．如圖所示，中，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，E是線段AD的靠近A的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．7．若正實(shí)數(shù)滿足，則的（

）A．最大值為9 B．最小值為9C．最大值為8 D．最小值為88．隨著社會(huì)的發(fā)展，人與人的交流變得廣泛，信息的拾取、傳輸和處理變得頻繁，這對(duì)信息技術(shù)的要求越來越高，無線電波的技術(shù)也越來越成熟．其中電磁波在空間中自由傳播時(shí)能量損耗滿足傳輸公式：，其中D為傳輸距離，單位是km，F(xiàn)為載波頻率，單位是MHz，L為傳輸損耗（亦稱衰減），單位為dB．若載波頻率增加了1倍，傳輸損耗增加了18dB，則傳輸距離增加了約（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍二、多選題：每題有兩個(gè)或者兩個(gè)以上正確答案，每題3分，少選得1分，共12分9．某籃球運(yùn)動(dòng)員8場(chǎng)比賽中罰球次數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分別為：2，6，8，3，3，4，6，8，關(guān)于該組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A.中位數(shù)為3B.眾數(shù)為3，6，8C.平均數(shù)為5D.方差為4.7510．如圖所示，在正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，其中正確的結(jié)論為A．直線與是相交直線； B．直線與是平行直線；C．直線與是異面直線： D．直線與所成的角為.11．已知甲罐中有四個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，4；乙罐中有五個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，5，6，現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5”，事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積大于8”，則（

）A．事件發(fā)生的概率為B．事件發(fā)生的概率為C．事件發(fā)生的概率為D．從甲罐中抽到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率為12．定義平面向量的一種運(yùn)算“”如下：對(duì)任意的兩個(gè)向量，，令，下面說法一定正確的是（

）A．對(duì)任意的，有B．存在唯一確定的向量使得對(duì)于任意向量，都有成立C．若與垂直，則與共線D．若與共線，則與的模相等三、填空題：本大題共4小題，每小題3分，滿分12分。13．已知，，向量，的夾角為，則______.14．已知復(fù)數(shù)，(其中i為虛數(shù)單位)，且是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)t等于________．15．在△ABC中，已知，最大邊與最小邊的比為，則該三角形中最大角的正切值是__________．16．在梯形中，，將沿折起，連接，得到三棱錐，則三棱錐體積的最大值為__________．此時(shí)該三棱錐的外接球的表面積為__________．四、解答題：本大題共6小題，滿分52分。17．已知的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.（1）求B；（2）設(shè)，，求c.18．某校高二年級(jí)一個(gè)班有60名學(xué)生，將期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）分成六段：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，(1)求的值；(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，已知甲同學(xué)的成績(jī)?cè)?，乙同學(xué)的成績(jī)?cè)?，求甲乙至少一人被抽到的概率?9．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面ABC，，D為AC的中點(diǎn)，，.(1)求證：平面；(2)求三棱柱的表面積20．已知，，與的夾角為，函數(shù)．(1)求函數(shù)最小正周期和對(duì)稱中心；(2)若銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，求的取值范圍．21．已知平面四邊形，，，，現(xiàn)將沿邊折起，使得平面平面，此時(shí)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若為的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值；(3)在（2）的條件下，求二面角的平面角的余弦值.22．定義在Ｄ上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說明理由；（2）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若，函數(shù)在上的上界是，求的取值范圍.參考答案：1．A，根據(jù)復(fù)數(shù)的模代入計(jì)算．【詳解】∵，則故選：A．2．A根據(jù)全集求出的補(bǔ)集即可.【詳解】，，.故選：A.3．D由分層抽樣方法列方程求解即可．【詳解】設(shè)女生總?cè)藬?shù)為：人，由分層抽樣的方法可得：抽取女生人數(shù)為：人，所以，解得：故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣方法中的比例關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．4．D根據(jù)空間中線、面的位置關(guān)系理解判斷A、B、C，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷D．【詳解】垂直于同一直線的兩條直線的位置關(guān)系有：平行、相交和異面，A、B不正確；平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系有：平行、相交和異面，C不正確；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知：D正確；故選：D．5．D將位男生分別記為、、，位女生分別記為、，列舉出所有的基本事件，并確定事件“從這位同學(xué)中任取人，至少有名女生”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】將位男生分別記為、、，位女生分別記為、，從這位同學(xué)中任取人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共種，其中，事件“從這位同學(xué)中任取人，至少有名女生”包含的基本事件有：、、、、、、、、，共種，因此，所求概率為.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列舉法；（2）列表法；（3）樹狀圖法；（4）排列、組合數(shù)的應(yīng)用.6．A根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，E是線段AD的靠近A的三等分點(diǎn)，所以,故選：A7．B8．C由題，由前后兩傳輸公式做差，結(jié)合題設(shè)數(shù)量關(guān)系及對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可得出結(jié)果【詳解】設(shè)是變化后的傳輸損耗，是變化后的載波頻率，是變化后的傳輸距離，則，，，則，即，從而，即傳輸距離增加了約3倍BCD解析：將得分按從小到大順序排序，排在中間位置的為4和6，故中位數(shù)為5，所以A錯(cuò)誤；其他依次類推，根據(jù)定義即可求解。10．CD【解析】根據(jù)圖形及異面直線的定義，異面直線所成的角判斷即可.【詳解】結(jié)合圖形，顯然直線與是異面直線，直線與是異面直線，直線與是異面直線，直線與所成的角即直線與所成的角,在等邊中，所以直線與所成的角為,綜上正確的結(jié)論為CD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線，異面直線所成的角，屬于中檔題.11．BC根據(jù)題意，分別列舉出事件和事件所包含的基本事件，再逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，共包含個(gè)基本事件；“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5”包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共個(gè)基本事件；“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積大于8”包含的基本事件有：，，，，，，，，共個(gè)基本事件；即事件是事件的子事件；因此事件發(fā)生的概率為，故A錯(cuò)；事件包含的基本事件個(gè)數(shù)為個(gè)，所以事件發(fā)生的概率為；故B正確；事件包含的基本事件個(gè)數(shù)為個(gè)，所以事件發(fā)生的概率為，故C正確；從甲罐中抽到標(biāo)號(hào)為2的小球，包含的基本事件為：，，，，共個(gè)基本事件，故從甲罐中抽到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率為，即D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題主要考查求古典概型的概率，考查求并事件和交事件的概率，屬于基礎(chǔ)題型.12．AD由表示出和，即可判斷A；假設(shè)存在唯一確定的向量使得對(duì)于任意向量，都有成立，即方程組，對(duì)任意恒成立，解方程可判斷B；若與垂直，則，設(shè)，分別表示出與即可判斷C；若與共線，則，設(shè)，分別表示出與即可判斷D.【詳解】設(shè)向量，，對(duì)于A，對(duì)任意的，有，故A正確；對(duì)于B，假設(shè)存在唯一確定的向量使得對(duì)于任意向量，都有成立，即恒成立，即方程組，對(duì)任意恒成立，而此方程組無解，故B不正確；對(duì)于C，若與垂直，則，設(shè)，則，，其中，故C不正確；對(duì)于D，若與共線，則，設(shè)，，，所以與的模相等，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題在平面向量的基礎(chǔ)上，加以創(chuàng)新，屬于創(chuàng)新題，考查平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)以及分析問題、解決問題的能力.13．1【詳解】.14．；【詳解】為實(shí)數(shù)，則.解析：不妨設(shè)a為最大邊，c為最小邊，由題意有，即，整理得，16．

注意到三棱錐體積最大時(shí)，平面平面ABC，可知以B為頂點(diǎn)時(shí)，BC為三棱錐的高，然后利用正余弦定理可得各棱長(zhǎng)可得體積；利用球心到平面的距離、外接圓半徑和球的半徑滿足勾股定理可得球半徑，然后可得表面積.【詳解】過點(diǎn)C作，垂足為E，為等腰梯形，，由余弦定理得，即易知，當(dāng)平面平面ABC時(shí)，三棱錐體積最大，此時(shí)，平面易知，記O為外接球球心，半徑為R平面，O到平面的距離又的外接圓半徑故答案為：，17．（1）；（2）.（1）由題設(shè)，根據(jù)正弦定理得，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)得，即可求B；（2）由余弦定理，結(jié)合已知條件列方程，即可求c.【詳解】（1）由正弦定理得：，而，∴，又，，∴，又，即.（2）由余弦定理，即，∴，解得.18．(1)(2)（1）利用頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形面積之和為1即可求出的值；（2）設(shè)甲被抽到的事件為，乙被抽到的事件為，求出相應(yīng)的概率，然后可以根據(jù)對(duì)立事件求解．(1)解：由題意可得，解得；(2)解：因?yàn)榭傮w共60名學(xué)生，樣本容量為20，因此抽樣比為．其中分?jǐn)?shù)段有人，分?jǐn)?shù)段有人，所以在分?jǐn)?shù)段中抽取人，分?jǐn)?shù)段抽取人，設(shè)甲被抽到的事件為，乙被抽到的事件為，則，，則甲乙至少一人被抽到的概率為．19．(1)證明見解析(2)（1）連接交于點(diǎn)，連接，可證得∥，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論，（2）由已知條件可得三個(gè)側(cè)面是矩形，兩個(gè)底面為直角三角形，然后根據(jù)已知的數(shù)據(jù)可求得答案(1)證明：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)椋珼為AC的中點(diǎn)，所以∥，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?2)因?yàn)閭?cè)棱底面ABC，所以三棱柱為直三棱柱，所以側(cè)面均為矩形，因?yàn)椋缘酌婢鶠橹苯侨切?，因?yàn)?，，所?所以三棱柱的表面積為20．(1)最小正周期為；對(duì)稱中心為(2)（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和的正弦公式得到，再根據(jù)計(jì)算得到的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）由（1）及求出，再由正弦定理將邊化角及三角恒等變換公式化簡(jiǎn)得到，最后根據(jù)三角形為銳角三角形求出的范圍，從而求出的范圍，即可得解；(1)解：由條件可知：，，∴，∴的最小正周期為，令，，解得，，∴的對(duì)稱中心為；(2)解：由正弦定理得，由（1），而，得，∴，，解得，，又，可得，∵，∴，代入上式化簡(jiǎn)得：，又在銳角中，有，∴，∴，則有，∴21．(1)證明見解析；(2)；(3).（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一定理及線面垂直的性質(zhì)定理，再利用線面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的判定定理即可求解；（2）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定定理，再利用線面角的定義及勾股定理，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義即可求解；（3）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定定理，再利用面面角的定義及勾股定理，結(jié)合等面積法及銳角三角函數(shù)的定義即可求解；(1)因?yàn)樗詾榈冗吶切危驗(yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以.取的中點(diǎn)，連接，，則，因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫嫫矫嫫矫妫云矫?，又平面，所以因?yàn)槠矫嫠云矫嬉驗(yàn)槠矫嫠杂忠驗(yàn)槠矫妫云矫?(2)過點(diǎn)作，垂足為.如圖所示由（1）知，平面.因?yàn)槠矫?，所以，所以平面，所以為與平面所成角.由（1）知，平面平面，所以.在中，，,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.在中，，在中，，在中，，所以.所以與平面所成角的正弦值為.(3)取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以,由（1）知，平面，所以平面，平面.所以.過點(diǎn)作,垂足為，連接,,平面,所以平面.平面.所以，所以為二面角的平面角.在中，，由（1）知，為等邊三角形，為線段的中點(diǎn)，所以由（1）知，平面.平面.所以,在中，,由（2）知，即，解得.因?yàn)槠矫?平面.所以.在中，..所以二面角的平面角的余弦值為.22．（1）值域?yàn)?，不是有界函?shù)，理由見解析；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，的取值范圍是.（1）當(dāng)時(shí)，確定在給定區(qū)間上的單調(diào)性即可求得其值域，再由給出的定義判斷得解；（2）在給定條件下可得，去絕對(duì)值符號(hào)，分離參數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可得解；（3）根據(jù)給定條件求出在上的最大值與最小值，再分段比較的最大值絕對(duì)值與最小值絕