2022年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市老房身中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2022年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市老房身中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)，其中，，記函數(shù)滿足條件：為事件，則事件發(fā)生的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組，則的最小值為()A．－13

B．－15

C．－1

D．7參考答案：B3.記集合A={x|x+2＞0}，B={y|y=cosx，x∈R}則A∪B=（）A．[﹣1.1] B．（﹣2，1] C．（﹣2，+∞） D．（﹣1，1]參考答案：C【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算．【分析】先分別求出集合A，B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x+2＞0}={x|x＞﹣2}，B={y|y=cosx，x∈R}={y|﹣1≤y≤1}，∴A∪B={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞）．故選：C．4.2010年，我國(guó)南方省市遭遇旱澇災(zāi)害，為防洪抗旱，某地區(qū)大面積植樹(shù)造林，如圖，在區(qū)域內(nèi)植樹(shù)，第一棵樹(shù)在點(diǎn)，第二棵樹(shù)在點(diǎn)，第三棵樹(shù)在點(diǎn)，第四棵樹(shù)在點(diǎn)，接著按圖中箭頭方向，每隔一個(gè)單位種一顆樹(shù)，那么，第2011棵樹(shù)所在的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A.；

B.；

C.；

D.參考答案：A略5.已知橢圓，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】設(shè)，，并且根據(jù)橢圓定義和焦半徑的范圍可知，且，所求式子變形為，再根據(jù)的范圍求值域.【詳解】由題意可知，設(shè)，，，且，，，，的范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義和與焦半徑有關(guān)范圍的計(jì)算，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.6.已知正三棱柱ABC－的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB＝3，＝2，則球O的體積為

A．

B．

C．

D．參考答案：C略7.

（2012·哈爾濱第六中學(xué)三模）直線

與圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則△EOF（O是原點(diǎn)）的面積為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D因?yàn)閳A心到直線的距離為，則，又原點(diǎn)到直線的距離為，所以.8.下列說(shuō)法不正確的是(

)A．函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過(guò)B．函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是：C．若，，則D.命題p:“”的否定形式為“參考答案：C9.已知集合A={0，1，2，3，4}，集合B={x|x=2n，n∈A}，則A∩B=（）A．{0} B．{0，2，4} C．{2，4} D．{0，2}參考答案：B【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】根據(jù)題意求出集合B，再根據(jù)交集的定義寫出A∩B．【解答】解：集合A={0，1，2，3，4}，集合B={x|x=2n，n∈A}={0，2，4，6，8}，則A∩B={0，2，4}．故選：B．10.如圖，點(diǎn)M，N分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)A，M，N和點(diǎn)D，N，C1的兩個(gè)截面截去正方體的兩個(gè)角后得到的幾何體的正（主）視圖、側(cè)（左）視圖、俯視圖依次為（）A．①③④

B.②④③

C.①②③

D．②③④參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量=（，1），=（0，-1），=（k，）.若與共線，則k=______________.參考答案：k=112.已知向量，滿足，（﹣）⊥，向量與的夾角為．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．【分析】由題意可得（）?=﹣=0，再利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求得cos＜＞的值，即可求得向量與的夾角．【解答】解：由題意可得（）?=﹣=0，即1﹣1××cos＜＞=0，解得cos＜＞=．再由＜＞∈[0，π]，可得＜＞=，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．13.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若成等差數(shù)列，且，則的值為

．參考答案：14.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)M(b，a)，O為坐

標(biāo)原點(diǎn)，若直線OM與直線垂直，垂足為M,則=__________．參考答案：15.二次方程(1-i)x2+(l+i)x+(1+il)=0(i為虛數(shù)單位，l?R)有兩個(gè)虛根的充分必要條件是l的取值范圍為_(kāi)_______．參考答案：2解：即此方程沒(méi)有實(shí)根的條件．當(dāng)λ∈R時(shí)，此方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)根，若其有實(shí)根，則x2+λx+1=0，且x2－x－λ=0．相減得(λ+1)(x+1)=0．當(dāng)λ=－1時(shí)，此二方程相同，且有兩個(gè)虛根．故λ=－1在取值范圍內(nèi)．當(dāng)λ≠－1時(shí)，x=－1，代入得λ=2．即λ=2時(shí)，原方程有實(shí)根x=－1．故所求范圍是λ≠2．16.在△ABC中，分別為角A，B，C的對(duì)邊，若垂直且，當(dāng)△ABC面積為時(shí)，則b等于（

）A．

B．4

C．

D．2參考答案：D17.雙曲線﹣y2=1的焦距是

，漸近線方程是

．參考答案：2,y=±x.【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】確定雙曲線中的幾何量，即可求出焦距、漸近線方程．【解答】解：雙曲線=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，漸近線方程是y=±x．故答案為：2；y=±x．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x2，g（x）=elnx．（Ⅰ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m，對(duì)x∈R恒成立，且g（x）≤kx+m，對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”，試問(wèn)：f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）在定義域內(nèi)解不等式F′（x）＞0，F(xiàn)′（x）＜0可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）由（I）可知，當(dāng)x=時(shí)，F(xiàn)（x）取得最小值F（）=0，則f（x）與g（x）的圖象在x=處有公共點(diǎn)（，）．假設(shè)f（x）與g（x）存在“分界線”，則其必過(guò)點(diǎn)（，）．故設(shè)其方程為：y﹣=k（x﹣），由f（x）≥kx+﹣k對(duì)x∈R恒成立，可求得k=，則“分界線“的方程為：y=．只需在證明g（x）≤對(duì)x∈（0，+∞）恒成立即可；【解答】解：（I）由于函數(shù)f（x）=，g（x）=elnx，因此，F(xiàn)（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣elnx，則F′（x）=x﹣==，x∈（0，+∞），當(dāng)0＜x＜時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，∴F（x）在（0，）上是減函數(shù)；當(dāng)x＞時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，∴F（x）在（，+∞）上是增函數(shù)；因此，函數(shù)F（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，），單調(diào)增區(qū)間是（，+∞）．（II）由（I）可知，當(dāng)x=時(shí)，F(xiàn)（x）取得最小值F（）=0，則f（x）與g（x）的圖象在x=處有公共點(diǎn)（，）．假設(shè)f（x）與g（x）存在“分界線”，則其必過(guò)點(diǎn)（，）．故設(shè)其方程為：y﹣=k（x﹣），即y=kx+﹣k，由f（x）≥kx+﹣k對(duì)x∈R恒成立，則對(duì)x∈R恒成立，∴=4k2﹣8k+4e=e（k﹣）2≤0成立，因此k=，“分界線“的方程為：y=．下面證明g（x）≤對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，設(shè)G（x）=elnx﹣x+，則G′（x）==，∴當(dāng)0＜x＜時(shí)，G′（x）＞0，當(dāng)x＞時(shí)，G′（x）＜0，當(dāng)x=時(shí)，G（x）取得最大值0，則g（x）≤x對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，故所求“分界線“的方程為：y=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值及恒成立問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，探究性題目往往先假設(shè)成立，再做一般性證明．19.已知不等式的解集為{x|x<1或x>b}.(1)求a,b;(2)解不等式bc<0.參考答案：解:(1)因?yàn)椴坏仁降慕饧癁閧x|x<1或x>b},所以x=1與x=b是方程3x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且b>1.由根與系數(shù)的關(guān)系,得

解得

所以

(2)原不等式bc<0,可化為2c<0,即(x-2)(x-c)<0.①當(dāng)c>2時(shí),不等式(x-2)(x-c)<0的解集為{x|2<x<c};②當(dāng)c<2時(shí),不等式(x-2)(x-c)<0的解集為{x|c<x<2};③當(dāng)c=2時(shí),不等式(x-2)(x-c)<0的解集為.綜上所述:當(dāng)c>2時(shí),不等式bc<0的解集為{x|2<x<c};當(dāng)c<2時(shí),不等式bc<0的解集為{x|c<x<2};當(dāng)c=2時(shí),不等式bc<0的解集為.20.（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=1﹣，其中n∈N*．（Ⅰ）設(shè)bn=，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式an；（Ⅱ）設(shè)Cn=，數(shù)列{CnCn+2}的前n項(xiàng)和為Tn，是否存在正整數(shù)m，使得Tn＜對(duì)于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列與不等式的綜合．【分析】（Ⅰ）利用遞推公式即可得出bn+1﹣bn為一個(gè)常數(shù)，從而證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到bn，進(jìn)而得到an；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，利用“裂項(xiàng)求和”即可得到Tn，要使得Tn＜對(duì)于n∈N*恒成立，只要，即，解出即可．【解答】（Ⅰ）證明：∵bn+1﹣bn====2，∴數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列，又=2，∴bn=2+（n﹣1）×2=2n．∴2n=，解得．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，∴cncn+2==，∴數(shù)列{CnCn+2}的前n項(xiàng)和為Tn=…+=2＜3．要使得Tn＜對(duì)于n∈N*恒成立，只要，即，解得m≥3或m≤﹣4，而m＞0，故最小值為3．【點(diǎn)評(píng)】正確理解遞推公式的含義，熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、等價(jià)轉(zhuǎn)化等方法是解題的關(guān)鍵．21.質(zhì)檢部門從某超市銷售的甲、乙兩種食用油中分劃隨機(jī)抽取100桶檢測(cè)某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，由檢測(cè)結(jié)果得到如圖的頻率分布直方圖：（I）寫出頻率分布直方圖（甲）中a的值；記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質(zhì)量指標(biāo)的方差分別為s12，s22，試比較s12，s22的大?。ㄖ灰髮懗龃鸢福唬á颍┕烙?jì)在甲、乙兩種食用油中隨機(jī)抽取1捅，恰有一個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20，且另一個(gè)不大于20的概率；（Ⅲ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，乙種食用油的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N（μ，δ2）．其中μ近似為樣本平均數(shù)，δ2近似為樣本方差s22，設(shè)X表示從乙種食用油中隨機(jī)抽取lO桶，其質(zhì)量指標(biāo)值位于（14.55，38.45）的桶數(shù)，求X的散學(xué)期望．注：①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)問(wèn)的中點(diǎn)值作代表，計(jì)算得s2=≈11.95；②若Z﹣N（μ，δ2），則P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．參考答案：【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）按照題目要求想結(jié)果即可．（Ⅱ）設(shè)事件A，事件B，事件C，求出P（A），P（B），P（C）即可；（Ⅲ）求出從乙種食用油中隨機(jī)抽取lO桶，其質(zhì)量指標(biāo)值位于（14.55，38.45）的概率是0.6826，得到X～B（10，0.6826），求出EX即可．【解答】解：（Ⅰ）a=0.015，s12＞s22；（Ⅱ）設(shè)事件A：在甲種食用油中隨機(jī)抽取1捅，其質(zhì)量指標(biāo)不大于20，事件B：在乙種食用油中隨機(jī)抽取1捅，其質(zhì)量指標(biāo)不大于20，事件C：在甲、乙兩種食用油中隨機(jī)抽取1捅，恰有一個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20，且另一個(gè)不大于20，則P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3，∴P（C）=P（）P（B）+P（A）P（）=0.42；（Ⅲ）計(jì)算得：=26.5，由條件得Z～N（26.5，142.75），從而P（26.5﹣11.95＜Z＜26.5+11.95）=0.6826，∴從乙種食用油中隨機(jī)抽取lO桶，其質(zhì)量指標(biāo)值位于（14.55，38.45）的概率是0.6826，依題意得X～B（10，0.6826），∴EX=10×0.6826=6.826．22.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，，，且二面角與二面角都是30°.（1）證明：AF⊥平面EFDC；（2）求直線BF與平面BCE所成角的正弦值.參考答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）推導(dǎo)出AF⊥DF，AF⊥FE，由線面垂直的判定定理即可證明AF⊥平面EFDC．（2）過(guò)D作DG⊥EF，由DG⊥平面ABEF，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，||為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系G﹣xyz，利用向量法求出平面BCE的法向量，則可