山東省臨沂市金城中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山東省臨沂市金城中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)y=2﹣x2﹣x3的極值情況是（）A．有極大值，沒有極小值 B．有極小值，沒有極大值C．既無極大值也無極小值 D．既有極大值又有極小值參考答案：D【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】由已知得y′=﹣2x﹣3x2，令y′=0，得x=0或x=﹣，由此能求出函數(shù)y=2﹣x2﹣x3既有極大值又有極小值．【解答】解：∵y=2﹣x2﹣x3，∴y′=﹣2x﹣3x2，由y′=0，得x=0或x=﹣，x∈（﹣∞，﹣）時(shí)，y′＞0；x∈（﹣，0）時(shí)，y′＜0；x∈（0，+∞）時(shí)，y′＞0，∴函數(shù)y=2﹣x2﹣x3的增區(qū)間是（﹣∞，﹣），（0，+∞）；減區(qū)間是（﹣），∴函數(shù)y=2﹣x2﹣x3既有極大值又有極小值．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實(shí)數(shù)的極值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運(yùn)用．2.若“”為真命題，則下列命題一定為假命題的是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D3.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（，）的過程中，由變到時(shí)，左邊增加了（

）A．1項(xiàng)

B．k項(xiàng)

C.項(xiàng)

D．項(xiàng)參考答案：D時(shí)左面為，時(shí)左面為，所以增加的項(xiàng)數(shù)為

4.在等比數(shù)列中，是它的前項(xiàng)和，若，且與的等差中項(xiàng)為，則

A

B

C

D參考答案：A5.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C略6.已知、為橢圓上的兩點(diǎn)，，為其兩焦點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，則的周長為（

）． A． B． C． D．參考答案：D解：橢圓為，∴，．故選．7.經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.或 B.或C.或 D.或參考答案：D【分析】由于點(diǎn)在第四象限，故拋物線可能開口向右，也可能開口向上．故可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，把點(diǎn)代入方程可得或者的值，即得拋物線方程．【詳解】由于點(diǎn)在第四象限，故拋物線可能開口向右，也可能開口向上．故可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，或，把點(diǎn)代入方程可得或，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程或，故選D?！军c(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，考查計(jì)算能力，是簡單題。8.已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】先明確是一個(gè)幾何概型中的長度類型，然后求得事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的線段長度，再利用兩者的比值即為發(fā)生的概率，從而求出．【解答】解：記“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”為事件M，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的長度即為線段CD，構(gòu)成事件M的長度為線段CD其一半，根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)PD=CD時(shí)，AB=PB，如圖．設(shè)CD=4x，則AF=DP=x，BF=3x，再設(shè)AD=y，則PB==，于是=4x，解得，從而．故選D．9.若拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：B略10.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1000次，那么第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】等可能事件的概率．【分析】簡化模型，只考慮第999次出現(xiàn)的結(jié)果，有兩種結(jié)果，第999次出現(xiàn)正面朝上只有一種結(jié)果，即可求【解答】解：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，只考慮第999次，有兩種結(jié)果：正面朝上，反面朝上，每中結(jié)果等可能出現(xiàn)，故所求概率為故選D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.319，377，116的最大公因數(shù)是_____.參考答案：2912.函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）處的切線的斜率分別是kA，kB，規(guī)定φ（A，B）=叫曲線y=f（x）在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”，給出以下命題：（1）函數(shù)y=x3﹣x2+1圖象上兩點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為1，2，則φ（A，B）＞；（2）存在這樣的函數(shù)，圖象上任意兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù)；（3）設(shè)點(diǎn)A、B是拋物線，y=x2+1上不同的兩點(diǎn)，則φ（A，B）≤2；（4）設(shè)曲線y=ex上不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t?φ（A，B）＜1恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（﹣∞，1）；以上正確命題的序號(hào)為（寫出所有正確的）參考答案：（2）（3）【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】由新定義，利用導(dǎo)數(shù)逐一求出函數(shù)y=x3﹣x2+1、y=x2+1在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”判斷（1）、（3）；舉例說明（2）正確；求出曲線y=ex上不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）之間的“彎曲度”，然后結(jié)合t?φ（A，B）＜1得不等式，舉反例說明（4）錯(cuò)誤．【解答】解：對(duì)于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x，則，，y1=1，y2=5，則，φ（A，B）=，（1）錯(cuò)誤；對(duì)于（2），常數(shù)函數(shù)y=1滿足圖象上任意兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù)，（2）正確；對(duì)于（3），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），y′=2x，則kA﹣kB=2x1﹣2x2，==．∴φ（A，B）==，（3）正確；對(duì)于（4），由y=ex，得y′=ex，φ（A，B）==．t?φ（A，B）＜1恒成立，即恒成立，t=1時(shí)該式成立，∴（4）錯(cuò)誤．故答案為：（2）（3）．13.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第

象限．參考答案：四【考點(diǎn)】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求出復(fù)數(shù)z=的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)得答案．【解答】解：∵z==，∴，∴復(fù)數(shù)z=的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（），位于第四象限．故答案為：四．14.已知函數(shù)的定義域是，，若對(duì)任意，則不等式的解集為

.參考答案：試題分析：令函數(shù),則不等式可等價(jià)轉(zhuǎn)化為.因,故函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),而,所以原不等式可化為,故,應(yīng)填.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性等基本性質(zhì)的綜合運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題先構(gòu)造函數(shù),再運(yùn)用題設(shè)條件及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系判斷出函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),然后運(yùn)用假設(shè)算出,進(jìn)而將不等式從進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為,最后借助函數(shù)的單調(diào)性,使得問題簡捷巧妙地獲解.15.楊輝三角，又稱帕斯卡三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)展開式的系數(shù)規(guī)律.現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：.記作數(shù)列{an}，若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則___.參考答案：2059【分析】將數(shù)列排列成楊輝三角數(shù)陣，使得每行的項(xiàng)數(shù)與行的相等，并計(jì)算出每行的各項(xiàng)之和，然后確定數(shù)列第所處的行數(shù)與項(xiàng)的序數(shù)，然后利用規(guī)律將這些項(xiàng)全部相加可得答案。【詳解】將數(shù)列中的項(xiàng)從上到下，從左到右排成楊輝三角形數(shù)陣，如下所示：使得每行的序數(shù)與該行的項(xiàng)數(shù)相等，則第行最后項(xiàng)在數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)為，設(shè)位于第，則，所以，，且第行最后一項(xiàng)在數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)為，所以，位于楊輝三角數(shù)陣的第行第個(gè)，第一行各項(xiàng)和為，第二行各項(xiàng)和為，第三行各項(xiàng)的和為，依此類推，第行各項(xiàng)的和為，因此，

，故答案為：。【點(diǎn)睛】本題考查合情推理，考查二項(xiàng)式系數(shù)與楊輝三角，解決這類問題關(guān)鍵在于確定所找的項(xiàng)所在楊輝三角所處的位置，并利用規(guī)律來解題，考查推理論證能力與計(jì)算能力，屬于難題。

16.將二進(jìn)制數(shù)101101(2)化為5進(jìn)制結(jié)果為

;參考答案：略17.如圖，在長方形中,,,為線段上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，使點(diǎn)在面上的射影在直線上，當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到時(shí)，則所形成軌跡的長度為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知點(diǎn)M（x,y）與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的比為2。（1）求點(diǎn)M的軌跡方程。（2）求的最值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（3）求的最值。參考答案：解析：19.已知雙曲線C：﹣y2=1，P是C上的任意點(diǎn)．（1）求證：點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)；（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，0），求|PA|的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)；IR：兩點(diǎn)間的距離公式．【分析】（1）設(shè)P（x0，y0），由點(diǎn)到直線距離公式，得P到兩準(zhǔn)線的距離之積滿足，再結(jié)合點(diǎn)P坐標(biāo)滿足雙曲線方程，代入化簡整理即可得到，命題得證．（2）由兩點(diǎn)的距離公式結(jié)合點(diǎn)P坐標(biāo)滿足雙曲線方程，化簡整理得|PA|2=，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出|PA|的最小值．【解答】解：（1）設(shè)P（x0，y0），P到兩準(zhǔn)線的距離記為d1，d2∵兩準(zhǔn)線為x﹣2y=0，x+2y=0…..2'∴…..4’又∵點(diǎn)P在曲線C上，∴=，得（常數(shù)）即點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)….6’（2）設(shè)P（x0，y0），由平面內(nèi)兩點(diǎn)距離公式得|PA|2=…8’∵，可得=∴|PA|2==…..9’又∵點(diǎn)P在雙曲線上，滿足|x0|≥2，∴當(dāng)x0=4時(shí)，|PA|有最小值，|PA|min=2….12’【點(diǎn)評(píng)】本題在雙曲線中，證明動(dòng)點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為常數(shù)并求距離最小值，著重考查了兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式和雙曲線的簡單性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．20.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，橢圓C與y軸交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=2．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且直線PA，PB與直線x=4分別交于M、N兩點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)（2，0）？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）運(yùn)用橢圓的離心率公式，以及a，b，c的關(guān)系，計(jì)算即可得到所求橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)P（m，n），可得+n2=1，可得A（0，1），B（0，﹣1），設(shè)M（4，s），N（4，t），運(yùn)用三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，求得M，N的坐標(biāo)，再由直徑所對(duì)的圓周角為直角，運(yùn)用垂直的條件：斜率之積為﹣1，計(jì)算即可求得m，檢驗(yàn)即可判斷是否存在．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得e==，2b=2，即b=1，又a2﹣c2=1，解得a=2，c=，即有橢圓的方程為+y2=1；（Ⅱ）設(shè)P（m，n），可得+n2=1，即有n2=1﹣，由題意可得A（0，1），B（0，﹣1），設(shè)M（4，s），N（4，t），由P，A，M共線可得，kPA=kMA，即為=，可得s=1+，由P，B，N共線可得，kPB=kNB，即為=，可得s=﹣1．假設(shè)存在點(diǎn)P，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)Q（2，0）．可得QM⊥QN，即有?=﹣1，即st=﹣4．即有[1+][﹣1]=﹣4，化為﹣4m2=16n2﹣（4﹣m）2=16﹣4m2﹣（4﹣m）2，解得m=0或8，由P，A，B不重合，以及|m|＜2，可得P不存在．21.（本小題滿分12分）設(shè)函