2021年山西省忻州市殿上中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2021年山西省忻州市殿上中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知A，B，C，D四點(diǎn)均在以點(diǎn)為球心的球面上，且，.若球在內(nèi)且與平面BCD相切，則球直徑的最大值為（

）A.1 B.2 C.4 D.8參考答案：D如圖所示:取CD的中點(diǎn)O,連接AO,BO,如圖，因?yàn)锽C=BD=，,所以因?yàn)椋訟O⊥CD,且AO=2，又因?yàn)镺D=4，BO=4，所以故AO⊥OB，又BO∩CD=O,所以AO⊥平面BCD,所以在AO上，連接,設(shè)則即解之得R=5，球的直徑最大時(shí)，球與平面BCD相切且與球內(nèi)切，A,O,四點(diǎn)共線，此時(shí)球的直徑為R+=8.故選D.點(diǎn)睛：本題是一個(gè)難題，只有通過計(jì)算，認(rèn)清以A,B,C,D為頂點(diǎn)的三棱錐的圖形特征，正確判斷球心的位置，借助方程求出球的半徑，直觀判斷球心的位置，才能迎刃而解.2.函數(shù)f（x）=+ln|x|的圖象大致為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=，由函數(shù)的單調(diào)性，排除CD；當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=，此時(shí)，代入特殊值驗(yàn)證，排除A，只有B正確，【解答】解：當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=，由函數(shù)y=、y=ln（﹣x）遞減知函數(shù)f（x）=遞減，排除CD；當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=，此時(shí)，f（1）==1，而選項(xiàng)A的最小值為2，故可排除A，只有B正確，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】題考查函數(shù)的圖象，考查同學(xué)們對函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的把握程度以及數(shù)形結(jié)合與分類討論的思維能力．3.設(shè)全集,，則圖中陰影部分表示的集合為（

）

A．

B．C．D．

參考答案：C分析：根據(jù)所給的文恩圖，看出陰影部分所表達(dá)的是要求B集合的補(bǔ)集與A集合的交集，整理兩個(gè)集合，求出B的補(bǔ)集，再求出交集解答：解：由文恩圖知陰影部分表示的是A∩CUB

∵A={x|2x（x-2）＜1}={x|0＜x＜2}，

B={x|y=ln（1-x）}={x|x＜1}，

∴陰影部分對應(yīng)的集合是{x|1≤x＜2}

故選．略4.下列命題中的假命題是（

）

A．

B．

C．

D．，使函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用.A2【答案解析】C解析：由指數(shù)函數(shù)的定義域和值域可知，x∈R，21﹣x＞0，選項(xiàng)A為真命題；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，2x＞1，，有．當(dāng)x=1時(shí)，．當(dāng)x＞1時(shí)，．∴x∈（0，+∞），2x＞，命題B為真命題；∵y=1.1x為底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)，y=x4為冪函數(shù)，∴x0∈R，當(dāng)x＞x0時(shí)，恒有1.1x＞x4，選項(xiàng)C為假命題；當(dāng)α為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)y=xα是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，選項(xiàng)D為真命題．故選：C．【思路點(diǎn)撥】由指數(shù)函數(shù)的定義域和值域判斷A；對x分類討論判斷B；由指數(shù)函數(shù)爆炸性判斷C；舉例說明D正確．5.函數(shù)的最小正周期為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A試題分析：因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期是，故選A．考點(diǎn)：1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；2、輔助角公式；3、三角函數(shù)的最小正周期．6.定義，已知。則

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B略7.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）所得的圖象解析式為，則

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B8.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，所得圖象關(guān)于直線對稱，則的最小正值為（）

A.

B.

C.

D.參考答案：B9.命題p：甲的數(shù)學(xué)成績不低于100分，命題q：乙的數(shù)字成績低于100分，則p∨（￢q）表示（）A．甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績都低于100分B．甲、乙兩人至少有一人數(shù)學(xué)成績低于100分C．甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績都不低于100分D．甲、乙兩人至少有一人數(shù)學(xué)成績不低于100分參考答案：D【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】根據(jù)命題p和￢q的意義，即可得到結(jié)論．【解答】解：∵命題p：甲的數(shù)學(xué)成績不低于100分，命題q：乙的數(shù)字成績低于100分∴命題￢q表示“乙的數(shù)字成績不低于100分”，∴命題（p）∨（￢q）表示甲、乙兩人至少有一人數(shù)學(xué)成績不低于100分，故選：D．10.右圖是函數(shù)的部分圖像，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A.

B.

C.

D.

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.記的展開式中第m項(xiàng)的系數(shù)為，若，則=__________.參考答案：【答案】5【解析】由得所以解得12.已知f（x）為定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，且f（x）＞xf′（x），則不等式的解集為．參考答案：{x|0＜x＜1}【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】常規(guī)題型．【分析】由已知當(dāng)x＞0時(shí)，總有f（x）＞xf′（x）成立，可判斷函數(shù)g（x）=為減函數(shù)，而不等式，由此得到不等式繼而求出答案．【解答】解：設(shè)g（x）=，則g′（x）=，∵f（x）＞xf′（x），∴xf′（x）﹣f（x）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，∵，x＞0，∴，∴，∴，∴0＜x＜1．故答案為：{x|0＜x＜1}．【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是證明g（x）為減函數(shù)，然后把要求的不等式變形，利用函數(shù)的單調(diào)性解決問題．13.如圖所示，一種樹形圖為：第一層是一條與水平線垂直的線段，長度為1，第二層在第一層線段的前端作兩條與其成135°角的線段，長度為其一半；第三層按第二層的方法在每一條線段的前端生成兩條與其成135°角的線段，長度為其一半．重復(fù)前面的作法作圖至第n層，設(shè)樹形的第n層的最高點(diǎn)至水平線的距離為第《層的樹形圖的總高度，則到第二層的樹形圖的總高度h2=_______，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，到第n層的樹形圖的總高度hn=________參考答案：14.設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：

15.如圖，點(diǎn)P是單位圓上的一個(gè)頂點(diǎn)，它從初始位置P0開始沿單位圓按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)角α（）到達(dá)點(diǎn)P1，然后繼續(xù)沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)P2，若點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)為，則cosα的值等于．參考答案：略16.已知，則

▲

.參考答案：略17.已知函數(shù)則不等式f（x）＞1的解集為．參考答案：（﹣1，）．【分析】根據(jù)題意，由f（x）＞1，變形可得①或②，解①②再取并集可得x的取值范圍，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)的解析式為，若不等式f（x）＞1，①或②，解①可得：﹣1＜x≤0，解②可得：0＜x＜，綜合可得：x的取值范圍：﹣1＜x＜，即（x）＞1的解集為（﹣1，）；故答案為：（﹣1，）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)F1、F2為其左，右焦點(diǎn)，直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t∈R)．

（Ⅰ）求直線和曲線C的普通方程；

（Ⅱ）求點(diǎn)F1、F2到直線的距離之和.參考答案：(Ⅰ)直線普通方程為

；

曲線的普通方程為．

(Ⅱ)∵,，∴點(diǎn)到直線的距離

點(diǎn)到直線的距離

∴

19.（本小題滿分12分）已知向量（為實(shí)數(shù)）．（I）時(shí)，若，求；（II）若，求的最小值，并求出此時(shí)向量在方向上的投影．參考答案：（I）,,,（4分）

得；（5分）（II）時(shí)，， （8分）當(dāng)時(shí)，， （10分）此時(shí)，在方向上的投影． （12分）20.菱形ABCD中，平面ABCD，，，（1）證明：直線平面；（2）求二面角的正弦值；（3）線段EC上是否存在點(diǎn)M使得直線EB與平面BDM所成角的正弦值為？若存在，求；若不存在，說明理由.參考答案：（1）證明見解析（2）（3）存在，【分析】（1）建立以為原點(diǎn)，分別以，（為中點(diǎn)），方向?yàn)檩S，軸，軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量，平面的法向量，證明向量垂直，得到線面平行；（2）利用空間向量法求出二面角的余弦值，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出正弦值；（3）設(shè)，則，利用空間向量求表示出線面角的正弦值，求出的值，得解.【詳解】解：建立以為原點(diǎn)，分別以，（為中點(diǎn)），的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，，，，，.（1）證明：，，設(shè)為平面的法向量，則，即，可得，又，可得，又因?yàn)橹本€平面，所以直線平面；（2），，，設(shè)為平面的法向量，則，即，可得，設(shè)為平面的法向量，則，即，可得，所以，所以二面角的正弦值為；（3）設(shè)，則，則，，設(shè)為平面的法向量，則，即，可得，由，得，解得或（舍），所以.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量法解決立體幾何中的問題，屬于中檔題.21.已知函數(shù)f（x）=，（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)g（x）=xf'（x），其中f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．證明：對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，確定當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，0＜＜1，即可證明結(jié)論．【解答】解：（1）求導(dǎo)數(shù)得f′（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＜0．又ex＞0，所以x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0；x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0．因此f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．證明：（2）因?yàn)間（x）=xf′（x）．所以g（x）=（1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞）．由h（x）=1﹣x﹣xlnx，求導(dǎo)得h′（x）=﹣lnx﹣2=﹣（lnx﹣lne﹣2），所以當(dāng)x∈（0，e﹣2）時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（e﹣2，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）≤h（e﹣2）=1+e﹣2．又當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，0＜＜1，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）＜1+e﹣2，即g（x）＜1+e﹣2．綜上所述，對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題的關(guān)鍵是靈活利用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行運(yùn)算及理解導(dǎo)數(shù)與要解決問題的聯(lián)系，此類題運(yùn)算量大，易出錯(cuò)，且考