2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽市東湖學(xué)校高一數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽市東湖學(xué)校高一數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在等比數(shù)列中，，則（

）A．；

B．；

C．；

D．。參考答案：B略2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A．y=x|x| B．y=﹣x3 C．y= D．y=sinx參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷．【分析】對選項(xiàng)一一判斷，運(yùn)用奇偶性定義和單調(diào)性的判斷，以及常見函數(shù)的性質(zhì)，即可得到所求結(jié)論．【解答】解：A，y=x|x|，定義域?yàn)镽，f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣f（x），為奇函數(shù)；且x≥0時(shí)，f（x）=x2遞增，由奇函數(shù)性質(zhì)可得f（x）在R上為增函數(shù)，正確；B，y=﹣x3，有f（﹣x）=﹣f（x），為奇函數(shù)，在R上為減函數(shù)；C，y=定義域?yàn)閧x|x≠0}，且為奇函數(shù)在（﹣∞，0），（0，+∞）為減函數(shù)；D，y=sinx定義域?yàn)镽，在R上不單調(diào)．故選：A．3.一個(gè)圓柱的軸截面是正方形，其側(cè)面積與一個(gè)球的表面積相等，那么這個(gè)圓柱的體積與這個(gè)球的體積之比為(

)A

3：2

B

3:1

C

2:3

D

4:3 參考答案：A4.如果A=，那么（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D5.設(shè)A={（x，y）|y=﹣4x+6}，B={（x，y）|y=5x﹣3}，則A∩B=（）A．{1，2} B．{（1，2）} C．{x=1，y=2} D．（1，2）參考答案：B【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算；兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．【專題】計(jì)算題．【分析】要求A∩B，即求方程組的解．【解答】解：A∩B={（x，y）|}={（x，y）|}={（1，2）}．故選B．【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，注意本題集合是點(diǎn)集．6.已知，，那么=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略7.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，滿足，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)題意可知方程有解即可，代入解析式化簡后，利用基本不等式得出，再利用分類討論思想即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】由題意知，方程有解，則，化簡得，即，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，化簡得，解得；當(dāng)時(shí)，化簡得，解得，綜上所述的取值范圍為．故答案為：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用，其中解答中利用題設(shè)條件化簡，合理利用基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．8.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上存在最小值的是(

)A．y=（x﹣1）2 B． C．y=2x D．y=log2x參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的值域．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再判斷函數(shù)能否取到最值的情況，從而得出結(jié)論．【解答】解：A、函數(shù)y=（x﹣1）2是開口向上的拋物線，又對稱軸為x=1，故當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取最小值，故選A；而B、C、D中的三個(gè)函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上都為增函數(shù)，而區(qū)間（0，+∞）為開區(qū)間，自變量取不到左端點(diǎn)，故函數(shù)都無最小值；故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)值域的求法，要求函數(shù)的值域應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再看函數(shù)是否能取到最值．9.已知直線l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，則a的值是（） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1參考答案：C【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系． 【專題】直線與圓． 【分析】利用直線垂直的性質(zhì)求解． 【解答】解：∵直線l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直， ∴a（2a﹣1）﹣a=0， 解得a=0或a=1． 故選：C． 【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線的位置關(guān)系的合理運(yùn)用． 10.下列五個(gè)寫法：①{0}∈{1，2，3}；②??{0}；③{0，1，2}?{1，2，0}；④0∈?；⑤0∩?=?，其中錯(cuò)誤寫法的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】集合的含義．【專題】閱讀型．【分析】據(jù)“∈”于元素與集合；“∩”用于集合與集合間；判斷出①⑤錯(cuò)，?是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判斷出②④的對錯(cuò)；據(jù)集合元素的三要素判斷出③對【解答】解：對于①，“∈”是用于元素與集合的關(guān)系故①錯(cuò)對于②，?是任意集合的子集，故②對對于③，集合中元素的三要素有確定性、互異性、無序性故③對對于④，因?yàn)?是不含任何元素的集合故④錯(cuò)對于⑤，因?yàn)椤墒怯糜诩吓c集合的關(guān)系的，故⑤錯(cuò)故選C【點(diǎn)評】本題考查集合部分的一些特定符號、一些特殊的集合、集合中元素的三要素．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)，若，則的值等于_______________.參考答案：12由已知可得：，故答案為.

12.在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=（n∈N*），則是這個(gè)數(shù)列的第

項(xiàng)．參考答案：613.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知△ABC的面積為3，b﹣c=2，cosA=﹣，則a的值為

．參考答案：8【考點(diǎn)】HR：余弦定理．【分析】由cosA=﹣，A∈（0，π），可得sinA=．利用S△ABC==，化為bc=24，又b﹣c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出．【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA==．∵S△ABC==bc=，化為bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．解得a=8．故答案為：8．14.設(shè)是的邊上任意一點(diǎn)，且，若，則

．參考答案：因?yàn)镸是△ABC邊BC上任意一點(diǎn),設(shè)，且m+n=1，

又=,所以.

15.設(shè)函數(shù)是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則=

．參考答案：16.若函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間[2，2b]，則b的取值為．參考答案：2【考點(diǎn)】函數(shù)的值域；函數(shù)的定義域及其求法．【分析】聯(lián)系二次函數(shù)圖象特點(diǎn)，注意函數(shù)在閉區(qū)間[2，2b]是單調(diào)增函數(shù)．【解答】解：函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸是x=2，∴函數(shù)在閉區(qū)間[2，2b]上是單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間[2，2b]∴x=2b時(shí)，函數(shù)有最大值2b，∴?4b2﹣2?2b+4=2b，∴b=1（舍去）或b=2，∴b的取值為2．17.若方程的一根在區(qū)間上，另一根在區(qū)間上，則實(shí)數(shù)的范圍

.參考答案：（-4，-2）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知全集為R，參考答案：解析：由已知

所以

解得，所以.由

解得.所以

于是

故19.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求f(x)的最小值；（2）設(shè)函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且，求a的取值范圍．參考答案：(1)－14；(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；（2）分段討論討論函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)的根的個(gè)數(shù)，函數(shù)在時(shí)，至多有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)在時(shí)，可能僅有一個(gè)零點(diǎn)，可能有兩個(gè)零點(diǎn)，分別求出的取值范圍，可得解．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為增函數(shù)，且；當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又由函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為；故當(dāng)時(shí)，最小值為．（2）因?yàn)楹瘮?shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以（ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，令得，因?yàn)闀r(shí)，，所以時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為且，此時(shí)需函數(shù)在時(shí)也恰有一個(gè)零點(diǎn)，令，即，得，令，設(shè)，，因?yàn)?，所以，，，?dāng)時(shí)，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減；而當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，所以要使在時(shí)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則需，要使函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且，設(shè)在時(shí)的零點(diǎn)為，則需，而當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，并且滿足；（ⅱ）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)，函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且滿足，也符合題意，而由（?。┛傻茫巩?dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)，則，要使函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則，但不能滿足，所以沒有的范圍滿足當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)，函數(shù)在恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且滿足，綜上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍為．故得解.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及函數(shù)與方程，函數(shù)的零點(diǎn)問題的綜合應(yīng)用，屬于難度題，關(guān)鍵在于分析分段函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，以及其圖像趨勢，可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方便求解，注意在討論二次函數(shù)的根的情況時(shí)的定義域?qū)ζ涞挠绊懀?0.（12分）因發(fā)生意外交通事故，一輛貨車上的某種液體泄漏到一漁塘中．為了治污，根據(jù)環(huán)保部門的建議，現(xiàn)決定在漁塘中投放一種可與污染液體發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）個(gè)單位的藥劑，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時(shí)間x（天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=a?f（x），其中．若多次投放，則某一時(shí)刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中藥劑的濃度不低于4（克/升）時(shí)，它才能起到有效治污的作用．（Ⅰ）若一次投放4個(gè)單位的藥劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)幾天？（Ⅱ）若第一次投放2個(gè)單位的藥劑，6天后再投放a個(gè)單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效治污，試求a的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：取1.4）．參考答案：考點(diǎn)： 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．專題： 應(yīng)用題．分析： （Ⅰ）由a=4，得y=a?f（x），即；令y≥4，解得x的取值范圍．（Ⅱ）要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效治污，即當(dāng)6≤x≤10時(shí)，≥4恒成立，求y的最小值，令其≥4，解出a的最小值．解答： （Ⅰ）因?yàn)閍=4，所以；則當(dāng)0≤x≤4時(shí)，由，解得x≥0，所以此時(shí)0≤x≤4，當(dāng)4＜x≤10時(shí)，由20﹣2x≥4，解得x≤8，所以此時(shí)4＜x≤8；綜合，得0≤x≤8，若一次投放4個(gè)單位的制劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)8天．（Ⅱ）當(dāng)6≤x≤10時(shí)，==，因?yàn)椋?4﹣x∈[4，8]，而1≤a≤4，所以，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，y有最小值為；令，解得，所以a的最小值為．點(diǎn)評： 本題考查了分段函數(shù)模型的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)分區(qū)間考慮函數(shù)的解析式，是易錯(cuò)題．21.（8分）如圖，四棱錐的底面是正方形，，點(diǎn)E在棱PB上（1）求證：AC⊥平面PDB

(2)當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大小。

參考答案：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵，∴PD⊥AC，又BD∩PD=D

∴AC⊥平面PDB，3分（2）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

∴∠AEO為AE與平面PDB所的角，5分又O，E分別為DB、PB的中點(diǎn)，

∴OE//PD，，

在Rt△AOE中，，

∴，

7分即AE與平面PDB所成的角的大小為.

8分22.（12分）已知角α頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在函數(shù)y=﹣3x（x≤0）的圖象上．（Ⅰ）求sinα、cosα和tanα的值；（Ⅱ）求的值．參考答案：考點(diǎn)： 運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值．專