結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程的建立

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程的建立第一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)

第

2章

分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)及運(yùn)動(dòng)方程的建立2第二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第2章分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)及運(yùn)動(dòng)方程的建立

2.1

基本概念●廣義坐標(biāo)與動(dòng)力自由度★功和能★實(shí)位移、可能位移和虛位移★廣義力●慣性力●彈簧的恢復(fù)力●阻尼力●線彈性體系和粘彈性體系●非彈性體系3第三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.1基本概念2.1.1

廣義坐標(biāo)與動(dòng)力自由度廣義坐標(biāo)：能決定質(zhì)點(diǎn)系幾何位置的彼此獨(dú)立的量稱為該質(zhì)點(diǎn)系的廣義坐標(biāo)。 廣義坐標(biāo)可以取長(zhǎng)度量綱的量，也可以用角度甚至面積和體積來表示。靜力自由度的概念：確定結(jié)構(gòu)體系在空間中位置所需的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目稱為結(jié)構(gòu)的自由度。動(dòng)力自由度的定義：結(jié)構(gòu)體系在任意瞬時(shí)的一切可能的變形中，決定全部質(zhì)量位置所需的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目稱為結(jié)構(gòu)的動(dòng)力自由度。4第四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.1

基本概念2.1.2

功和能功的定義有勢(shì)力和勢(shì)能動(dòng)能

略??????5第五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.1

基本概念2.1.3

實(shí)位移、可能位移和虛位移可能位移：滿足所有約束方程的位移稱為體系的可能位移。實(shí)位移：如果位移不僅滿足約束方程，而且滿足運(yùn)動(dòng)方程和初始條件，則稱為體系的實(shí)位移。虛位移：在某一固定時(shí)刻，體系在約束許可的情況下可能產(chǎn)生的任意組微小位移，稱為體系的虛位移。6第六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.1

基本概念2.1.4

廣義力略??????7第七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.1基本概念2.1.5

慣性力（InertialForce）

慣性：保持物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的能力。慣性力：大小等于物體的質(zhì)量與加速度的乘積，

方向與加速度的方向相反。

I—表示慣性（Inertial）；m—質(zhì)量（mass）；坐標(biāo)方向：向右為正ü

—質(zhì)點(diǎn)的加速度。8第八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.1基本概念2.1.6彈簧的恢復(fù)力（ResistingForceofSpring）

對(duì)彈性體系，彈簧的恢復(fù)力也被稱為彈性恢復(fù)力

彈性恢復(fù)力：大小等于彈簧剛度與位移(彈簧變形)的乘積

方向指向體系的平衡位置。s—表示彈簧（Spring）k—彈簧的剛度（SpringStiffness）u—質(zhì)點(diǎn)位移

9第九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.1基本概念單層框架結(jié)構(gòu)的水平剛度

h—框架結(jié)構(gòu)的高度L—梁的長(zhǎng)度E—彈性模量Ib和Ic—梁和柱的截面慣性矩10第十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.1基本概念2.1.7

阻尼力（DampingForce）

阻尼：引起結(jié)構(gòu)能量的耗散，使結(jié)構(gòu)振幅逐漸變小的一種作用。阻尼的來源（物理機(jī)制）：(1)固體材料變形時(shí)的內(nèi)摩擦，或材料快速應(yīng)變引起的熱耗散；(2)結(jié)構(gòu)連接部位的摩擦，結(jié)構(gòu)構(gòu)件與非結(jié)構(gòu)構(gòu)件之間的摩擦；(3)結(jié)構(gòu)周圍外部介質(zhì)引起的阻尼。例如，空氣、流體等。粘性(滯)阻尼力可表示為：

D—表示阻尼（Damping）c—阻尼系數(shù)（Dampingcoefficient）

—質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度

11第十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.1基本概念阻尼系數(shù)

c的確定：不能像結(jié)構(gòu)剛度k那樣可通過結(jié)構(gòu)幾何尺寸、構(gòu)件尺寸和材料的力學(xué)性質(zhì)等來獲得，因?yàn)閏是反映了多種耗能因素綜合影響的系數(shù)，阻尼系數(shù)一般是通過結(jié)構(gòu)原型振動(dòng)試驗(yàn)的方法得到。粘性(滯)阻尼理論僅是多種阻尼中最為簡(jiǎn)單的一種。其它常用的阻尼：

摩擦阻尼：阻尼力大小與速度大小無關(guān)，一般為常數(shù)；滯變阻尼：阻尼力大小與位移成正比(相位與速度相同)；

流體阻尼：阻尼力與質(zhì)點(diǎn)速度的平方成正比。滯變阻尼——時(shí)滯阻尼——復(fù)阻尼12第十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.1基本概念2.1.8

線彈性體系和粘彈性體系

(LinearlyElasticSystemandViscousElasticSystem)線彈性體系：由線性彈簧（或線性構(gòu)件）組成的體系。

—最簡(jiǎn)單的理想化力學(xué)模型。

粘彈性體系：當(dāng)線彈性系統(tǒng)中進(jìn)一步考慮阻尼（粘性阻尼）的影響時(shí)的體系。

—結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中的最基本力學(xué)模型。

13第十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.1基本概念2.1.9

非彈性體系

(InelasticSystem)結(jié)構(gòu)構(gòu)件的力—變形關(guān)系為非線性關(guān)系，結(jié)構(gòu)剛度不再為常數(shù)。構(gòu)件（或彈簧）的恢復(fù)力可表示為fs是位移和速度的非線性函數(shù)。圖2.6非彈性體系中結(jié)構(gòu)構(gòu)件的力與位移關(guān)系

14第十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第2章分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)及運(yùn)動(dòng)方程的建立2.2

基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立◆牛頓（Newton）第二定律◆D’Alembert原理◆虛位移原理◆Hamilton原理◆Lagrange方程15第十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.2

基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立運(yùn)動(dòng)方程：描述結(jié)構(gòu)中力與位移(包括速度和加速度)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。（有時(shí)也稱為動(dòng)力方程）運(yùn)動(dòng)方程是進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)方程的建立是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)本章首先通過對(duì)簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)體系(單自由度體系)的討論介紹結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中存在的基本物理量及建立運(yùn)動(dòng)方程的方法，然后介紹更復(fù)雜的多自由度體系運(yùn)動(dòng)方程的建立。

16第十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五基本動(dòng)力體系：

應(yīng)包括結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中涉及的所有物理量。

質(zhì)量；彈簧；阻尼器。單自由度體系：

SDOF(Single-Degree-of-Freedom)System

結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)僅需要一個(gè)幾何參數(shù)即可以確定

17第十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五基本動(dòng)力體系兩個(gè)典型的單自由度體系

(a)

單層框架結(jié)構(gòu)

(b)彈簧―質(zhì)點(diǎn)體系

物理元件：

質(zhì)量集中質(zhì)量m

阻尼器阻尼系數(shù)c

彈簧彈簧剛度k兩個(gè)力學(xué)模型完全等效因?yàn)閮蓚€(gè)體系的運(yùn)動(dòng)方程相同

18第十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.2基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立2.2.0

牛頓（Newton）第二定律單質(zhì)點(diǎn)體系的受力分析

——單質(zhì)點(diǎn)體系運(yùn)動(dòng)時(shí)要滿足的控制方程—運(yùn)動(dòng)方程19第十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.2

基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立利用牛頓第二定律的優(yōu)點(diǎn)：牛頓第二定律是基于物理學(xué)中已有知識(shí)的直接應(yīng)用

以人們最容易接受的力學(xué)知識(shí)建立體系的運(yùn)動(dòng)方程

20第二十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.2基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立2.2.1

D’Alembert原理（直接動(dòng)力平衡法）D’Alembert原理：在體系運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，如果除了實(shí)際作用結(jié)構(gòu)的主動(dòng)力（包括阻尼力）和約束反力外，再加上（假想的）慣性力，則在該時(shí)刻體系將處于假想的平衡狀態(tài)（動(dòng)力平衡）。

單質(zhì)點(diǎn)體系的受力分析

21第二十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.2基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立2.2.1

D’Alembert原理D’Alembert原理的優(yōu)點(diǎn)：靜力問題是人們所熟悉的，有了D’Alembert原理之后，形式上動(dòng)力問題就變成了靜力問題，靜力問題中用來建立控制方程的方法，都可以用于建立動(dòng)力問題的平衡方程，使對(duì)動(dòng)力問題的思考有一定的簡(jiǎn)化。對(duì)很多問題，D’Alembert原理是用于建立運(yùn)動(dòng)方程的最直接、最簡(jiǎn)便的方法。D’Alembert原理的貢獻(xiàn)：建立了動(dòng)力平衡（簡(jiǎn)稱：動(dòng)平衡）的概念。22第二十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.2運(yùn)動(dòng)方程的建立[可能位移；實(shí)位移；虛位移]

2.2.2

虛位移原理虛位移原理：在一組外力作用下的平衡系統(tǒng)發(fā)生一個(gè)虛位移時(shí)，外力在虛位移上所做的虛功總和恒等于零。虛位移是指滿足體系約束條件的無限小位移。設(shè)體系發(fā)生一個(gè)虛位移u，則平衡力系在u上做的總虛功為:

單質(zhì)點(diǎn)體系的受力分析23第二十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.2基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立2.2.2虛位移原理虛位移原理的優(yōu)點(diǎn)：虛位移原理是建立在對(duì)虛功分析的基礎(chǔ)之上，而虛功是一個(gè)標(biāo)量，可以按代數(shù)方式運(yùn)算，因而比Newton第二定律，或D’Alembert原理中需要采用的矢量運(yùn)算更簡(jiǎn)便。對(duì)如下圖所示結(jié)構(gòu)體系，用虛位移原理建立方程更簡(jiǎn)便一些

24第二十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.2基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立2.2.3

Hamilton原理可以應(yīng)用變分法（原理）建立結(jié)構(gòu)體系的運(yùn)動(dòng)方程。

在數(shù)學(xué)上，變分問題就是求泛函的極值問題。在這里，泛函就是結(jié)構(gòu)體系中的能量（功）。變分法是求體系能量（功）的極值。

體系的平衡位置是體系的穩(wěn)定位置，在穩(wěn)定位置，體系的能量取得極值,一般是極小值。

Hamilton原理是動(dòng)力學(xué)中的變分法（原理）。25第二十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.2基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立2.2.3

Hamilton原理(積分形式的動(dòng)力問題的變分方法)

Hamilton原理：在任意時(shí)間區(qū)段[t1,t2]內(nèi)，體系的動(dòng)能和位能的變分加上非保守力做功的變分等于0。

T—體系的總動(dòng)能；V—體系的位能，包括應(yīng)變能及任何保守力的勢(shì)能；Wnc—作用于體系上非保守力(包括阻尼力及任意外荷載)所做的功；δ—在指定時(shí)間段內(nèi)所取的變分。

對(duì)于靜力問題

:—最小勢(shì)能原理。

26第二十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.2基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立2.2.3

Hamilton原理

Hamilton原理的優(yōu)點(diǎn)：不明顯使用慣性力和彈性力，而分別用對(duì)動(dòng)能和位能的變分代替。因而對(duì)這兩項(xiàng)來講，僅涉及處理純的標(biāo)量，即能量。而在虛位移中，盡管虛功本身是標(biāo)量，但用來計(jì)算虛功的力和虛位移則都是矢量。動(dòng)能：集中質(zhì)量轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量位能：拉伸彈簧轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧多自由度體系：動(dòng)能位能27第二十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.2基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立用Hamilton原理建立體系的運(yùn)動(dòng)方程體系的動(dòng)能：

位能(彈簧應(yīng)變能)：因此能量的變分：非保守所做的功的變分(等于非保守力在位移變分上作的功)

將以上兩式代入Hamilton原理的變分公式，得：對(duì)上式中的第一項(xiàng)進(jìn)行分部積分28第二十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.2基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立2.2.4

Lagrange方程

Hamilton原理是一種積分形式的動(dòng)力問題的變分方法，實(shí)際還有另外與之等價(jià)的微分形式的動(dòng)力問題的變分原理，就是運(yùn)動(dòng)的Lagrange方程，其表達(dá)式如下：

其中：

T——體系的動(dòng)能；

V——體系的位能，包括應(yīng)變能及任何保守力的勢(shì)能；

Pncj——與uj相應(yīng)的非保守力（包括阻尼力及任意外荷載）。29第二十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.2運(yùn)動(dòng)方程的建立用Hamilton原理推導(dǎo)Lagrange方程

30第三十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.2運(yùn)動(dòng)方程的建立用Hamilton原理推導(dǎo)Lagrange方程

31第三十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.2基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立2.2.4運(yùn)動(dòng)的Lagrange方程

用Lagrange方程方程建立體系的運(yùn)動(dòng)方程體系的動(dòng)能：

位能：非保守力：因此，代入Lagrange方程：再一次得到體系的運(yùn)動(dòng)方程：32第三十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五五種建立運(yùn)動(dòng)方程的方法的特點(diǎn)牛頓第二定律： 是基于物理學(xué)中已有知識(shí)的直接應(yīng)用，有助于理解和接受D’Alembert原理。D’Alembert原理： 是一種簡(jiǎn)單、直觀的建立運(yùn)動(dòng)方程的方法，得到廣泛的應(yīng)用。D’Alembert原理建立了動(dòng)平衡的概念，使得在結(jié)構(gòu)靜力分析中的一些方法可以直接推廣到動(dòng)力問題。當(dāng)結(jié)構(gòu)具有分布質(zhì)量和彈性時(shí)，直接應(yīng)用D’Alembert原理，用動(dòng)力平衡的方法來建立體系的運(yùn)動(dòng)方程可能是困難的。虛位移原理： 部分避免了矢量運(yùn)算，在獲得體系虛功后，可以采用標(biāo)量運(yùn)算建立體系的運(yùn)動(dòng)方程，簡(jiǎn)化了運(yùn)算。33第三十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五五種建立運(yùn)動(dòng)方程的方法的特點(diǎn)Hamilton原理：

是一種建立運(yùn)動(dòng)方程的能量方法(積分形式的變分原理)，如果不考慮非保守力作的功（主要是阻尼力），它是完全的標(biāo)量運(yùn)算，但實(shí)際上直接采用Hamilton原理建立運(yùn)動(dòng)方程并不多。Hamilton原理的美妙在于它以一個(gè)極為簡(jiǎn)潔的表達(dá)式概括了復(fù)雜的力學(xué)問題。Lagrange方程：

得到更多的應(yīng)用，它和Hamilton原理一樣，除非保守力（阻尼力）外，是一個(gè)完全的標(biāo)量分析方法，不必直接分析慣性力和保守力（主要是彈性恢復(fù)力），而慣性力和彈性恢復(fù)力是建立運(yùn)動(dòng)方程時(shí)最為困難的處理對(duì)象。34第三十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.2

基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立五種建立運(yùn)動(dòng)方程的方法的特點(diǎn)35第三十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.2基本力學(xué)原理與運(yùn)動(dòng)方程的建立單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程單自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程反映了結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中將遇到的幾乎所有的物理量(1)質(zhì)量m,和慣性力：(2)阻尼c,和阻尼力：(3)剛度k,和彈性恢復(fù)力：對(duì)于多自由度體系：

36第三十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五例題

分析如下圖所示體系的靜力自由度和動(dòng)力自由度，并利用D’Alembert原理建立體系的運(yùn)動(dòng)方程。37第三十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五例題

[解]：1、體系的自由度靜力自由度：確定體系幾何位置所需要的獨(dú)立參數(shù)（廣義坐標(biāo)）的數(shù)目。動(dòng)力自由度：動(dòng)力分析中為確定體系任一時(shí)刻全部質(zhì)量的幾何位置所需要的獨(dú)立參數(shù)（廣義坐標(biāo)）的數(shù)目。

根據(jù)結(jié)構(gòu)靜力自由度的定義，圖中所示體系的靜力自由度有2個(gè)，可選兩剛桿的桿端位移u和u1為廣義坐標(biāo)。根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力自由度的定義，體系的動(dòng)力自由度僅有1個(gè)，因?yàn)楫?dāng)廣義坐標(biāo)u(t)確定后，體系質(zhì)量的幾何位置就完全確定。

可見，結(jié)構(gòu)體系的動(dòng)力自由度和靜力自由的數(shù)目有時(shí)是不同的。38