簡并態(tài)微擾論

簡并態(tài)微擾論1第一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五E1(0)=1E2(0)=3E3(0)=-2由非簡并微擾公式得能量一級(jí)修正（此處每一能級(jí)都要修正！）：2第二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五能量二級(jí)修正為：準(zhǔn)確到二級(jí)近似的能量為：3第三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五設(shè)H的本征值是E，由久期方程可解得：解得：(2)精確解：如何來的？與近似解比較：4第四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五可知，微擾論二級(jí)近似結(jié)果與精確解展開式不計(jì)c4及以后高階項(xiàng)的結(jié)果相同。比較（1）和（2）之解(3)將準(zhǔn)確解按

c(<<1)展開：﹟5第五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五Thisistheendofthenondegneratepurterbationtheory!總結(jié)：非簡并微擾論處理問題的方法（2）寫出未微擾哈密頓的解（3）求微擾哈密頓在零級(jí)近似波函數(shù)的平均值

—能量的一級(jí)近似（4）求能量的二級(jí)近似（5）求波函數(shù)到一級(jí)近似（1）分解體系的哈密頓6第六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五（一）簡并微擾理論（二）實(shí)例（三）討論§10.2簡并微擾理論7第七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五假設(shè)En(0)是簡并的，那么屬于H0的本征值En(0)有k個(gè)歸一化本征函數(shù):|n1>,|n2>,......,|nk>，且<n|n>=顯然它們滿足本征方程：共軛方程為（一）簡并微擾理論為描述方便，我們將量子數(shù)n對(duì)應(yīng)的能級(jí)和k重簡并波函數(shù)分別寫為En(0)、|nα>

。請(qǐng)注意與教材中的|nν>對(duì)應(yīng)。8第八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五在用微擾論求解問題時(shí)，需要知道某一個(gè)能級(jí)對(duì)應(yīng)的0級(jí)近似波函數(shù)，即在k個(gè)本征函數(shù)中應(yīng)取哪一個(gè)作為波函數(shù)的0級(jí)近似。故在簡并情況下，首先要解決如何選0級(jí)近似波函數(shù)的問題，然后才求能量和波函數(shù)的各級(jí)修正。0級(jí)近似波函數(shù)肯定應(yīng)從這k個(gè)|n>中挑選，而它應(yīng)滿足上節(jié)按冪次分類得到的方程：即有k個(gè)歸一化本征函數(shù):|n1>,|n2>,......,|nk>9第九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五|ψn(0)>已是正交歸一化系數(shù)c

由一次冪方程定出左乘<n|得：根據(jù)這個(gè)條件，我們選取0級(jí)近似波函數(shù)|ψn(0)>的最好方法是將其表示成k個(gè)|n>的線性組合。10第十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五11第十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五得：上式是以展開系數(shù)c為未知數(shù)的齊次線性方程組,它有非零解的條件是系數(shù)行列式為零，即有久期方程12第十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五解之得一級(jí)修正En(1)的k個(gè)根:

En(1),

=1,2,...,k.因En=En(0)+E(1)n

若這k個(gè)根都不相等,則一級(jí)微擾可將k度簡并完全消除；若En(1)有重根,則簡并只是部分消除,須考慮二級(jí)修正能級(jí)才可能完全分裂。13第十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五為了確定能量En

所對(duì)應(yīng)的0級(jí)近似波函數(shù)，可以把E(1)n

之值代入線性方程組從而解得一組c(=1,2,...,k)系數(shù)，將該組系數(shù)代回展開式就能夠得到相應(yīng)的0級(jí)近似波函數(shù)。為了能表示出c

是對(duì)應(yīng)第個(gè)能量一級(jí)修正En(1)的一組系數(shù)，我們?cè)偌右簧辖菢?biāo)而改寫成c

。14第十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五這樣一來，線性方程組就改寫成：15第十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五例1.氫原子一級(jí)Stark效應(yīng)（1）Stark效應(yīng)氫原子在外電場(chǎng)作用下產(chǎn)生譜線分裂現(xiàn)象稱為Stark

效應(yīng)。（二）實(shí)例我們知道電子在氫原子中受到球?qū)ΨQ庫侖場(chǎng)作用，造成第n個(gè)能級(jí)有n2度簡并。但是當(dāng)加入外電場(chǎng)后，由于勢(shì)場(chǎng)對(duì)稱性受到破壞，能級(jí)發(fā)生分裂，簡并部分被消除。Stark效應(yīng)可以用簡并情況下的微擾理論予以解釋。16第十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五（2）外電場(chǎng)下氫原子Hamilton量取外電場(chǎng)沿z正向。通常外電場(chǎng)強(qiáng)度比原子內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度小得多，例如,強(qiáng)電場(chǎng)≈107伏/米，而原子內(nèi)部電場(chǎng)≈1011伏/米，二者相差4個(gè)量級(jí)。所以我們可以把外電場(chǎng)的影響作為微擾處理。17第十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五（3）H0的本征值和本征函數(shù)下面我們只討論n=2的情況，這時(shí)簡并度n2=4。屬于該能級(jí)的4個(gè)簡并態(tài)是：18第十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五即19第十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五我們碰到角積分需要利用如下公式：由簡并微擾理論知,求解久期方程,須先計(jì)算出微擾Hamilton量在以上各態(tài)的矩陣元。（4）求在各態(tài)中的矩陣元20第二十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五于是:欲使上式不為0，由球諧函數(shù)正交歸一性要求量子數(shù)必須滿足如下條件：21第二十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五因?yàn)樗詢H當(dāng)Δ=±1,Δm=0時(shí)，H’的矩陣元才不為0。因此矩陣元中只有不等于0。對(duì)22第二十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五這是微擾矩陣元的表達(dá)式23第二十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五（5）能量一級(jí)修正解得4個(gè)根：由此可見，在外場(chǎng)作用下，原來4度簡并的能級(jí)E2(0)在一級(jí)修正下被分裂成3條能級(jí)，簡并部分消除。將的矩陣元代入久期方程，得：24第二十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五E2E1無外電場(chǎng)有外電場(chǎng)當(dāng)躍遷發(fā)生時(shí)，原來的一條譜線就變成了3條譜線。其頻率一條與原來相同，另外兩條中一條稍高于一條稍低于原來頻率。見下圖：25第二十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五（6）求新的0級(jí)近似波函數(shù)分別將E2(1)的4個(gè)值代入方程組：得四元一次線性方程組26第二十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五將E2(1)=E21(1)=3eεa0

代入上面方程，得：所以相應(yīng)于能級(jí)E2(0)+3eεa0的0級(jí)近似波函數(shù)是：將E2(1)=E22(1)=-3eεa0代入上面方程，得：27第二十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五所以相應(yīng)于能級(jí)E(0)2-3eεa0

的0級(jí)近似波函數(shù)是：將E2(1)=E23(1)=E24(1)=0

，代入上面方程，得：因此相應(yīng)與E2(0)+0

的0級(jí)近似波函數(shù)可以按如下方式構(gòu)成：28第二十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五既然c3,c4是任意非零常數(shù)，我們不妨仍取原來的0級(jí)波函數(shù)（經(jīng)常這樣處理），即令：29第二十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五（7）討論上述結(jié)果表明，若氫原子處于新的0級(jí)近似態(tài)ψ1(0),ψ2(0),ψ3(0),ψ4(0)時(shí)，氫原子就好象具有了大小為3ea0的永久電偶極矩一般。對(duì)于處在ψ1(0),ψ2(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場(chǎng)方向平行（+）和反平行（－）；而對(duì)于處在ψ3(0),ψ4(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場(chǎng)方向垂直（對(duì)能級(jí)無影響）。﹟30第三十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五總結(jié)：簡并微擾論處理問題的方法（2）由未微擾哈密頓給出簡并態(tài)（3）求微擾哈密頓在簡并態(tài)中的矩陣元（4）解久期方程，給出能量的一級(jí)修正（5）由能量的一級(jí)修正求新的零級(jí)近似波函數(shù)（1）分解體系的哈密頓﹟31第三十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五例2.有一粒子，其Hamilton量的矩陣形式為：

H=H0+H’， 其中求能級(jí)的一級(jí)近似和波函數(shù)的0級(jí)近似。解：H0的本征值問題是三重簡并的，這是一個(gè)簡并微擾問題。32第三十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五E(1)[(E(1))2-α2]=0(1)求本征能量

由久期方程|H’-E(1)I|=0得：解得：E(1)=0,±α.記為：E1(1)=-αE2(1)=0E3(1)=+α33第三十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五故能級(jí)一級(jí)近似：簡并完全消除(2)求解0級(jí)近似波函數(shù)將E1(1)=–α代入方程，得：34第三十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五由歸一化條件：則35第三十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五將E2(1)=0代入方程，得：則由歸一化條件：36第三十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五1.新0級(jí)波函數(shù)的正交歸一性（1）正交性取復(fù)共厄（三）討論對(duì)處理λ一次冪所帶來的系數(shù)公式37第三十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五改記求和指標(biāo)

，λ

由前知代入有得利用38第三十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五或，上式合起來可寫為將求和中的消掉39第三十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五上式表明，新0級(jí)近似波函數(shù)滿足正交條件。由(3)式這樣，對(duì)應(yīng)于En=En(0)+En(1)和Enλ=En(0)+Enλ(1)的0級(jí)近似本征函數(shù)分別為：40第四十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五（2）歸一性對(duì)于同一能量，即角標(biāo)=λ，則上式變?yōu)椋篍q.(3)和Eq.(4)合記之為：由于新0級(jí)近似波函數(shù)應(yīng)滿足歸一化條件，41第四十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五證：由式使上式變?yōu)?.可以證明在新0級(jí)近似波函數(shù)|ψn(0)>為基矢的k

維子空間中，從而的矩陣形式是對(duì)角化的。42第四十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五因?yàn)镠0在自身表象中是對(duì)角化的，所以在新0級(jí)近似波函數(shù)為基矢的表象中也是對(duì)角化的。當(dāng)

=λ

時(shí)，上式給出如下關(guān)系式：上式最后一步利用了Eq.(5)關(guān)系式。所以在新0級(jí)近似波函數(shù)為基矢的表象中是對(duì)角化的。[證畢]43第四十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五也就是說，能量一級(jí)修正是H’在新0級(jí)波函數(shù)中的平均值。上述結(jié)論也是預(yù)料之中的事。求解久期方程和線性方程組就是尋找這一么正變換矩陣的方法。若對(duì)簡并微擾，有兩個(gè)簡并波函數(shù)和,而在其組成的空間中是對(duì)角的，此時(shí)可用非簡并微擾來處理簡并微擾。若非對(duì)角，則正常進(jìn)行。因?yàn)榍蠼夂啿⑽_問題，本質(zhì)上講就是尋找一么正變換矩陣S，使從而對(duì)角化。44第四十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五45第四十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五3.若最初的零級(jí)波函數(shù)選擇適當(dāng),已使H’對(duì)角化，即則線性方程組的求解易如反掌，即有對(duì)應(yīng)的零級(jí)波函數(shù)就是原來的。因此簡并微擾論中，零級(jí)波函數(shù)的選擇特別重要，應(yīng)盡量選擇零級(jí)波函數(shù)同時(shí)又是某些守恒量（與和都對(duì)易）的本征態(tài)，可使計(jì)算大大簡化?，F(xiàn)只對(duì)討論2舉一例說明（其它情況我們?cè)诹?xí)題課中討論）：46第四十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五例：前面講到的例2應(yīng)用簡并微擾論解得的新0級(jí)近似波函數(shù)是：47第四十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期五我們求解這是新0級(jí)近似波函數(shù)在原簡并波函數(shù)

為基矢所張開的子空間