結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與極限

結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與極限第一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五1.兩類穩(wěn)定問題的基本概念薄壁、高強(qiáng)、受壓結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)不當(dāng)容易產(chǎn)生部件或整個(gè)結(jié)構(gòu)喪失穩(wěn)定。因此，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)除關(guān)心強(qiáng)度、剛度外，對易失穩(wěn)的結(jié)構(gòu)還要進(jìn)行穩(wěn)定驗(yàn)算。結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分靜力和動力穩(wěn)定兩大類，本課程只討論靜力穩(wěn)定問題。例如圖示剛架，當(dāng)荷載達(dá)到臨界值時(shí)，受微小干擾將失穩(wěn)第二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五又如下圖所示園拱和窄條梁也存在失穩(wěn)問題第三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五剛性小球平衡狀態(tài)穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)隨遇平衡狀態(tài)第四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五結(jié)構(gòu)平衡狀態(tài)的分類根據(jù)結(jié)構(gòu)經(jīng)受任意微小外界干擾后，能否恢復(fù)初始平衡狀態(tài)，可對平衡狀態(tài)作如下分類：

穩(wěn)定的平衡狀態(tài)——外界干擾消除后結(jié)構(gòu)能完全恢復(fù)初始平衡位置，則初始平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。

不穩(wěn)定平衡狀態(tài)——外界干擾消除后結(jié)構(gòu)不能恢復(fù)初始平衡位置，則初始平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。經(jīng)簡化抽象，可能出現(xiàn)受干擾后可在任何位置保持平衡的現(xiàn)象，稱此現(xiàn)象為隨遇平衡狀態(tài)。第五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五根據(jù)受力狀態(tài)穩(wěn)定問題分類：1.完善體系：理想中心受壓桿，無初曲率或彎曲變形完善體系從穩(wěn)定到不穩(wěn)定，其受力、變形狀態(tài)將變化，也即隨荷載變大有分叉點(diǎn)，稱分支點(diǎn)穩(wěn)定。第六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五分支點(diǎn)失穩(wěn)失穩(wěn)前后平衡狀態(tài)的變形性質(zhì)發(fā)生變化第七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五第八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五結(jié)構(gòu)2.非完善體系

受壓桿有初曲率或受偏心荷載，為壓彎聯(lián)合受力狀態(tài)FP(a)非完善體系，一般受力、變形性質(zhì)不發(fā)生改變。但隨著荷載增大存在一極值荷載（此后變形增大荷載反而減少），這類穩(wěn)定現(xiàn)象稱極值點(diǎn)穩(wěn)定。第九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五極值點(diǎn)失穩(wěn)失穩(wěn)前后變形性質(zhì)沒有變化第十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五第十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五FPcrcr突跳失穩(wěn)FPcrcr由受壓變成受拉，系統(tǒng)產(chǎn)生翻轉(zhuǎn)第十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五突跳失穩(wěn)的力-位移關(guān)系示意圖突跳失穩(wěn)第十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五穩(wěn)定問題的分析方法在穩(wěn)定分析中，有基于小變形的線性理論和基于大變形的非線性理論：線性理論中變形是一階微量，計(jì)算中將略去高階微量使計(jì)算得以簡化，其結(jié)果與大變形時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果有較大偏差。非線性理論中考慮有限變形對平衡的影響，其結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合的很好，但分析過程復(fù)雜。第十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五由于實(shí)際結(jié)構(gòu)剛度都很大，變形和桿件尺寸相比十分微小，因此作受力分析列平衡方程時(shí)都忽略變形影響。因此線彈性材料力-位移成正比，疊加原理適用。2.簡單結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析

1)穩(wěn)定問題分析基本方法一：靜力法通過考慮失穩(wěn)狀態(tài)下的平衡關(guān)系，利用兩類穩(wěn)定問題的特征，確定臨界荷載的方法——靜力法。在作穩(wěn)定分析時(shí)，必須考慮變形的影響，這時(shí)疊加原理不再適用。第十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五2-1-1)分析步驟

設(shè)定約束所允許的可能失穩(wěn)狀態(tài)

建立平衡方程用分支點(diǎn)穩(wěn)定的平衡兩重性（可在兩狀態(tài)平衡）建立特征方程，也稱穩(wěn)定方程

求特征方程的非零解，從而得到臨界荷載。2-1)分支點(diǎn)穩(wěn)定靜力法第十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五2-1-2）例一試用靜力法分析圖示結(jié)構(gòu)，求臨界荷載。第十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五穩(wěn)定方程第十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五非零解穩(wěn)定方程第十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五按靜力法，線性與非線性理論所得分支點(diǎn)臨界荷載完全相同，但線性理論分析過程簡單。小結(jié)非線性理論結(jié)果表明，達(dá)臨界荷載后，要使AB桿繼續(xù)偏轉(zhuǎn)（角增大），必須施加更大的荷載（增加）。而線性理論結(jié)果表明，不管轉(zhuǎn)角多大，荷載均保持為臨界荷載值，也即隨遇平衡，前者與實(shí)驗(yàn)吻合，后者實(shí)際是一種虛假的現(xiàn)象。第二十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五例二完善體系如圖所示，試按線性理論求臨界荷載FPcr。已知：k1=k,k2=3k。設(shè)體系發(fā)生如下的變形第二十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五取B’C’為隔離體，由MB’=0,得或再由整體平衡MA=0,得因?yàn)閥1、y2不能全部為零，因此穩(wěn)定方程第二十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五將k1

、k2

代入（3）式，展開后得由上式可求得：因此代回式（1）或（2）的失穩(wěn)形態(tài)為第二十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五2-1-3）材料力學(xué)中不同支承中心受壓桿的FPcr為第二十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五求解的例子第二十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五EI，lFPFPcr如何轉(zhuǎn)換成彈性支承中心受壓柱？

k1=？2-1-4）簡單結(jié)構(gòu)中心受壓桿FPcr的分析方法邊界條件是什么？根據(jù)形常數(shù)第二十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五FPcrEI，l如何轉(zhuǎn)換成彈性支承中心受壓柱？

k1=？邊界條件是什么？第二十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五FPcrEI，lEI，lEA=∞如何轉(zhuǎn)換成彈性支承中心受壓柱？

k=？邊界條件是什么？第二十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五EI，lEI，lFPcr如何轉(zhuǎn)換成彈性支承中心受壓柱？

k1=？k2=？邊界條件是什么？第二十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五

可見簡單結(jié)構(gòu)中受壓桿件的穩(wěn)定分析，主要是要將桿件簡化為相應(yīng)的彈性支撐的單桿問題。實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析復(fù)雜得多，一般進(jìn)行計(jì)算機(jī)分析。第三十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)隨遇平衡狀態(tài)能量取極小值2-2)分支點(diǎn)穩(wěn)定能量法2-2-1)剛性小球的穩(wěn)定能量準(zhǔn)則能量取極大值能量取駐值第三十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五與材料力學(xué)壓桿穩(wěn)定問題一樣，在結(jié)構(gòu)分支點(diǎn)失穩(wěn)問題中，臨界狀態(tài)的能量特征為：首先引入兩個(gè)定義。定義：應(yīng)變能Vε加外力（外荷載）勢能VP為體系的總勢能，記作V。2-2-2)彈性結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定能量準(zhǔn)則定義：從變形位置退回?zé)o變形位置過程中，外荷載所做的功，稱為外力勢能，記作VP。體系總勢能V取駐值。下面討論由此特征確定臨界荷載的方法——能量法。第三十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五2-2-3)能量法分析步驟(1)設(shè)定一種滿足位移約束條件的可能失穩(wěn)變形狀態(tài)（也稱失穩(wěn)構(gòu)(位)形）；(2)計(jì)算體系的應(yīng)變能Vε、外力勢能VP，從而獲得總勢能V=Vε+VP；(3)從總勢能的駐值條件建立穩(wěn)定性分析的特征方程；(4)由特征方程解得臨界荷載。第三十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五l例1.求圖示有初偏離角體系的的臨界荷載2-2-4)能量法舉例可能失穩(wěn)第三十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五分析受力FN如何求?第三十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五變形能V外力勢能VP體系的總勢能V=V+VP如何計(jì)算?

應(yīng)變能等于外力功.

根據(jù)定義可得第三十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五由體系的總勢能的駐值條件得：則：如果=0：第三十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五令：To41第三十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五令：得：因此為求極值第三十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五設(shè)：跳轉(zhuǎn)1第四十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)按線性理論計(jì)算時(shí)，是微量，線性理論計(jì)算結(jié)果比非線性理論計(jì)算結(jié)果大，因而是偏于危險(xiǎn)的。To38第四十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五不同的初偏角將影響臨界荷載，初偏離增大時(shí)減小，這表明制造或安裝誤差對穩(wěn)定性都是不利的。非線性理論計(jì)算結(jié)果存在極值點(diǎn)失穩(wěn)，這一結(jié)果與實(shí)際吻合。小結(jié)非完善體系的臨界荷載只能由非線性理論確定。在線性理論（微?。┣疤嵯?，是單調(diào)增加的，不存在極值點(diǎn)。第四十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五lEIyx設(shè)：例2.求圖示一端固定一端自由簡支梁的臨界荷載。滿足位移約束條件第四十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五變形能V外力勢能VP體系的總勢能V=V+VP第四十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五由體系的總勢能的駐值條件得：因?yàn)閍0則：返回第四十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五

以圖示柱為例，取隔離體列彎矩方程得第四十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五特解通解利用邊界條件：解方程可得穩(wěn)定方程返回可得試總結(jié)中心壓桿穩(wěn)定分析的要點(diǎn)第四十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五3-1)材料力學(xué)內(nèi)容回顧——結(jié)構(gòu)內(nèi)實(shí)際最大應(yīng)力——材料容許應(yīng)力——極限應(yīng)力（脆性）（塑性）——安全系數(shù)對塑性材料制成的結(jié)構(gòu)不經(jīng)濟(jì)3.基本假設(shè)與基本概念彈性分析法（容許應(yīng)力法）第四十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五材料的本構(gòu)關(guān)系（應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系）塑性金屬線性強(qiáng)化理想彈塑性剛線性強(qiáng)化剛塑性第四十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五3-2)基本假定假定材料具有相同的拉、壓力學(xué)性能以及理想彈塑性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。假定結(jié)構(gòu)上所受荷載是按荷載參數(shù)P以同一比例由小變大逐步加載的，同時(shí)荷載參數(shù)P單調(diào)增加，不出現(xiàn)卸載情形，這種加載方式稱為比例加載。假定在彈塑性階段橫截面應(yīng)變?nèi)苑掀浇孛婕俣ā?-3)基本概念第五十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五等面積軸形心軸---彈性彈塑性屈服彎矩Ms塑性極限彎矩Mu純彎梁由彈性到塑性的過程分析極限荷載FPu-彈性第五十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五塑性分析法（極限應(yīng)力法）

極限荷載——結(jié)構(gòu)在極限狀態(tài)時(shí)所能承受的荷載強(qiáng)度條件：k—安全系數(shù)F—實(shí)際荷載FPu—極限荷載問題：按塑性分析設(shè)計(jì)與按彈性分析設(shè)計(jì)相比，在結(jié)構(gòu)破壞時(shí)，何者的應(yīng)力大？將結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性階段并喪失承載能力時(shí)的狀態(tài)，作為結(jié)構(gòu)破壞的標(biāo)志，稱為極限狀態(tài)。To55第五十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五屈服彎矩MS，按定義為極限彎矩（整個(gè)截面都屈服）Mu抗彎截面系數(shù)（1）由中性軸等分截面積To51外邊到形心軸第五十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五（2）極限彎矩Mu塑性截面系數(shù)（）

（屈服彎矩）截面形狀系數(shù)：矩形

1.5圓形

1.7To51第五十四頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五非純彎、雙對稱軸截面梁的情況實(shí)驗(yàn)和理論分析結(jié)果都表明，對于細(xì)長梁，切應(yīng)力對極限承載力影響很小，可不予考慮。例如簡支梁截面出現(xiàn)塑性鉸第五十五頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五破壞機(jī)構(gòu)—結(jié)構(gòu)由于出現(xiàn)塑性鉸而變成瞬變或可變時(shí)的體系。靜定梁，塑性鉸出現(xiàn)在彎矩（絕對值）最大處。ABFP1）普通鉸不能承受彎矩，塑性鉸能承受Mu塑性鉸——能承受彎矩并能單方向轉(zhuǎn)動的鉸。塑性鉸與普通鉸的區(qū)別：2）普通鉸為雙向鉸，塑性鉸為單向鉸。

若梁的左半部分截面高度增加一倍（變截面梁），塑性鉸出現(xiàn)在何處？第五十六頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五4.極限平衡法及比例加載時(shí)的若干定理結(jié)構(gòu)達(dá)極限狀態(tài)時(shí)應(yīng)該滿足以下條件：平衡條件

結(jié)構(gòu)整體或任何部分均應(yīng)是平衡的。內(nèi)力局限條件

極限狀態(tài)時(shí)結(jié)構(gòu)中任一截面彎矩絕對值不可能超過其極限彎矩Mu，亦即|M|≤Mu

。單向機(jī)構(gòu)條件

結(jié)構(gòu)達(dá)極限狀態(tài)時(shí)，對梁和剛架必定有若干（取決于具體問題）截面出現(xiàn)塑性鉸，使結(jié)構(gòu)變成沿荷載方向能作單向運(yùn)動的機(jī)構(gòu)（也稱破壞機(jī)構(gòu)）。第五十七頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五試求等截面單跨超靜定梁的極限荷載FPl/2ABl/2C4-1）極限平衡法—從極限狀態(tài)由平衡求FPuA處出現(xiàn)塑性鉸時(shí)：彈性解得彎矩圖ABC能繼續(xù)承荷第五十八頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五A、C處都出現(xiàn)塑性鉸：靜力法ABC列靜力平衡方程，可得第五十九頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五虛功法或機(jī)動法極限狀態(tài)沿加載方向虛位移根據(jù)剛體虛位移原理，主動力虛功總和為零l/2ABl/2Cl/2ABl/2C第六十頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五試求圖示變截面單跨超靜定梁的極限荷載虛功法的虛功方程為當(dāng)時(shí)，

時(shí)，其可能的極限狀態(tài)和虛位移圖如下所示第六十一頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五試求圖示變截面單跨超靜定梁的極限荷載虛功法的虛功方程為時(shí)，其可能的極限狀態(tài)和虛位移圖如下所示當(dāng)時(shí)，A、B、D都為塑性鉸

第六十二頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五小結(jié)任何結(jié)構(gòu)（靜定、超靜定）的極限荷載只需分析破壞機(jī)構(gòu)(collapsemechanism)，由平衡條件（靜力平衡方程或虛功方程）即可求出。超靜定結(jié)構(gòu)的溫度改變、支座移動等外因只影響結(jié)構(gòu)彈塑性變形的過程（或稱歷程），并不影響極限荷載值。亦即僅計(jì)算極限荷載時(shí)，可不考慮溫度改變、支座移動等外因的作用。第六十三頁，共六十七頁，編輯于2023年，星期五4-2)比例