2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考重點(diǎn)題型-圓類綜合題

2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考重點(diǎn)題型-圓類綜合題2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考重點(diǎn)題型-圓類綜合題全文共10頁(yè)，當(dāng)前為第1頁(yè)。中考重點(diǎn)題型：圓類綜合題2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考重點(diǎn)題型-圓類綜合題全文共10頁(yè)，當(dāng)前為第1頁(yè)。一、知識(shí)清單1、垂徑定理及其推論(重要)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。*推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。2、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理（1）圓心角:頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。（2）弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距。（3）弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦想等，所對(duì)的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。（4）圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。（5）圓周角定理（重要）一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。推論2(：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。3、直線與圓的位置關(guān)系直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：（1）相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線叫做圓的割線，公共點(diǎn)叫做交點(diǎn)；（2）相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，（3）相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離。如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：直線l與⊙O相交d<r；直線l與⊙O相切d=r；直線l與⊙O相離d>r；4、圓內(nèi)接四邊形2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考重點(diǎn)題型-圓類綜合題全文共10頁(yè)，當(dāng)前為第2頁(yè)。圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)（重要），外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在⊙O中，∵四邊ABCD是內(nèi)接四邊形2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考重點(diǎn)題型-圓類綜合題全文共10頁(yè)，當(dāng)前為第2頁(yè)。∴CBAD180BD180DAEC5、切線的性質(zhì)與判定定理1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵M(jìn)NOA且MN過半徑OA外端∴MN是⊙O的切線2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）（記住理解即可，不會(huì)考證明題）6、切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵PA、PB是的兩條切線∴PAPB；PO平分BPA（用三角形全等證明）7、弧長(zhǎng)和扇形面積（1）弧長(zhǎng)公式半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l的計(jì)算公式：（2）扇形面積公式其中n是扇形的圓心角度數(shù)，R是扇形的半徑，l是扇形的弧長(zhǎng)。2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考重點(diǎn)題型-圓類綜合題全文共10頁(yè)，當(dāng)前為第3頁(yè)。二、常考題型2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考重點(diǎn)題型-圓類綜合題全文共10頁(yè)，當(dāng)前為第3頁(yè)。1、相切的證明（即證明垂直）證明相切常用兩種方法：證明與已知的直角平行利用等量代換證明直角以上兩種方法均必須重視由圓半徑組成的三角形為等腰三角形，兩底腳相等及直徑所對(duì)圓周角為90°，這個(gè)隱含條件！例1、如圖，AB為的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，點(diǎn)P是直徑AB上的一點(diǎn)（不與A，B重合），過點(diǎn)P作AB的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q。在線段PQ上取一點(diǎn)D，使DQ=DC，連接DC，試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由。解：（1）CD是⊙O的切線,。理由如下：連接OC，∵OC=OB，∴∠B=∠BCO。又∵DC=DQ，∴∠Q=∠DCQ。∵PQ⊥AB，∴∠QPB=90°?！唷螧+∠Q=90°?！唷螧CO+∠DCQ=90°?！唷螪CO=∠QCB－(∠BCO+∠DCQ)=180°－90°=90°?！郞C⊥DC?！逴C是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線。例2、如圖，AB是⊙O的直徑，AF是⊙O切線，CD是垂直于AB的弦，垂足為E，過點(diǎn)C作DA的平行線與AF相交于點(diǎn)F，CD=，BE=2．求證：（1）四邊形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切線．證明：（1）連接OC，∵AF是⊙O切線，∴AF⊥AB?！逤D⊥AB，∴AF∥CD。2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考重點(diǎn)題型-圓類綜合題全文共10頁(yè)，當(dāng)前為第4頁(yè)。∵CF∥AD，∴四邊形FADC是平行四邊形。2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考重點(diǎn)題型-圓類綜合題全文共10頁(yè)，當(dāng)前為第4頁(yè)。∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴。設(shè)OC=x，∵BE=2，∴OE=x﹣2。在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴，解得：x=4。∴OA=OC=4，OE=2?！郃E=6。在Rt△AED中，，∴AD=CD。∴平行四邊形FADC是菱形。（2）連接OF，∵四邊形FADC是菱形，∴FA=FC。在△AFO和△CFO中，∵，∴△AFO≌△CFO（SSS）。∴∠FCO=∠FAO=90°，即OC⊥FC?！唿c(diǎn)C在⊙O上，∴FC是⊙O的切線。試題分析：（1）連接OC，由垂徑定理，可求得CE的長(zhǎng)，又由勾股定理，可求得半徑OC的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得AD的長(zhǎng)，即可得AD=CD，易證得四邊形FADC是平行四邊形，繼而證得四邊形FADC是菱形；（2）連接OF，易證得△AFO≌△CFO，繼而可證得FC是⊙O的切線。2、求圓內(nèi)某條線段的長(zhǎng)度，一般會(huì)求圓的半徑求解該類試題應(yīng)從如下兩方面考慮：（1）利用勾股定理求解：若所求線段在直角三角形中，可考慮用勾股定理或相似求解：設(shè)圓半徑為x，則題會(huì)增加很多已知量，半徑為x，則圓內(nèi)的所有半徑，直徑長(zhǎng)度均成已知量，利用已知量及等量關(guān)系將未知數(shù)，放入已知條件最多的一個(gè)或者兩個(gè)三角形中，利用相似或者勾股定理求出為實(shí)數(shù)x。例3、如圖，AB為直徑，弦CD．解：如圖，連接OD，設(shè)AB=4x，2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考重點(diǎn)題型-圓類綜合題全文共10頁(yè)，當(dāng)前為第5頁(yè)?！選，BE=3x，。2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考重點(diǎn)題型-圓類綜合題全文共10頁(yè)，當(dāng)前為第5頁(yè)?！逜B為直徑，xOD=2x。又∵弦CD在Rt△ODE中，，即，解得。∴AB=4x。（2）利用相似求解ABDOC例4、如圖，⊙O的半徑為4，B是⊙O外一點(diǎn)，連接OB,且OB=6.過點(diǎn)B作⊙O的切線BD，切點(diǎn)為D,延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)A,過點(diǎn)AABDOC(1)求證：AD平分∠BAC;(2)求AC的長(zhǎng)。證明：（1）連接OD∵BD是⊙O的切線，D為切點(diǎn)∴∵∴OD∥ACABDOCABDOC又∵OD=OA∴∠BAD=∠CAD∴AD平分∠ABC(2)解：∵OD∥AC∴ΔBOD∽ΔBAC∴ODAC=∴4AC=∴AC=203、證明兩條線段相等（角相等）看需要證在同一三角形中角相等（等角對(duì)等邊）明的兩條線段是否在同一不再同一①證明全等三角形中三角形中②等量代換例4、如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點(diǎn)B作⊙O的切線DE，與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，作AE⊥AC交DE于點(diǎn)E．（1）求證：∠BAD=∠E；（2）若⊙O的半徑為5，AC=8，求BE的長(zhǎng)．解2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考重點(diǎn)題型-圓類綜合題全文共10頁(yè)，當(dāng)前為第6頁(yè)。答：2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考重點(diǎn)題型-圓類綜合題全文共10頁(yè)，當(dāng)前為第6頁(yè)。（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點(diǎn)B作⊙O的切線DE，∴∠ABE=90°，∴∠BAE+∠E=90°，∵∠DAE=90°，∴∠BAD+∠BAE=90°，∴∠BAD=∠E；（2）解：連接BC，如圖：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵AC=8，AB=2×5=10，∴BC=，∵∠BCA=∠ABE=90°，∠BAD=∠E，∴△ABC∽△EAB，∴，∴，∴BE=．4、證明形如a＊b=c＊d類等式將乘積的形式化成如a/c=d/b的形式，通過證明兩個(gè)三角形相似來證明上述等式成立ABCDOP例6、已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，PD切⊙O于點(diǎn)C，BD⊥PDABCDOP求證：（1）BC平分∠PBD；（2）。證明：（1）連結(jié)OC。（2）連結(jié)AC。∵PD切⊙O于點(diǎn)C，∵AB是⊙O的直徑，又∵BD⊥PD，∴∠ACB＝90°?！郞C∥BD。又∵BD⊥PD，∴∠OCB＝∠CBD?！唷螦CB＝∠CDB＝90°又∵OC＝OB，又∵∠1＝∠2，∴∠OCB＝∠OBC?！唷鰽BC∽△CBD∴∠OBC＝∠CBD，即BC平分∠PBD。∴∴2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考重點(diǎn)題型-圓類綜合題全文共10頁(yè)，當(dāng)前為第7頁(yè)。三、每章一練2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考重點(diǎn)題型-圓類綜合題全文共10頁(yè)，當(dāng)前為第7頁(yè)。1、如圖，已知⊙O的半徑為5，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝8.過點(diǎn)B作⊙O的切線BD，過點(diǎn)A作AD⊥BD，垂足為D.(1)求證：∠BAD＋∠C＝90°；(2)求線段AD的長(zhǎng).2、如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAD＝∠C，點(diǎn)D在BC邊上.以AD為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F.(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)已知AB＝6，AC＝8，求AF的長(zhǎng).3、如圖，⊙O的半徑為3，C是⊙O外一點(diǎn)，且OC＝6.過點(diǎn)C作⊙O的兩條切線CB、CD，切點(diǎn)分別為B、D，連接BO并延長(zhǎng)交切線CD于點(diǎn)A.(1)求AD的長(zhǎng)；(2)若M是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，求CM長(zhǎng)的最大值，并說明理由.2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考重點(diǎn)題型-圓類綜合題全文共10頁(yè)，當(dāng)前為第8頁(yè)。2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考重點(diǎn)題型-圓類綜合題全文共10頁(yè)，當(dāng)前為第8頁(yè)。4、如圖，⊙O是△ABC的外接圓，過A、B兩點(diǎn)分別作⊙O的切線PA、PB交于一點(diǎn)P，連接OP.(1)求證：∠APO＝∠BPO；(2)若∠C＝60°，AB＝6，點(diǎn)Q是⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)，求PQ的最大值.5、

如圖，已知：AB是的弦，過點(diǎn)B作BC⊥AB交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，取AD的中點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥BC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.求證：（1）FC=FG；（2）6、如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點(diǎn)B作⊙O的切線DE，與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，作AE⊥AC交DE于點(diǎn)E．（1）求證：∠BAD=∠E；（2）若⊙O的半徑為5，AC=8，求BE的長(zhǎng)．2