山東省泰安市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

高三年級(jí)考試數(shù)學(xué)試題2024.01注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，若，則實(shí)數(shù)（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合交集的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因此有，或，或，顯然不成立，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意故選：C2.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，且，則（）A.2 B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，且，所以，所以.故選：A.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)基本不等式即可判斷充分性，舉反例即可判定必要性.詳解】若，則,由于，所以，充分性成立，當(dāng)時(shí)，滿足，但是，必要性不成立，因此“”是“”的充分不必要條件故選：A，4.已知向量，若，則向量在向量上的投影向量為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量減法的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合投影向量的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，向量在向量上的投影向量為，故選：D.5.已知在處的極大值為5，則（）A. B.6 C.或6 D.或2【答案】B【解析】【分析】由題意可得，進(jìn)而可求得，注意反代檢驗(yàn).【詳解】，因?yàn)樵谔幍臉O大值為5，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在處取得極小值，不符題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以在處取得極大值，符合題意，綜上所述，，所以.故選：B.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由兩角差的正弦公式、二倍角公式以及平方關(guān)系化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】由題意，所以，，解得.故選：B.7.已知，則下列不等關(guān)系正確的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，將轉(zhuǎn)換成即可判斷.【詳解】由題意，所以，即的對(duì)稱軸為，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以.故選：A.8.設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，直線過(guò)點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好在橢圓上，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知結(jié)合橢圓的定義可推得，，然后根據(jù)，求出，最后根據(jù)余弦定理，即可得到關(guān)于的齊次方程，即可得出離心率.【詳解】設(shè)，由已知可得，，根據(jù)橢圓的定義有，又，所以，在中，由余弦定理可得，，即，即，化簡(jiǎn)得，則，所以，解得或（舍去），所以.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值，求得離心率.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線與圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.直線與圓相交C.若，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為D.若直線與直線垂直，則【答案】BC【解析】【分析】分離參數(shù)即可得定點(diǎn)判斷A，根據(jù)定點(diǎn)在圓內(nèi)即可判定B，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式結(jié)合點(diǎn)到線的距離公式即可求解C，根據(jù)直線一般式中垂直滿足的關(guān)系即可求解D.【詳解】直線，即，則直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；因，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)部，直線與圓相交，故B正確：當(dāng)時(shí)，直線,即圓心到直線的距離，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，故C正確若與直線垂直，故，則或，故D不正確；故選：BC10.已知函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期為B.C.在上單調(diào)遞增D.圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)余弦型對(duì)稱性的性質(zhì)，結(jié)合余弦型函數(shù)的周期性、單調(diào)性、圖象平移性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，所以函數(shù)圖象向下平移個(gè)單位，得到函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，即的一個(gè)對(duì)稱中心為，因此，因?yàn)椋粤?，?A：的最小正周期為，因此本選項(xiàng)正確；B：，因此本選項(xiàng)正確；C：當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此本選項(xiàng)不正確；D：圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的解析式為，顯然函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，因此本選項(xiàng)正確，故選：ABD11.如圖，在矩形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿翻折到位置，連接，且為中點(diǎn)，，在翻折到的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（）A.平面B.存在某個(gè)位置，使得C.當(dāng)翻折到二面角為直二面角時(shí)，到的距離為D.當(dāng)翻折到二面角為直二面角時(shí)，與平面所成角的正弦值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)面面平行即可求證A，根據(jù)即可求解B，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解點(diǎn)線距離以及線面角即可求解CD.【詳解】取中點(diǎn)，連接，所以又，所以四邊形為平行四邊形，故平面，平面，故平面，平面，平面，故平面，平面，因此平面平面，平面，所以平面，A正確，當(dāng)時(shí)，由于則，此時(shí)，故只需要在翻折過(guò)程中使得，即可滿足，即，故B正確，對(duì)于C，取中點(diǎn)，由于，又，所以，取中點(diǎn)，則，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，則，故以為正方向?yàn)?，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，則，，，故到的距離為，故C錯(cuò)誤，，，設(shè)平面的法向量為，則，取則，故直線與平面所成角的正弦值為，故D正確，故選：ABD12.已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)零點(diǎn)定義、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算逐一判斷即可.【詳解】A：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，函數(shù)的極大值為，極小值為，因此當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，因此本選項(xiàng)不正確；B：，，當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，本選項(xiàng)正確；C：，因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，，因此曲線相切方程為：，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與曲線相切于點(diǎn)，所以，因此，所以本選項(xiàng)正確；D：由上可知：，因此有，因此本選項(xiàng)正確，故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出兩個(gè)曲線的切線方程，進(jìn)而運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行判斷.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知正數(shù)滿足，則__________.【答案】5【解析】【分析】由指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】不妨設(shè)，所以，所以.故答案為：5.14.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積為，且滿足，則__________.【答案】【解析】【分析】由題意首先得，然后由的關(guān)系結(jié)合已知遞推關(guān)系式得數(shù)列是等比數(shù)列，由此即可得解.【詳解】由題意，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋耶?dāng)，所以，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以故答案為：.15.已知球的體積為，其內(nèi)接圓錐與球面交線長(zhǎng)為，則該圓錐的側(cè)面積為__________.【答案】或【解析】【分析】先分別求出圓錐的底面半徑和球的半徑，再利用勾股定理求出圓錐的高，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式即可得解.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，高為，母線長(zhǎng)為，球的半徑為，則，所以，，解得，如圖，為圓錐的軸截面，由勾股定理得，，即，解得或，當(dāng)時(shí)圓錐的母線，所以圓錐的側(cè)面積為，當(dāng)時(shí)圓錐的母線，所以圓錐的側(cè)面積為，故答案為：或.16.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在上，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合橢圓定義、焦半徑范圍即可得解，這個(gè)最終的范圍應(yīng)該是有賴于的，而也可以得到的范圍.【詳解】由題意得，，又因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)，所以，解得，而，不妨設(shè)，則，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：容易錯(cuò)的地方是由，誤以為的范圍為，事實(shí)上最終的范圍應(yīng)該是有賴于的，對(duì)于具體的，不一定能取到內(nèi)的每一個(gè)數(shù).四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.如圖，在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且為銳角.（1）若，求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦二倍角公式可得，再由兩角和的余弦公式即可得，所以，可得，再由余弦定理計(jì)算可得；（2）設(shè)，利用誘導(dǎo)公式可得，在由正弦定理可得，再由余弦定理可得，結(jié)合角的范圍根據(jù)同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系可得.【小問(wèn)1詳解】由可得，又因?yàn)?，所以可得，即，可得；又，所以可得；因此，又，若，可得，可得；又，所以；由余弦定理可得，解得；【小?wèn)2詳解】設(shè)，則，由可得，在由正弦定理可得，即，可得，利用余弦定理可得，解得；所以可得，又為銳角，所以；可得.18.如圖所示，在直三棱柱中，，為中點(diǎn)，且，，.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，要證，只需證明即可.（2）由題意分別求出兩平面的法向量，然后求法向量夾角余弦的絕對(duì)值即可得解.【小問(wèn)1詳解】由題意，為中點(diǎn)，且，所以，所以，解得，所以，所以，即，取中點(diǎn)，則，又面，所以面，又面，所以，所以兩兩互相垂直，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：由題意，，，.所以，所以，所以，所以，即.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，所以，不妨設(shè)平面與平面的法向量分別為，所以，不妨取，解得，即可取平面的一個(gè)法向量為，同理有，不妨取，解得，即可取平面的一個(gè)法向量為，不妨設(shè)平面與平面夾角為，所以，即平面與平面夾角的余弦值為.19.已知數(shù)列滿足，正項(xiàng)數(shù)列滿足.當(dāng)時(shí)，記.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求.【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】【分析】（1）由題意可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，從而，，，由等比數(shù)列的定義證明即可；（2）由題意因式分解得到，再利用錯(cuò)位相減法求和.【小問(wèn)1詳解】由數(shù)列的通項(xiàng)公式，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，，，則，因?yàn)?，又所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，即，則，或（舍），當(dāng)時(shí)，，①則，②①-②：，所以，，即.20.某果農(nóng)種植了200畝桃，有10多個(gè)品種，各品種的成熟期不同，從五月初一直持續(xù)到十月底.根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)可知，上市初期和后期會(huì)因供不應(yīng)求使價(jià)格連續(xù)上漲，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價(jià)格連續(xù)下跌，現(xiàn)有三種價(jià)格模擬函數(shù)：①；②；③表示時(shí)間，以上三式中均為常數(shù)，且.（1）為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢(shì)，應(yīng)選擇哪個(gè)價(jià)格模擬函數(shù)，并說(shuō)明理由；（2）若，①求出所選函數(shù)的解析式（注：且，其中表示5月份下半月，表示6月份上半月，表示10月份下半月）；②若上市初期（5月份上半月）以7元銷售，為保證果農(nóng)的收益，計(jì)劃價(jià)格在7元以下期間進(jìn)行促銷活動(dòng)，請(qǐng)你預(yù)測(cè)該果農(nóng)應(yīng)在哪個(gè)時(shí)間段進(jìn)行促銷活動(dòng)，并說(shuō)明理由.【答案】（1）選擇③，理由見解析（2）①，且；②該果農(nóng)應(yīng)在月初到月底進(jìn)行促銷活動(dòng)，理由見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)①③的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論；（2）①由求出，即可求得函數(shù)解析式；②令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再取值進(jìn)而可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】對(duì)于函數(shù)①，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，不具有先升后降再升的特征；對(duì)于函數(shù)②，其不具有先升后降再升的特征；對(duì)于函數(shù)③，，因?yàn)?，則，設(shè)方程的兩根為，所以，所以，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)③具有先升后降再升的特征，故選③；【小問(wèn)2詳解】①，由，得，即，所以，解得，所以，且；②令，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，，，所以當(dāng)時(shí)，，所以該果農(nóng)應(yīng)在月上半月到月下半月進(jìn)行促銷活動(dòng).21.已知函數(shù).（1）若恒成立，求的范圍；（2）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）恒成立，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，則，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得解；（2）令，得或，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹愠闪ⅲ院愠闪?，令，則，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即，所以；【小問(wèn)2詳解】令，得，所以，解得或，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時(shí)，且，當(dāng)時(shí)，，如圖，作出函數(shù)的大致圖象，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合