2023年高考數(shù)學(xué)模擬卷7（新高考）含答案

【贏在高考?黃金8卷】備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考專用）

黃金卷07數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

一'單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共4（）分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（陜西省安康市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月第一次質(zhì)量聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）記集合

M=卜卜>|2},N=k|y=ln（x2_3x）},則（）

A.1x|2<x<3|B.{X上>3或工<一2}C.1x|0<x<2|D.|x|-2<x<3|

2.（2023?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿足回叫=l-2i,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z

Z

的虛部是（）

3.（2022?天津市南開(kāi)中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校高一階段練習(xí)）已知函數(shù)

/（力=2曲（5+夕）（。>0,0<9<?|的圖象的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為',y（o）=V2,則

/（%）=（）

A.在sin（2i+?）B.2sin（2x+：

C.VJsin（4x+?）D.2sinf4x+^-

4.（2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?高三期中（文））下列各式大小比較中，其中正確的是（）

11

A.y/l—y/5>>/5—y/3B.C.2In3<3In2Dn.log.-<

5.（2。22?河南?民權(quán)縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知雙曲線/*叱?！┑碾x心

率為孚右焦點(diǎn)為尸，直線均過(guò)點(diǎn)尸且互相垂直，4與雙曲線的右支交于4C兩點(diǎn),

四

與雙曲線的左支交于8點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)4。,8三點(diǎn)共線時(shí),)

叫

A.2B.3C.4D.5

6.（2022?湖南?高二期末）第19屆亞運(yùn)會(huì)即將在西子湖畔--杭州召開(kāi)，為了辦好這一屆"中

國(guó)特色、浙江風(fēng)采、杭州韻味、精彩紛呈"的體育文化盛會(huì)，杭州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)決定進(jìn)行賽

會(huì)志愿者招募，在杭大學(xué)生紛紛踴躍參加.現(xiàn)有4名大學(xué)生志愿者，通過(guò)培訓(xùn)后，擬安排在

游泳、籃球、體操三個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行志愿者服務(wù)，假設(shè)每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者，且每位志

愿者只能參與其中一個(gè)項(xiàng)目，在甲被安排到游泳項(xiàng)目的條件下，乙也被安排到游泳項(xiàng)目的概

率為（）

/、\ax+\—2a.x<1

7.(2022?廣東廣東?高一期中)已知函數(shù)/(x)=12j，若存在xrX2eR,x尸X2,

[X-ClXyX21

使/(再)=/(々)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[0,2)B.(-8,0]C.(-8,0]“2,+QO)D.(-oo,0]u(2,+oo)

8.（2021,全國(guó)?高二專題練習(xí)）如圖，在圓錐SO中，A,8是。。上的動(dòng)點(diǎn),

88'是的直徑，M,N是S8的兩個(gè)三等分點(diǎn)，NAOB=/0<9<7）,

記二面角N-O4-8,"-N9-8的平面角分別為a,P,若,則。

的最大值是（）

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（2022?江蘇?南京師大附中高二期中）為迎接黨的二十大勝利召開(kāi)，某中學(xué)舉行黨史知識(shí)

競(jìng)賽，對(duì)全校參賽的1000名學(xué)生的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分?jǐn)?shù)據(jù)按照

［50,60b［60,70）、［70,80）、［80,90）、［90,100］分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根

B.得分在區(qū)間［60,70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為200

C.該校學(xué)生黨史知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)大于80D.估計(jì)該校學(xué)生黨史知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平

均數(shù)落在區(qū)間70,80）內(nèi)

10.（2022?福建?廈門市湖濱中學(xué)高二期中）如圖是常見(jiàn)的一種滅火器消防箱，抽象成數(shù)學(xué)模

型為如圖所示的六面體，其中四邊形4OE”和8crG為直角梯形，A,D,C,8為直角頂

點(diǎn)，其他四個(gè)面均為矩形，AB=BG=3,FC=4,BC=\,下列說(shuō)法不正確的是（）

A.該幾何體是四棱臺(tái)

B.該幾何體是棱柱，平面n8a5是底面

C.EG1HC

D.平面EFG”與平面/8CZ）的夾角為45。

11.（2022?湖北,恩施市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓

C:（x-cos。）-+（y-sin?y=1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.圓。恒過(guò)原點(diǎn)O

B.圓。與圓/+/=4外切

C.直線x+y=乎被圓。所截得弦長(zhǎng)的最大值為G

D.直線xcosa+jsina=0與圓。相切或相交

12.（2022?福建?莆田華僑中學(xué)高二期中）已知數(shù)列｛叫滿足％=28,

外,=［2（-'）”+〃卜“7（〃22）,?eN\數(shù)列｛"｝的前N項(xiàng)和為S,,,且

2=1。82（42,+2.%1）-1。82（"2""2"+|），則下列說(shuō)法正確的是（）

A.2=21

。2

B.axa2=16

c.數(shù)列［%曰］為單調(diào)遞增的等差數(shù)列

IJ

D.滿足不等式s“-5>0的正整數(shù)〃的最小值為63

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(2022?上海交大附中高一期末)古代典籍《周易》中的"八卦"思想對(duì)我國(guó)的建筑有一定

影響.圖1是受"八卦"啟示設(shè)計(jì)的正八邊形的八角窗.在正八邊形/8CQE尸G"中，若

就=》布+y而(x,yeR),則x+y=.

14.(2022?天津市匯文中學(xué)高三期中)(1-9]的展開(kāi)式中，的系數(shù)是

.(用數(shù)字填寫答案)

15.(2022?上海市金山中學(xué)高二期末)已知百、"為雙曲線C：*-g=l(a>0,6>0)的兩個(gè)焦

點(diǎn)，P、。為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且|尸。|=|耳名若直線尸。的傾斜角為。，則

C的離心率為—.

16.(2020?黑龍江?哈九中高三期末(文))若存在實(shí)常數(shù)無(wú)和6,使得函數(shù)尸(x)和G(x)對(duì)

其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足/(x)WH+6和G(x)<kx+b恒成立，則稱直線

y=+b為尸(x)和G(x)的"隔離直線已知函數(shù)/(x)=e3,g(x)=/(x<0),

〃(x)=2elnx,則有下列命題：

①y=-g(x)與〃(x)有"隔離直線"；

②/(X)和g(x)之間存在"隔離直線"，且b的最小值為-4；

③〃x)和g(x)之間存在"隔離直線"，且左的取值范圍是(T0];

④〃x)和A(x)之間存在唯一的"隔離直線"y=2&x-e.

其中真命題的序號(hào)為.(請(qǐng)?zhí)钌纤姓_命題的序號(hào))

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(河北省張家口市部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)已知正項(xiàng)數(shù)列｛q｝的前"

項(xiàng)和為S,,其中4=2,4S,,=(a“+l)2+4(〃N2,〃eN*).

⑴求｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式，并判斷｛見(jiàn)｝是否是等差數(shù)列，說(shuō)明理由；

11111

(2)證明:當(dāng)〃22時(shí),-----------1------------H-------------+…H----------------<—

%牝。2。3%”/用3?

18.(2022?湖北?華中師大一附中高三期中)在銳角“8C中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為

a,h,c,已知+〃-°2)=26csirb4.

⑴求sin'N+cos*的取值范圍；

(2)若。是/B邊上的一點(diǎn)，且3:08=1:2,CD=2,求"8C面積的最大值.

19.（2022?黑龍江?哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱R8C-48c中，△48修為等邊

三角形，四邊形44￡田為菱形，AC1BC,AC=4,BC=3.

⑴求證：ABt1AtC；

⑵線段CG上是否存在一點(diǎn)E，使得平面“耳E與平面/8C的夾角的余弦值為!？若存在,

4

求出點(diǎn)E的位置：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.（2022?上海市金山中學(xué)高二期末）近兩年因?yàn)橐咔榈脑?，線上教學(xué)越來(lái)越普遍了.為

了提升同學(xué)們的聽(tīng)課效率，授課教師可以選擇在授課過(guò)程中進(jìn)行專注度監(jiān)測(cè)，即要求同學(xué)們

在10秒鐘內(nèi)在軟件平臺(tái)上按鈕簽到，若同學(xué)們能夠在10秒鐘內(nèi)完成簽到，則說(shuō)明該同學(xué)在

認(rèn)真聽(tīng)課,否則就可以認(rèn)為該同學(xué)目前走神了.經(jīng)過(guò)一個(gè)月對(duì)全體同學(xué)上課情況的觀察統(tǒng)計(jì),

平均每次專注度監(jiān)測(cè)有90%的同學(xué)能夠正常完成簽到.為了能夠進(jìn)一步研究同學(xué)們上課的

專注度情況，我們做如下兩個(gè)約定：

①假設(shè)每名同學(xué)在專注度監(jiān)測(cè)中出現(xiàn)走神情況的概率均相等；

②約定每次專注度監(jiān)測(cè)中，每名同學(xué)完成簽到加2分，未完成簽到加1分.

請(qǐng)回答如下兩個(gè)問(wèn)題：

⑴若一節(jié)課老師會(huì)進(jìn)行3次專注度監(jiān)測(cè)，那么某班同學(xué)在3次專注度監(jiān)測(cè)中的總得分的數(shù)

學(xué)期望是多少？

⑵記某位同學(xué)在數(shù)次專注度監(jiān)測(cè)中累計(jì)得分恰為〃分的概率為乙（比如：々表示累計(jì)得分

為1分的概率，鳥(niǎo)表示累計(jì)得分為2的概率），求：

①代*「2｝的通項(xiàng)公式；

②｛勺｝的通項(xiàng)公式.

v-2y2

21.（2022?重慶?高二階段練習(xí)）已知橢圓C:三+=l(a>6>0)過(guò)點(diǎn)”且離

aF

心率為e=——-

2

⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)橢圓C和圓O：/+/=1.過(guò)點(diǎn)4（機(jī),0）（機(jī)＞1）作直線4和加且兩直線的斜率之積等于

1,/1與圓。相切于點(diǎn)P,4與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N.

（i）求加的取值范圍；

（ii）求AOMN面積的最大值.

22.(2022?重慶一中高三期中)已知函數(shù)/(x)=orlnx,g(x)=-xe'+ex(x>0),(aeR,

g(x),g(x)</(x)

e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),

/(x),g(x)>/(x)'

⑴若〃x)與g(x)在x=l處的切線相互垂直，求。的值并求九門)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)若4=e,4(占)=力(*2)=〃(七)，口＞》2＞演，且彳2=加%,證明：當(dāng)機(jī)e(l,e)時(shí),

【贏在高考?黃金8卷】備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)模擬卷(新高考專用)

黃金卷07數(shù)學(xué)

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

一'單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共4()分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(陜西省安康市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月第一次質(zhì)量聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題)記集合

M=N|x|>2},N=k|y=ln(x2-3x)},則()

A.|x[2<x<31B,卜上>3或》<-2}C.1x|0<x<2jD.|x|-2<x<3}

【答案】B

【分析】先解不等式確定集合M,N,然后再根據(jù)交集的定義求其交集即可.

【詳解】|X|>2,:.X>2或x<-2,

所以集合M=卜,>2或x<-2},

N=卜——3x>o}={x|x<0或>3},

所以〃八7=卜,>3或工<-2}.

故選:B.

2.(2023?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè))若復(fù)數(shù)z滿足包包=l-2i,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z

Z

的虛部是()

1010...一

A.---B.---1C.21D.2

33

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求得z即可求得虛部.

【詳解】由已知匡四=I-2i,故5=(l-2i)z=z=q-l+2i,

故z的虛部是2.

故答案為：D

3.(2022?天津市南開(kāi)中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校高一階段練習(xí))已知函數(shù)

/(x)=2sin(<yx+e)(o>0,0〈夕〈口的圖象的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為/(0)=五，貝！|

/")=()

A.0sin(2x+?)B.2sinf2x+^-j

C.V2sinI4x+—D.2sin(+

4

【答案】B

【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為求出周期，算出。的值，再根據(jù)

/（0）=&求出。的值，即可得到答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（力=2的11（0X+夕）（0>0,0<夕<］）的圖象的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為、,

所以7=^x2=%,所以。=至=至=2,所以/（x）=2sin（2x+g）,

2TTC

又因?yàn)?（0）=&,所以/（O）=2sin*=0,解得sing=孝，

因?yàn)?<9<5，所以9=（,所以/（x）=2sin（2x+?）.

故選：B.

4.（2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?高三期中（文））下列各式大小比較中，其中正確的是（）

/、1

A.yfj—y/5>yfs—y/3B.tan—<sinJC.21n3<3In2D.10gl

【答案】D

【分析】由不等式的性質(zhì)，三角函數(shù)和指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，逐個(gè)判斷選項(xiàng)是否正確.

【詳解】（4+0『=io+2屈<（指+6『=10+2岳，二近+石〈石+喬，即

出-亞〈亞-也,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

7T----1--->1.4.乃71sin—q71

vO<cos—<1,則71，得sin(——)=sin—<———=tan—,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

5cos—5545

5cos—

5

21n3=ln9>ln8=31n2,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

（｛T14（里選項(xiàng)D正確.

log1^=log52<log5正=:

522

故選：D

5.（2022,河南?民權(quán)縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知雙曲線L=l（a>0,b>0）的離心

率為半’右焦點(diǎn)為尸’直線44均過(guò)點(diǎn)尸且互相垂直’4與雙曲線的右支交于4c兩點(diǎn)

4與雙曲線的左支交于B點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)4。,8三點(diǎn)共線時(shí)，除=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)題意作出圖形，由雙曲線的對(duì)稱性及雙曲線的定義，利用勾股定理建立方程求

解可得.

【詳解】設(shè)雙曲線另一焦點(diǎn)為F，連接/尸,。尸',8尸'，如圖，

所以由雙曲線的對(duì)稱性知，四邊形"尸52'為矩形，

設(shè)|/F|=x,|FC|=/x,貝"/F'|=2a+x,|CF'|=2a+tx,

在尸戶中，|/尸'『+|4尸『=|產(chǎn)戶『，即Qa+xA+J=4c）,

又e=@^,解得x=?；騲=-3a（舍去），

2

在RfA4RC中,|/F'|2+|4C|2=|CFT，即（2“+4+（a+s>=（2a+s>,

FC\

解得，=3,即謁=3.

故選：B

6.（2022?湖南?高二期末）第19屆亞運(yùn)會(huì)即將在西子湖畔--杭州召開(kāi)，為了辦好這一屆"中

國(guó)特色、浙江風(fēng)采、杭州韻味、精彩紛呈"的體育文化盛會(huì)，杭州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)決定進(jìn)行賽

會(huì)志愿者招募，在杭大學(xué)生紛紛踴躍參加.現(xiàn)有4名大學(xué)生志愿者，通過(guò)培訓(xùn)后，擬安排在

游泳、籃球、體操三個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行志愿者服務(wù)，假設(shè)每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者，且每位志

愿者只能參與其中一個(gè)項(xiàng)目，在甲被安排到游泳項(xiàng)目的條件下，乙也被安排到游泳項(xiàng)目的概

率為（）

11-12

A.—B.-C.-D.-

12649

【答案】B

【分析】利用條件概率的公式直接求解即可.

【詳解】記"甲被安排到游泳項(xiàng)目”為事件/，記"乙也被安排到游泳項(xiàng)目"為事件8，

甲被安排到游泳項(xiàng)目分為兩類，甲一人被安排到游泳項(xiàng)目的種數(shù)為C；A；,

兩人被安排到游泳項(xiàng)目的種數(shù)為C；A：,

故種數(shù)為C；A；+C；A；=12,

甲乙被同時(shí)安排到游泳項(xiàng)目的種數(shù)為A：=2,

所求概率為尸(/用、/)n(=AB晶\=國(guó)A表?法1

故選:B.

/、fax+l-2a,x<1

7.(2022?廣東廣東?高一期中)已知函數(shù)/(x)=|,、，，若存在xr2eR,x產(chǎn)》2,

lx_ax,x21

使/(為)=/('2)成立，則實(shí)數(shù)0的取值范圍是()

A.[0,2)B.(—oo,0]C.(―oo,0]o[2,+oo)D.(―oo,0](2,+oo)

【答案】D

【分析】對(duì)〃進(jìn)行分類討論，結(jié)合直線、拋物線的知識(shí)求得。的取值范圍.

【詳解】axl+l-2a=l-a,l2-ax1=l-a,

y=奴+1-2。=。(工一2)+1,過(guò)定點(diǎn)(2,1),

y=，一々工開(kāi)口向上，對(duì)稱軸x=g

當(dāng)時(shí),/(%)在(-8,1)遞減,在(1,+8)遞增,最小值為/(1)=1一。，

根據(jù)直線和拋物線的知識(shí)可知：存在X,/WR/產(chǎn)》2,使/(須)=/(9)成立.

當(dāng)a=0時(shí)，/(力=[；241，/(一2)=/(-1)=1，

所以存在國(guó),3eR,±W3，使/'(玉)=/(々)成立，

當(dāng)0<]41,0<a42時(shí)，/(x)在(-oo,l)上遞增，在(1,+8)遞增，

即/(x)在R上遞增，所以不存在符合題意的外.

當(dāng)]>l,a>2時(shí)，/(x)在(-8,1)上遞增，在(1段)上遞減，在+1上遞增，

根據(jù)直線和拋物線的知識(shí)可知：存在X1,%eR,x產(chǎn)X.使/(再)=〃》2)成立.

綜上所述，。的取值范圍是(-8,0]口(2,+8).

故選：D

【點(diǎn)睛】對(duì)于含有參數(shù)的分段函數(shù)的分析，關(guān)鍵在于對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，本題中，涉及直

線、拋物線，參數(shù)與直線的單調(diào)性、拋物線的對(duì)稱軸(單調(diào)性)有關(guān)，由此可確定分類的標(biāo)

準(zhǔn)，從而使分類做到“不重不漏"

8.(2021?全國(guó)?高二專題練習(xí))如圖，在圓錐SO中，A,B是。。上的動(dòng)點(diǎn)，88'是。。的

直徑，M,N是S8的兩個(gè)三等分點(diǎn)，乙4。3=。（0＜。＜萬(wàn)），記二面角N-O4-8,

的平面角分別為a,P，若夕4夕，則，的最大值是（）

【答案】B

【解析】設(shè)底面圓的半徑為，\OS=a,以小8所在直線為x軸，以垂直于所在直線為V軸,

以O(shè)S所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).利用法向量求得二面角

雙-。1-8與河-48'-8夾角的余弦值.結(jié)合&4夕即可求得。的取值范圍,即可得。的最大

值.

［詳解］設(shè)底面圓的半徑為r,OS=a，以B'B所在直線為x軸，以垂直于B'B所在直線為V軸,

以O(shè)S所在直線為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示：

則由//08=。（0＜。＜萬(wàn)）

可得O（0,0,0）,B（，,0,0）,S（0,0,a）,」（rcosarsine0）,B（f,0,0）

M,N是SB的兩個(gè)三等分點(diǎn)

則叱，（用N仔畤）

所以。4=（/-cos0,rsin0,0\ON=（半上］

設(shè)平面NOA的法向量為〃?=（%,必,4）

(%j[,zj(rcose/sin，,0)=0

麻簪:，代入可得，

則

mON=0=0

Wcos8+必尸sin6=0

化簡(jiǎn)可得<2卬,%_0

、丁+丁一

cos0

令X1=1,解得兇=-

府'馬a

cos。2r

所以加=1,-

sin。'a

平面045的法向量為〃=(0,0,1)

由圖可知，：面角N-OZ-8的平面角。為銳：面角，所以二面角N-O4-8的平面角。滿

足

_2r

m-n______a______

cosa=一_

m?ncos204r7

1+Uq+、

sin0a

設(shè)二面角A/-49-8的法向量為兄=(工2，及*2)

-——rcos。,一廠sin。衛(wèi)

=(r+rcos^,rsin6^,0),AM

33

(4,外，之2).(〃+，■cos。,/,sin&0)=0

k.B'A=Q,、、一,?

則_____代入可得《1?一尸cos。,一尸sinO'Fj=0

k-AM=0(》2，%/2>

x2r+x2rcos0+y2rsin0=0

化簡(jiǎn)可得xrc?八2az八

—2——xrcos6*-^rsinc/4-2=0

.3223

人i&刀/nT-cosJ

令解得及=1^-*2=

所以左=1,-l-cos02r

sin。a

平面485的法向量為3=(0,0,1)

由圖可知，二面角的平面角尸為銳二面角，所以二面角的平面角夕

滿足

cos4=+

k

由二面角的范圍可知04a4夕《萬(wàn)

結(jié)合余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知cosaWcosA

化簡(jiǎn)可得cos。4,且0<0〈不

2

所以0<"至

3

所以。的最大值是g

故選:B

【點(diǎn)睛】本題考查了空間直角坐標(biāo)系在求二面角中的綜合應(yīng)用,根據(jù)題意建立合適的空間直

角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，即可求解.本題含參數(shù)較多,化簡(jiǎn)較為復(fù)雜，屬于難題.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.(2022?江蘇?南京師大附中高二期中)為迎接黨的二十大勝利召開(kāi)，某中學(xué)舉行黨史知識(shí)

競(jìng)賽，對(duì)全校參賽的1000名學(xué)生的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分?jǐn)?shù)據(jù)按照

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90).[90,100]分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根

A.a=0.01

B.得分在區(qū)間[60,70)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為200

C.該校學(xué)生黨史知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)大于80

D.估計(jì)該校學(xué)生黨史知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)落在區(qū)間[70,80)內(nèi)

【答案】ABD

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)直接計(jì)算即可.

【詳解】對(duì)于A,由頻率分布直方圖性質(zhì)得：(a+0.02+0.035+0.025+a)xl0=l,解得。=0.01,

故A正確；

對(duì)于B,由頻率分布直方圖得：成績(jī)落在區(qū)間［60,70)的頻率為0.2,所以人數(shù)為

0.2x1000=200,故B正確;

對(duì)于C,由頻率分布直方圖得：［50,70)的頻率為(0.01+0.02)x10=0.3,［70,80)的頻率為

0.035x10=0.35,所以成績(jī)的中位數(shù)位于區(qū)間［70,80)內(nèi)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,估計(jì)成績(jī)的平均數(shù)為：

x=55xO.OlxlO+65xO.O2xlO+75xO.O35xlO+85xO.O25xlO+95xO.OlxlO=75.5,

的平均數(shù)落在區(qū)間［70,80)內(nèi)，故D正確.

故選：ABD.

10.(2022?福建?廈門市湖濱中學(xué)高二期中)如圖是常見(jiàn)的一種滅火器消防箱，抽象成數(shù)學(xué)模

型為如圖所示的六面體，其中四邊形4OE4和8bG為直角梯形，A,D,C,8為直角頂

點(diǎn)，其他四個(gè)面均為矩形，AB=BG=3,FC=4,8c=1,下列說(shuō)法不正確的是()

A.該幾何體是四棱臺(tái)

B.該幾何體是棱柱，平面/8C。是底面

C.EGA.HC

D.平面EFGH與平面的夾角為45。

【答案】ABC

【分析】根據(jù)臺(tái)體、柱體、空間直角坐標(biāo)系、線線垂直、面面角等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從

而確定正確答案.

【詳解】因?yàn)樗倪呅蝀OE"和8CFG為直角梯形，A,D,C,8為直角頂點(diǎn)，其他四個(gè)面

均為矩形，

所以這個(gè)六面體是四棱柱，平面和平面8BG是底面，故A,B錯(cuò)誤；

由題意可知D4,DC,OE兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則￡(0,0,4),G(l,3,3),。(0,3,0),4(1,0,3),函=(1,3,-1),麗=(1,-3,3),

則訪.麗=1-9-3=-11H0，所以EG,"C不垂直，故C錯(cuò)誤；

根據(jù)題意可知DE平面ABCD，所以詼=(0,0,4)為平面ABCD的一個(gè)法向量，

￡77=(l,O,-l),/7G=(0,3,0),

設(shè)"=(x,y,z)為平面EFGH的法向量,

n-EH=x-z=0,_-

則有■—.則可取“=(1,0,1)，

n-HG=3y=0,

..1?DE4yfl

則cos〈〃,DE)=———=-=-----7==——,

\n\'\DE\4xV22

所以平面EFGH與平面/8C7）的夾角為45°,故D正確.

故選：ABC

11.（2022?湖北?恩施市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓

C:（x-cos?）2+（y-sin9）~=1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.圓。恒過(guò)原點(diǎn)。

B.圓。與圓/+/=4外切

C.直線x+y=乎被圓。所截得弦長(zhǎng)的最大值為G

D.直線xcosa+ysina=0與圓。相切或相交

【答案】ACD

【分析】A.代入點(diǎn)（0,0）可判斷：B.計(jì)算圓心距離與半徑差的大小關(guān)系；C.利用垂徑定理求弦

長(zhǎng)然后求最值；D.求圓心到直線的距離來(lái)判斷.

【詳解】對(duì)于A：代入點(diǎn)（0,0）得（-小好+（旬11。）2=1恒成立，A正確;

對(duì)于B：7cos2^+sin2^=|l-2|,即兩圓心距離等于兩圓半徑差，兩圓內(nèi)切，B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：直線x+y=乎被圓。所截得弦長(zhǎng)為

(3Y-nn372

sine+cose-九2sme+cosd-亍

_____________2J_____________L

,/sin0+cos0=-/2sin

sinO+cos。一乎］，

川」—-w1-^V3，

即直線x+y=挈;被圓Q所截得弦長(zhǎng)的最大值為G，C正確：

Icos0cosa+sin^sin6r|1?/x）

對(duì)于D：圓心到直線的距離J~2=|cos（0-a）|<1,故圓和直線相切或相交,

Vcos-a+sina

D正確；

故選：ACD.

12.（2022?福建?莆田華僑中學(xué)高二期中）已知數(shù)列｛q｝滿足%=28,

%=［2（寸+〃卜…（〃42）,〃eN",數(shù)列｛4｝的前w項(xiàng)和為國(guó)，且

bloaIofl

n=g2（?2?+2-2n-\）"g2（?2?,2?+l）>則下列說(shuō)法正確的是（）

A.包=21

。2

B.a2=16

C.數(shù)列&曰I為單調(diào)遞增的等差數(shù)列

I?2?

D.滿足不等式5,-5>0的正整數(shù)〃的最小值為63

【答案】ABD

【分析】由％=28和遞推公式/=12（叫"+〃卜"玲%=8玲卬=2,a4=168^A選項(xiàng)正確，

B選項(xiàng)正確；

[2(T)"+〃]%T(〃W2)-.=2㈠)”+〃玲芻『2卜/+2〃=方+2為單調(diào)遞增的等差數(shù)

L」an-\a2n-\

列玲C選項(xiàng)不正確;

"=1。82"+2>，=[082山.>5玲〃>62玲。選項(xiàng)正確

〃+12

【詳解】因?yàn)椤?=28,所以包=2川.出+31=28,所以。2=8,

則。2=2（-'）?。［+2。］=8,解得6=2,

4=2（-碟嗎+4%=168,所以%'=21,。/%=16,所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)正確:

a2

因?yàn)樵?[2(')+〃卜“_I(”22),所以B~=2S)+n(n>2),

fl—1

所以?=2(T『"+2〃=2〃+2,又〃eN*,

a2n-\

所以馬1-一包m=2"+2_2“=2,〃GN，

a2n-\a2n-3

所以［2］為單調(diào)遞增的等差數(shù)列,

I*J

則數(shù)列%口;不是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，所以c選項(xiàng)不正確:

Ia2n

々"+2=2(-產(chǎn)+2〃+2=2〃+4,

〃+2

則b“=log?(a2n+2-^-1)-^2(a2n-a2n+i>log2log2

a2na2n+\n+1

o[3]4[n+1.n+2134〃+1〃+21〃+2v

邑=皿2+噫3+…+噫〃+bg\+廣噫xx?xxlog>5,

23nn+122

解得〃>62,乂“wN*，

所以正整數(shù)〃的最小值為63,所以D選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】數(shù)列問(wèn)題，常常需要由遞推公式求出通項(xiàng)公式，方法有累加法，累乘法，構(gòu)造法等,

要根據(jù)數(shù)列特征選擇不同的方法.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2022?上海交大附中高一期末）古代典籍《周易》中的"八卦"思想對(duì)我國(guó)的建筑有一定

影響.圖1是受"八卦"啟示設(shè)計(jì)的正八邊形的八角窗.在正八邊形N8CQE尸GH中，若

TC=xAB+yAH［x,y&^,則x+V=.

【答案】亞+2##2+血

【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量的線性運(yùn)算分析運(yùn)算.

【詳解】如圖，連接CH,則N8/CH,

不妨設(shè)”=2,則C〃=20+2，即沅=（正+1）而，

：.AC=AH+HC=（y/2+\）AB+AH,則x=0+l,y=l,

故x+y=啦+2.

故答案為：亞+2.

GF

14.（2022?天津市匯文中學(xué)高三期中）的展開(kāi)式中，/的系數(shù)是

.（用數(shù)字填寫答案）

35

【答案】v

O

【分析】寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，然后計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)椋〒{-9）的通項(xiàng)公式為4“=c;

令8-==2得廠=4,則其系數(shù)為與=受.

2248

35

故答案為：—

O

15.（2022?上海市金山中學(xué)高二期末）已知耳、只為雙曲線C:￡-1=l（a>0/>0）的兩個(gè)焦

a~b

點(diǎn)，P、。為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且|尸。目片KI，若直線戶。的傾斜角為。，則

C的離心率為.

【答案】6+1##1+0

【分析】由題意畫出圖形，可得△008為正三角形，進(jìn)一步得到四邊形尸鳥(niǎo)。耳為矩形，再

由雙曲線的定義求解得答案.

又|「。|=|4名|,二|0。|=|。8|,可得4。。鳥(niǎo)為正三角形，

由對(duì)稱性可得，四邊形尸鳥(niǎo)。片為矩形，得到|P4|=c,|Pg|=Jic,

由雙曲線定義可得，gc—c=2a，

??e=-\/3+1，

故答案為：A/3+I.

16.(2020?黑龍江?哈九中高三期末(文))若存在實(shí)常數(shù)左和6,使得函數(shù)尸(x)和G(x)對(duì)

其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足尸(x)2履+6和G(x)4七+6恒成立，則稱直線

y=4x+b為尸(x)和G(x)的"隔離直線已知函數(shù)/(x)='(xeR),g(x)=-(x<0),

h(x)=2elnx,則有下列命題：

①J=-g(x)與〃(力有〃隔離直線”;

②“X)和g(x)之間存在"隔離直線"，且b的最小值為-4：

③/(x)和g(x)之間存在"隔離直線"，且無(wú)的取值范圍是(-4叫；

④/(X)和〃(x)之間存在唯一的"隔離直線"y=2-e.

其中真命題的序號(hào)為.(請(qǐng)?zhí)钌纤姓_命題的序號(hào))

【答案】②④

【分析】利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合"隔離直線"的定義可判斷①的正誤；利用“隔離直線”的定義求出6、

大所滿足的不等式，求出左、6的取值范圍，可判斷②③的正誤；求出函數(shù)〃x)和〃(x)圖

象的公共點(diǎn)以及公切線方程，結(jié)合利用導(dǎo)數(shù)法證明出〃x)22&x-e、g(x)42&x-e,結(jié)

合"隔離直線”的定義可判斷④的正誤.

【詳解】對(duì)于①，構(gòu)造函數(shù)s(x)=/(x)+g(x)=x2+：,其中x<0,

則夕'(》)=2工-3=壬4<0,所以，函數(shù)s(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

?"(-1)=0,當(dāng)x<-l時(shí)，夕(x)>/(-l)=0,此時(shí)/(x)>-g(x)；

當(dāng)一l<x<0時(shí)，*(x)<a(-l)=0,此時(shí)〃x)<-g(x).

所以，y=-g(x)與〃(力不存在“隔離直線”,①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，設(shè)f(x)和g(x)之間的"隔離直線”為八七+b，

當(dāng)x<0時(shí)，x2>~,則f2米+6在(-8,0)上恒成立，

X

設(shè)工(x)=x2-b-b,二次函數(shù)工(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=?

當(dāng)先20時(shí),則工(0)=-620,可得640；

,k2

當(dāng)〃<o時(shí)，A=r+4b40,y'U<--.

4

不等式h+62」在(-叫0)上恒成立，即62!一去在(-嗎0)上恒成立,

XX

若上>0,函數(shù)y=g-去在(-8,0)上單調(diào)遞減，該函數(shù)在(-8,0)上無(wú)最小值，此時(shí)6無(wú)解;

若&=0,可得62：,當(dāng)xe(-a),0)時(shí)，le(-oo.O),則620；

XX

若左<0,則6N—kx,

x

由基本不等:式川得!一京=一(一+0-21[---Ax=-2j~-k,

當(dāng)且僅當(dāng)工=一亍不時(shí)，等號(hào)成立，貝-2日^.

由上可知,當(dāng)」=0時(shí),6=0；

,—E7—k2

當(dāng)左<0時(shí)，-2y/-k<b<-,k=0,6=0也滿足一2口WbW—"，

44

由上可知一2口《—整理可得一64A2/,即左(r+64)?0,.-.^<^<0.

由題意可知，卜2，了)<b<，所以一44640,故②正確；

I/max

對(duì)于③，由②可知，-4<A:<0,故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，/(x)=x\h(x)=2e\nx,則/(八)=e,h(&)=2dn&=e,則=

所以，函數(shù)/(》)、g(x)的圖象的公共點(diǎn)為(及同，

/z(x)=2x,則/"(")=2及，8<%)=弓，則/(旬=2及\所以，ff^y/e^=gr(e},

所以，函數(shù)〃力、g(x)的圖象在公共點(diǎn)處有公切線J"?=)，即

y=2\[ex-e.

構(gòu)造函數(shù)0[(工)=工2一(2丘￥-6)=工2一2血工+2=[一&)>0,所以，j\x)>2y[ex-e.

構(gòu)造函數(shù)仍(%)=2eInx-^2y[ex~e^=2e\nx-2+e,

則*x)=%-2&=2&傕T.

XX

當(dāng)0<x<五時(shí)，以(x)>0,此時(shí)函數(shù)外(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>J時(shí),a(x)<0,此時(shí)函數(shù)02(x)單調(diào)遞減.

所以，夕2(x)W/2(〃)=°，即g(x)42j^x-e.

綜上可知，/(x)和力⑺之間存在唯一的"隔離直線"夕=2八x-e,④正確.

故答案為：②④.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式/(x)>g(x)(或y(x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明/(X)—g(x)>o

(或/(x)-g(x)<0),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)A(x)=/(x)-g(x)；

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論：

(3)構(gòu)造"形似"函數(shù)，梢作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函

數(shù).

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(河北省張家口市部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)已知正項(xiàng)數(shù)列｛對(duì)｝的前”

項(xiàng)和為E,,其中4=2,4S“=(%+了+4(〃22,〃eN*).

⑴求｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式，并判斷｛%｝是否是等差數(shù)列，說(shuō)明理由；

1111I

(2)證明：當(dāng)“N2時(shí)，——+——+——+-??+-----<r.

?2?3?3?43

[2,w=1..

【答案】(1)4=2；_1“>2,數(shù)列｛%｝不是等差數(shù)列，理由見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析.

2

【分析】(1)由45.=(%+爐+4得，當(dāng)〃23時(shí)，45?_1=(a?.,+l)+4,然后兩式相減得

a,.~a,-=2,即數(shù)列｛a?｝從第2項(xiàng)起為等差數(shù)列，根據(jù)4s“=(a.++4和q=2得到出=3,

即可得到電-4=1=2,數(shù)列｛/｝不是等差數(shù)列，然后求通項(xiàng)即可；

(2)利用裂項(xiàng)相消的方法求」一+'+—!—+???+」一，即可證明

%牝見(jiàn)七%%”/,用

11111

+++…+>

%%。2a3的444+i3，

【詳解】11)由45“=(a“+l)+4得，、'i"N3時(shí)，4s++4,兩式相減得

4%=(%+1y-(a“_i+1y，整理得%-2)=0,

因?yàn)閿?shù)列｛%｝為正項(xiàng)數(shù)列，所以a,,+a“一產(chǎn)0,則見(jiàn)-41-2=0,BPa?-a,,..=2,

在4\=（%+1）2+4中，令〃=2,則4s2=4《+4%=（。2+1『+4，解得。？=3或-1（舍去）,

所以的-q=l,數(shù)列｛““｝從第2項(xiàng)起為等差數(shù)列，公差為2,

[2,=1（、

所以“>2‘?dāng)?shù)列不是等差數(shù)列.

（2）1

當(dāng)〃“時(shí)，T77=（2?-l）（2n+l）4（

2n-l2n+l

所以當(dāng)"22時(shí)，——+——+——+?--+-----=—r+-

aa

xia2a34,a”+i2x32

32⑵7+1）

18.（2022?湖北?華中師大一附中高三期中）在銳角』5c中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為

a,b,c,已知6（/+〃-c?）=2bcsirt4.

⑴求sinZN+cos,B的取值范圍；

⑵若。是邊上的一點(diǎn)，且仞:。8=1:2,CD=2,求"8C面積的最大值.

【答案】⑴口,二]

【分析】（1）先求出C，再根據(jù)三角變換公式化簡(jiǎn)si/Z+co/B，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可求

其取值范圍；

（2）根據(jù)題設(shè)可得而=；而+|行，平方后利用基本不等式可求（“與1rax=6,故可求面積

的最大值.

【詳解】（1）因?yàn)?（〃2+/—。2）=2Asi故行（/+b2—a2—/+2〃bcosC）=2AsiM,

整理得到：2也abcosC=2bcs\nA即\[3acosC=csiir4，

故VJsinAcosC=sinCsin4,而A為三角形內(nèi)角，故sin4>0,

所以JJcosC=sinC,故tanC=JJ,而C為銳角三角形內(nèi)角，故C=m.

sinZ+cos%=1+；（cos28一cos24）

=1+；cos25-cos2^-，）]

=1+；cos28-cos(：-25

=1+—3co