2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（藝考）第03講二項(xiàng)式定理高頻考點(diǎn)（原卷版）

第03講二項(xiàng)式定理（精講）

目錄

第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶

第二部分：典型例題剖析

題型一：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)及其應(yīng)用

角度1：求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)（或系數(shù)）

角度2：兩個(gè)二項(xiàng)式之積中特定項(xiàng)（或系數(shù)）問(wèn)題

角度3：三項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)（或系數(shù)）問(wèn)題

題型二：二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)的系數(shù)和問(wèn)題

題型三：項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

角度1：二項(xiàng)式系數(shù)最大問(wèn)題

角度2：系數(shù)最大問(wèn)題

第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶

知識(shí)點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理

（1）二項(xiàng)式定理

一般地，對(duì)于每個(gè)左（々=0,1,2門.〃），（。+與”的展開(kāi)式中廢一%人共有0個(gè)，將它們合并同類項(xiàng)，

22rn

就可以得到二項(xiàng)展開(kāi)式：（a+b）"=C：a"b°+C'na'-'b'+C；,a'-b+…+Cna-b'+…+（〃eN*）.

這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理.

（2）二項(xiàng)展開(kāi)式

公式中：（?+b）n=C°anb°+C\an-'b'+C^a"-2b2+…+￡/"+???+C：a°b",neN*等號(hào)右邊的

多項(xiàng)式叫做+bY的二項(xiàng)展開(kāi)式.

（3）二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)

二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C,："=0,1,2,…〃），項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分,包含符

號(hào)等.

（4）二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)

二項(xiàng)展開(kāi)式中的"（攵=0,1,2,…〃）叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用，+1表示,即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第

Z+1項(xiàng)：Tk+t=CM"-%、通項(xiàng)體現(xiàn)了二項(xiàng)展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律,是二項(xiàng)式定理的核心,它

在求展開(kāi)式的某些特定項(xiàng)（如含指定基的項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等）及其系數(shù)等方面有

著廣泛的應(yīng)用.

知識(shí)點(diǎn)二：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

①對(duì)稱性：二項(xiàng)展開(kāi)式中與首尾兩端距離相等的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等：C：=C：T

/74-172+1

②增減性：當(dāng)％<——時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)遞增，當(dāng)上〉——時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)遞減；

22

③最大值：當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，最中間兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.

知識(shí)點(diǎn)三：各二項(xiàng)式系數(shù)和

（1）（。+與”展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：

C+C+…+C+…+Q=2"（neN*）；

（2）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等：

C+C；+…=C：+C；+…=2"%eN*）

第二部分：典型例題剖析

題型一：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)及其應(yīng)用

角度1:求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)（或系數(shù)）

典型例題

例題1.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)（理））已知（l+2x）”的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為81,則〃=（

A.3B.4C.5D.6

例題2.（2022?北京師范大學(xué)第三附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）+的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

例題3.（2022云南師大附中高三階段練習(xí)）在（f+日丫的展開(kāi)式中，V的系數(shù)為8,則實(shí)數(shù)Z的值為

例題4.（2022?浙江紹興?一模）-石丫的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）

同類題型歸類練

1.（2022?四川廣安?高三階段練習(xí)（理））在（a+x）4展開(kāi)式中犬的系數(shù)為24,則實(shí)數(shù)”的值為（

A.1B.±1C.2D.±2

2.（2022?上海市延安中學(xué)高三期中）（1+2）’的二項(xiàng)展開(kāi)式中，f的系數(shù)為.

3.（2022?四川雅安?模擬預(yù)測(cè)（理））在（2x-q）6的展開(kāi)式中，/的系數(shù)為_(kāi)20,則。=.

4.（2022?上海奉賢?高三期中）在（6的展開(kāi)式中，V的系數(shù)為.

角度2：兩個(gè)二項(xiàng)式之積中特定項(xiàng)（或系數(shù)）問(wèn)題

典型例題

例題1.（2022?福建?福州三中高三階段練習(xí)）（l+2/）（l+x）4的展開(kāi)式中/的系數(shù)是（

A.4B.8C.12D.16

例題2.（2022?廣東惠州?高三階段練習(xí)）（l-x）（x-2）6的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為.（用數(shù)字作

答）

例題3.（2022?吉林?長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期中）（I+x）2（l+2），）'的展開(kāi)式中，記/y"項(xiàng)的系數(shù)為/（因〃），

則/（2,1）+〃1,2）=.

同類題型歸類練

1.（2022?浙江?高二期中）（l+［）（l-x）5的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為.

2.（2022?河南省上蔡第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）（1+5］（》-田6的展開(kāi)式中含》4）心項(xiàng)的系數(shù)是

（結(jié)果用數(shù)字表示）.

3.（2022?云南普洱?高二期末）（x?+1）（」-疔的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.

X

角度3：三項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)（或系數(shù)）問(wèn)題

典型例題

例題1.（2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試）（/+x+2）4的展開(kāi)式中產(chǎn)的系數(shù)為（）

A.42B.56C.62D.66

例題2.（2022?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）記（1-工+依2）6的展開(kāi)式中含d項(xiàng)的系數(shù)為了（〃）（其中?！瓿撸瑒t函

數(shù)＞的最小值為（）

A.-45B.-15C.0D.15

例題3.（2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試）*+2y-3z）5的展開(kāi)式中所有不含），的項(xiàng)的系數(shù)之和為（）

A.-32B.-16C.10D.64

同類題型歸類練

1.（2022?江蘇?揚(yáng)州中學(xué)高二階段練習(xí)）關(guān)于12+±一2）的展開(kāi)式，下列結(jié)論不正確的是（）

A.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為0

C.常數(shù)項(xiàng)為-20D.系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)

2.（2022?安徽?高二期中）（x-y-的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.-120B.120C.-60D.60

3.（2022?浙江邵外高二階段練習(xí)）（2/—的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為—32,則。的值是（）

A.2B.3C.6D.8

題型二：二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)的系數(shù)和問(wèn)題

典型例題

例題1.（2022?吉林?長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二階段練習(xí)）在的展開(kāi)式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)

和為64,則〃=（）

A.6B.7C.8D.9

例題2.（2022?浙江邵外高二期中）已知卜-的展開(kāi)式中第2項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，貝!為

（）

A.6B.7C.8D.9

例題3.（2022?浙江?紹興一中高三期中）j的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為.

例題4.（2022?山東濰坊?高三階段練習(xí)）若展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,則展開(kāi)式的常數(shù)

項(xiàng)為.

例題5.（2022?上海市楊思高級(jí)中學(xué)高三期中）已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為

256,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.

同類題型歸類練

1.（2022?重慶市第十一中學(xué)校高二階段練習(xí)）求（石-左）的展開(kāi)式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)（）

515

A.——B.—C.15D.20

216

2.（2022?安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）若（。+8）”的展開(kāi)式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)

式系數(shù)相等，則〃=（）.

A.10B.9C.8D.7

3.（2022?江蘇?揚(yáng)州中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在口+福）的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和與各項(xiàng)系數(shù)之和比為1：64,

則展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)為

4.（2022?北京八十中高二期中）二項(xiàng)式（次+]]的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為.

5.（2022?山東德州?模擬預(yù)測(cè)）在卜的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和與各項(xiàng)系數(shù)之和比為1:64,則展

開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.

題型三：項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

角度1：二項(xiàng)式系數(shù)最大問(wèn)題

典型例題

例題1.（2022?黑龍江?哈爾濱七十三中高三階段練習(xí)）已知［石+的展開(kāi)式中，第3項(xiàng)的系數(shù)與倒

數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)之比為則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第（）項(xiàng).

16

A.3B.4C.5D.6

例題2.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知〃?為正整數(shù)，（x+y廣展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為“，

（x+＞）2"展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為人且13。=7。，則”?的值為（）

A.4B.5C.6D.7

例題3.（2022?湖南?郴州一中高三階段練習(xí)）已知（五-《）（〃eN"）展開(kāi)式中第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二

項(xiàng)式系數(shù)最大，則其展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是.

例題4.（2022?北京?東直門中學(xué)高二階段練習(xí)）在二項(xiàng)式（x+2『的展開(kāi)式中.

（1）求一的系數(shù)；

（2）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).

同類題型歸類練

1.（2022?河南安陽(yáng)?高三階段練習(xí)（理））已知（石］的展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大，則該

展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的最小值為（）

A.-448B.-1024C.-1792D.-5376

2.（2022?湖南益陽(yáng)?高二期末）在（x+l）”（〃eN"）的展開(kāi)式中，若第5項(xiàng)為二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，則〃的值

可能是（）

A.7B.8C.9D.10

3.（2022?北京?牛欄山一中高二期中）在已知（2x+g）的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32.

（1）求”；

（2）求展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和；

⑶求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值的項(xiàng).

4.（2022?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知（1+3/）”的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.求展開(kāi)

式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).

角度2：系數(shù)最大問(wèn)題

典型例題

例題1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）（x-l）“按x降幕排列的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是（）

A.第4項(xiàng)和第5項(xiàng)B.第5項(xiàng)

C.第5項(xiàng)和第6項(xiàng)