上海江灣高級中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

上海江灣高級中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，，點(diǎn)P在AM上且滿足，則等于（

）A． B． C． D．參考答案：A如圖，∵，∴，∴，∵且，∴，∴．2.已知函數(shù)f（x）=+b+6，其中，a，b為常數(shù)，a＞1，b≠0，若f（lglog210）=8，則f（lglg2）的值為(

) A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4參考答案：B考點(diǎn)：對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：函數(shù)f（x）=+b+6，可得f（x）+f（﹣x）=+b+6++b+6=12，再利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．解答： 解：∵函數(shù)f（x）=+b+6，∴f（x）+f（﹣x）=+b+6++b+6=12，而lg（log210）+lg（lg2）==0，∴f（lglog210）+f（lglg2）=12，∴f（lglg2）=12﹣8=4．故選：B．點(diǎn)評：本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．3.執(zhí)行如圖所示的算法框圖，則輸出的值是（

）．

A． B． C． D．參考答案：D，；，；，；，；，；；，；，結(jié)束循環(huán)，輸出的值是．故選．4.對于任意實(shí)數(shù)x，定義[x]為不大于x的最大整數(shù)（例如：[3.6]=3，[-3.6]=-4等），設(shè)函數(shù)f(x)=x-[x]，給出下列四個(gè)結(jié)論：①f(x)≥0；②f(x)<1；③f(x)是周期函數(shù)；④f(x)是偶函數(shù).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)參考答案：C由題意,作出函數(shù)的圖象,如圖所示,觀察圖象可知,(1),(2),(3)正確,(4)不正確,故答案為C.

5.己知集合，則= (

)A．{0,1,2}

B．[0,2]

[C．{0,2}

D．（0,2）參考答案：A6.已知，則的值等于

（

）

A． B．

C．2 D．參考答案：C略7.已知、是兩個(gè)不同平面，、是兩不同直線，下列命題中的假命題是

（

）

A．

B．

C． D．參考答案：答案：B8.給定正數(shù)，其中，若是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則一元二次方程

（）A．無實(shí)根

B．有兩個(gè)相等實(shí)根

C．有兩個(gè)同號相異實(shí)根

D．有兩個(gè)異號實(shí)根參考答案：C9.

給出下列兩個(gè)命題：甲：異面直線m,n分別在平面α、β內(nèi)，且n∥α，且m∥β，則α∥β.乙：兩平面互相垂直，分別在這兩個(gè)平面內(nèi)且互相垂直的兩條直線，一定分別與另一平面垂直.正確的判斷是

A.甲、乙均假

B.甲、乙均真

C.甲真乙假

D.甲假乙真參考答案：答案：C10.已知雙曲線（a>0，b>0）的離心率e=2，過雙曲線上一點(diǎn)M作直線MA,MB交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2．若直線AB過原點(diǎn)，則k1·k2的值為

（

）

A．2

B．3

C．

D．

參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）（2014?陜西）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，）到直線ρsin（θ﹣）=1的距離是．參考答案：1【考點(diǎn)】：點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．【專題】：坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】：把極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的方法，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得結(jié)果．解析：根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得點(diǎn)（2，）即（，1）；直線ρsin（θ﹣）=1即﹣x+y=1，即x﹣y+2=0，故點(diǎn)（，1）到直線x﹣y+2=0的距離為=1，故答案為：1．【點(diǎn)評】：本題主要考查把極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12.設(shè)函數(shù)f（x）=2x﹣cosx，{an}是公差為的等差數(shù)列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，則[f（a3）]2﹣a1a5=．參考答案：

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】由f（x）=2x﹣cosx，又{an}是公差為的等差數(shù)列，可求得f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=10a3，由題意可求得a3，從而進(jìn)行求解．【解答】解：∵f（x）=2x﹣cosx，∴可令g（x）=2x+sinx，∵{an}是公差為的等差數(shù)列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π∴g（a1﹣）+g（a2﹣）+…+g（a5﹣）=0，則a3=，a1=，a5=∴[f（a3）]2﹣a1a5=π2﹣=，故答案為：13.已知矩形ABCD的周長為18，把它沿圖中的虛線折成正六棱柱，當(dāng)這個(gè)正六棱柱的體積最大時(shí)，它的外接球的表面積為．參考答案：13π【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積．【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】正六棱柱的底面邊長為x，高為y，則6x+y=9，0＜x＜1.5，表示正六棱柱的體積，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半徑，即可求出外接球的表面積．【解答】解：設(shè)正六棱柱的底面邊長為x，高為y，則6x+y=9，0＜x＜1.5，正六棱柱的體積V==≤=，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號成立，此時(shí)y=3，可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心連線的中點(diǎn)，則半徑為=，∴外接球的表面積為=13π．故答案為：13π．【點(diǎn)評】本題考查外接球的表面積，考查基本不等式的運(yùn)用，確定正六棱柱的外接球的半徑是關(guān)鍵．14.已知為正實(shí)數(shù)，且則的最小值為

．參考答案：215.已知，，則=．參考答案：考點(diǎn)： 兩角和與差的正切函數(shù)．

專題： 計(jì)算題；三角函數(shù)的求值．分析： 利用輔助角公式sinα+cosα=sin（α+），可求得sin（α+），結(jié)合α的范圍，可α+∈（，），利用同角的三角函數(shù)關(guān)系可求cos（α+），tan（α+）的值．解答： 解：∵sinα+cosα=sin（α+）=﹣，∴sin（α+）=﹣，∵α∈（，π），∴α+∈（，），∴cos（α+）=﹣=﹣．∴tan（α+）==．故答案為：．點(diǎn)評： 本題考查同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.設(shè){an}是等比數(shù)列，公比，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．記．設(shè)為數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)，則n0=

．參考答案：4【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】首先用公比q和a1分別表示出Sn和S2n，代入Tn易得到Tn的表達(dá)式．再根據(jù)基本不等式得出n0【解答】解：==因?yàn)楱R8，當(dāng)且僅當(dāng)=4，即n=4時(shí)取等號，所以當(dāng)n0=4時(shí)Tn有最大值．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)及平均值不等式的應(yīng)用，屬于中等題．本題的實(shí)質(zhì)是求Tn取得最大值時(shí)的n值，求解時(shí)為便于運(yùn)算可以對進(jìn)行換元，分子、分母都有變量的情況下通常可以采用分離變量的方法求解．17.關(guān)于平面向量，有下列三個(gè)命題：①若，則.②若，，，則k＝－3.③非零向量和滿足，則與的夾角為60°.其中真命題的序號為

．(寫出所有真命題的序號)參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（1）求f（）的值；（2）求f（x）的遞減區(qū)間．參考答案：考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：（1）首先利用三角關(guān)系式的恒等變換變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的值．（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用整體思想求單調(diào)區(qū)間．解答：解：（1）f（x）=1+2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+2=所以：+2=（2）令：（k∈Z）（k∈Z）所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間是點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：三角關(guān)系式的恒等變換變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的值，利用整體思想求單調(diào)區(qū)間．19.已知函數(shù)f（x）=+lnx（a∈R）（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）在（0，e]上的最小值為2，求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅲ）當(dāng)a=﹣1時(shí)，試判斷函數(shù)g（x）=f（x）+在其定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．參考答案：考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；函數(shù)的最值及其幾何意義；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最小值；（Ⅱ）通過①當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)a∈（0，e]時(shí)，③當(dāng)a＞e時(shí)，通過x∈（0，e利用導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過函數(shù)的最值，推出a符合題意的值即可；（Ⅲ）當(dāng)a=﹣1時(shí)，求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值與0比較，判斷在其定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最小值：f（x）min=f（1）=1．

（Ⅱ）因?yàn)?，①?dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，e]上為增函數(shù)，此時(shí)f（x）在（0，e]上無最小值．②當(dāng)a∈（0，e]時(shí)，若x∈（0，a），則f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，若x∈（a，e]，則f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以f（x）min=f（a）=1+lna=2，∴a=e，符合題意；③當(dāng)a＞e時(shí)，x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以，∴a=e，不符合題意；綜上所述，a=e時(shí)符合題意．

（Ⅲ）證明當(dāng)a=﹣1時(shí)，函數(shù)，，令φ（x）=2+x﹣lnx，（x＞0），則，所以x∈（0，1）時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，所以，φ（x）min=φ（1）=3＞0，在定義域內(nèi)g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，又g（1）=﹣1＜0，而，因此，函數(shù)g（x）在（1，e）上必有零點(diǎn)，又g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，所以函數(shù)在其定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn)．點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．考查分析問題解決問題的能力．20.汽車的普及給人們的出行帶來了諸多方便，但汽車超速行駛也造成了諸多隱患.為了解某一段公路汽車通過時(shí)的車速情況，現(xiàn)隨機(jī)抽測了通過這段公路的200輛汽車的時(shí)速，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[40，80]中，其頻率分布直方圖如圖所示.(1)求被抽測的200輛汽車的平均時(shí)速.(2)該路段路況良好，但屬于事故高發(fā)路段，交警部門對此路段過往車輛限速60km/h.對于超速行駛，交警部門對超速車輛有相應(yīng)處罰：記分（扣除駕駛員駕照的分?jǐn)?shù)）和罰款.罰款情況如下：超速情況10%以內(nèi)10%～20%20%～50%50%以上罰款情況0元100元150元可以并處吊銷駕照①求被抽測的200輛汽車中超速在10%～20%的車輛數(shù).②該路段車流量比較大，按以前統(tǒng)計(jì)該路段每天來往車輛約2000輛.試預(yù)估每天的罰款總數(shù).參考答案：平均時(shí)速……………3分①超速在10%～20%的速度在～之間

速度在～之間的車輛數(shù)為輛所以速度在～之間的車輛數(shù)為輛又速度在～之間的車輛數(shù)為輛所以速度在～之間的車輛數(shù)為輛故超速10%～20%的車輛約輛

…8分②設(shè)任意一輛車的罰款數(shù)為，被抽測的200輛汽車中均沒有超速50%以上，的分布列如下：

0100150

故元

………………10分所以預(yù)計(jì)罰款總數(shù)約為元…12分21.實(shí)驗(yàn)杯足球賽采用七人制淘汰賽規(guī)則，某場比賽中一班與二班在常規(guī)時(shí)間內(nèi)戰(zhàn)平，直接進(jìn)入點(diǎn)球決勝環(huán)節(jié)，在點(diǎn)球決勝環(huán)節(jié)中，雙方首先輪流罰點(diǎn)球三輪，罰中更多點(diǎn)球的球隊(duì)獲勝；若雙方在三輪罰球中未分勝負(fù)，則需要進(jìn)行一對一的點(diǎn)球決勝，即雙方各派出一名隊(duì)員罰點(diǎn)球，直至分出勝負(fù)；在前三輪罰球中，若某一時(shí)刻勝負(fù)已分，尚未出場的隊(duì)員無需出場罰球（例如一班在先罰球的情況下，一班前兩輪均命中，二班前兩輪未能命中，則一班、二班的第三位同學(xué)無需出場），由于一班同學(xué)平時(shí)踢球熱情較高，每位隊(duì)員罰點(diǎn)球的命中率都能達(dá)到0.8，而二班隊(duì)員的點(diǎn)球命中率只有0.5，比賽時(shí)通過抽簽決定一班在每一輪都先罰球．（1）定義事件A為“一班第三位同學(xué)沒能出場罰球”，求事件A發(fā)生的概率；（2）若兩隊(duì)在前三輪點(diǎn)球結(jié)束后打平，則進(jìn)入一對一點(diǎn)球決勝，一對一點(diǎn)球決勝由沒有在之前點(diǎn)球大戰(zhàn)中出場過的隊(duì)員主罰點(diǎn)球，若在一對一點(diǎn)球決勝的某一輪中，某隊(duì)隊(duì)員射入點(diǎn)球且另一隊(duì)隊(duì)員未能射入，則比賽結(jié)束；若兩名隊(duì)員均射入或者均射失點(diǎn)球，則進(jìn)行下一輪比賽．若直至雙方場上每名隊(duì)員都已經(jīng)出場罰球，則比賽亦結(jié)束，雙方用過抽簽決定勝負(fù)，以隨機(jī)變量X記錄雙方進(jìn)行一