上海市上南中學(xué)北校高一數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

上海市上南中學(xué)北校高一數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知α是三角形的一個(gè)內(nèi)角且sinα+cosα=，則此三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形參考答案：C【考點(diǎn)】GZ：三角形的形狀判斷．【分析】α是三角形的一個(gè)內(nèi)角，利用sinα+cosα=∈（0，1），可知此三角形是鈍角三角形．【解答】解：∵α是三角形的一個(gè)內(nèi)角，∴sinα＞0，又sinα+cosα=，∴（sinα+cosα）2=1+2sinα?cosα=，∴2sinα?cosα=﹣＜0，sinα＞0，∴cosα＜0，∴α為鈍角，∴此三角形是鈍角三角形．故選C．2.設(shè)函數(shù)在上是增函數(shù)，則的范圍是（

）A.

.B.

C.

D.參考答案：略3.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線（

）

A.垂直

Ｂ.平行

C.相交

D.異面參考答案：B4.如右圖為一個(gè)幾何體的三視圖，其中俯視圖為正三角形，，，

則該幾何體的表面積為

.

.

.

.參考答案：C略5.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意的，有，且，則不等式解集是（

）A.(－∞,－2)∪(2,+∞) B.(－∞,－2)∪(0,2)C.(－2,0)∪(2,+∞) D.(－2,0)∪(0,2)參考答案：B【分析】由題意可知偶函數(shù)在上是減函數(shù)，故在上是增函數(shù)，且，原不等式可化為，即與異號(hào)，結(jié)合零點(diǎn)及單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，有，所以偶函數(shù)在上是減函數(shù)，因?yàn)閳D象關(guān)于軸對(duì)稱，所以在上是增函數(shù)，且，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以原不等式可化為，即與異號(hào)，所以不等式的解為或，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，偶函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，不等式求解，屬于中檔題.6.函數(shù)的定義域是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略7.若函數(shù)y=f(x)的定義域是[0，2]，則函數(shù)的定義域是（

）A．[0，1）

B．[0，1]

C．[0，1）∪（1，4]

D．（0，1）參考答案：A8.設(shè)全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={x|0≤x＜5}，則集合（?UA）∩B=（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0≤x＜2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|0≤x≤2}參考答案：B【分析】根據(jù)全集U=R，集合A={x|x≥2}，易知CUA={x|x＜2}再根據(jù)交集定義即可求解【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x≥2}∴CUA={x|x＜2}∵B={x|0≤x＜5}∴（CUA）∩B={x|0≤x＜2}故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了補(bǔ)集、交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．9.已知，是兩個(gè)單位向量，且．若點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC=30°，（m，n∈R），則=（）A． B．3 C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】依題意建立直角坐標(biāo)系，加上點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)的限制，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，在直角三角形中由正切函數(shù)的定義可求解．【解答】解：因?yàn)?，是兩個(gè)單位向量，且．所以，故可建立直角坐標(biāo)系如圖所示．則=（1，0），=（0，1），故=m（1，0）+n（0，1）=（m，n），又點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，n），在直角三角形中，由正切函數(shù)的定義可知，tan30°=，所以=，故選D10.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則的最小值是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，，則tanαtanβ=．參考答案：【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】由已知利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式可得cosαcosβ﹣sinαsinβ=，cosαcosβ+sinαsinβ=，聯(lián)立解得cosαcosβ，sinαsinβ，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可計(jì)算得解．【解答】解：∵，，∴cosαcosβ﹣sinαsinβ=，cosαcosβ+sinαsinβ=，∴聯(lián)立，解得：cosαcosβ=，sinαsinβ=，∴tanαtanβ==．故答案為：．12.已知函數(shù)f（x）=x2﹣6x+8，x∈[1，a]，并且函數(shù)f（x）的最小值為f（a），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（1，3]【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義；二次函數(shù)的性質(zhì)．【專(zhuān)題】常規(guī)題型；壓軸題．【分析】由題意知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，a]上單調(diào)遞減，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）=x2﹣6x+8=（x﹣3）2﹣1，x∈[1，a]，并且函數(shù)f（x）的最小值為f（a），又∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，∴1＜a≤3，故答案為：（1，3]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，聯(lián)系二次函數(shù)的圖象特征，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．13.兩平行線間的距離是_

_。參考答案：試題分析：根據(jù)兩平行線間的距離公式可知.考點(diǎn)：本題考查兩平行線間的距離公式即.

14.（4分）與角﹣1560°終邊相同的角的集合中，最小正角是

，最大負(fù)角是

．參考答案：240°，﹣120°?？键c(diǎn)： 象限角、軸線角．專(zhuān)題： 三角函數(shù)的求值．分析： 根據(jù)終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍，利用集合的描述法可寫(xiě)出符合條件的集合，進(jìn)行求解即可．解答： 根據(jù)終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍，故與﹣1560°終邊相同的角可表示為：{α|α=k?360°﹣1560°，k∈Z}．則當(dāng)k=4時(shí)，α=4×360°﹣1560°=﹣120°，此時(shí)為最大的負(fù)角．當(dāng)k=5時(shí)，α=5×360°﹣1560°=240°，此時(shí)為最小的正角．故答案為：240°，﹣120°點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查終邊相同的角的集合，注意集合的表示方法是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則＝_______；＝___________。參考答案：

16.已知函數(shù)則_____________；若f(x)=1，則x=___________________．參考答案：4；由題，則若若可得解得舍去）；若可得解得綜上可得即答案為4；17.不等式|x+3|＞1的解集是．參考答案：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法．【專(zhuān)題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】直接轉(zhuǎn)化絕對(duì)值不等式，求解即可．【解答】解：不等式|x+3|＞1等價(jià)于x+3＞1或x+3＜﹣1，解得x∈（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查計(jì)算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（10分）已知函數(shù)f（x）=．（1）求函數(shù)f（x）的定義域并判斷函數(shù)的奇偶性；（2）設(shè)F（x）=m+f（x），若記f（x）=t，求函數(shù)F（x）的最大值的表達(dá)式g（m）．參考答案：考點(diǎn)： 函數(shù)的最值及其幾何意義．專(zhuān)題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．解答： 解：（1）函數(shù)f（x）有意義，須滿足，得﹣1≤x≤1，故函數(shù)定義域是{x|﹣1≤x≤1}．∵函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．（2）設(shè)f（x）=t，則，∵，∴2≤[f（x）]2≤4，∵f（x）≥0，∴，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)?，即∴，令∵拋物線y=h（t）的對(duì)稱軸為①當(dāng)m＞0時(shí)，，函數(shù)y=h（t）在上單調(diào)遞增，∴g（m）=h（2）=m+2；②當(dāng)m=0時(shí)，h（t）=t，g（m）=2③當(dāng)m＜0時(shí)，，若，即時(shí)，函數(shù)y=h（t）在上單調(diào)遞減，∴；若，即時(shí)，；若，即時(shí)，函數(shù)y=h（t）在上單調(diào)遞增，∴g（m）=h（2）=m+2；綜上得．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查函數(shù)奇偶性和最值的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．19.(本小題滿分14分)圓內(nèi)有一點(diǎn)，為過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的弦，（1）當(dāng)＝135０時(shí)，求;（2）當(dāng)弦被點(diǎn)平分時(shí)，求出直線的方程;（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)的弦的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式.參考答案：（2）當(dāng)弦被平分時(shí)，，，又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn),所以根據(jù)點(diǎn)斜式有直線的方程為.20.已知函數(shù)f（x）=2a[1+sin（cos﹣sin）]+b．（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)a＞0，且x∈[0，π]時(shí)，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．【分析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，化簡(jiǎn)f（x），利用輔助角公式求出函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．（2）求出函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合函數(shù)的值域建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2+2sincos﹣2sin2+b=1+cosx+sinx+b=sin（x+）+b+1，由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z；（2）f（x）=2a[1+sin（cos﹣sin）]+b=a（sinx+cosx）+a+b=asin（x+）+a+b，當(dāng)a＞0，且x∈[0，π]時(shí)，≤x+≤，∴sin（x+）∈[﹣，1]，∵f（x）的值域是[3，4]，∴得．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用倍角公式以及輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．21.一汽車(chē)銷(xiāo)售公司對(duì)開(kāi)業(yè)5年來(lái)某種型號(hào)的汽車(chē)“五一”優(yōu)惠金額與銷(xiāo)售量之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究并做了記錄，得到如下資料．日期第1年第2年第3年第4年第5年優(yōu)惠金額x（千元）101113128銷(xiāo)售量y（輛）2325302616該公司所確定的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．（1）若選取的是第1年與第5年的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)其余三年的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2輛，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問(wèn)（1）中所得的線性回歸方程是否可靠？相關(guān)公式：=，．參考答案：【考點(diǎn)】BO：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算、，求出回歸系數(shù)，寫(xiě)出線性回歸方程；（2）由（1）中線性回歸方程求出x=10時(shí)與x=8時(shí)y的值，比較誤差即可．【解答】解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算=×（11+13+12）=12，=×（25+30+26）=27，xiyi=（11×25+13×30+12×26）=977，=112+132+262=434，∴=，=27﹣2.5×12=﹣3，∴線性回歸方程是；（2）由（1）知：當(dāng)x=10時(shí)，y=2.5×10﹣3=22，誤差不超過(guò)2輛；當(dāng)x=8時(shí)，y=2.5×8﹣3=17，誤差不超過(guò)2輛；故所求得的線性回歸方程是可靠的．22.如圖，四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，若，.（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PCD；（Ⅱ）求棱PD與平面PBC所成角的正弦值.參考答案：（Ⅰ）見(jiàn)證明；（Ⅱ）【分析