2022-2023學年四川省成都市高二下期期中考試數學（理）試題【含答案】

2022-2023學年四川省成都市高二下期期中考試數學（理）試題一、單選題1．在空間直角坐標系中，點關于x軸對稱的點的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據關于x軸對稱的點的橫坐標不變，縱坐標、豎坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾导纯汕蠼?【詳解】關于軸對稱點的橫坐標不變，縱坐標、豎坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?，對稱點為.故選：C.2．下列導數運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據導數公式判斷各項正誤即可.【詳解】由，，，，所以A、B、D錯，C對.故選：C3．，，若//，則（

）A．0 B． C．4 D．2【答案】B【分析】根據向量共線的條件進行求解【詳解】由//，則，使得，即，解得.故選：B4．已知函數的導函數的圖像如圖所示，則函數（

）A．在上單調遞增 B．在上單調遞減C．在上單調遞增 D．在上單調遞減【答案】D【分析】根據導函數的符號確定單調性.【詳解】由圖可知：當時，單調遞減，當時，單調遞增，當時，單調遞增；故選：D.5．已知，，，則平面ABC的一個法向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】代入法向量的計算公式，即可求解.【詳解】，，令法向量為，則，，可取.故選：A.6．若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于，則直線l與平面所成的角等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據線面角的正弦值等于線與面法向量夾角余弦值的絕對值求解即可.【詳解】令直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的夾角為，，，.故選：C7．已知，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求導，得到即切線的斜率，然后根據點斜式寫出直線方程.【詳解】，，即切線的斜率為，又，切線方程為，即.故選：A8．已知，，均為空間單位向量，它們之間的夾角均為，那么（

）A．2 B．C． D．6【答案】C【分析】根據給定條件，利用空間向量數量積的運算律、垂直關系的向量表示求解作答.【詳解】因為，，均為空間單位向量，它們之間的夾角均為，，所以.故選：C9．已知函數的單調遞減區(qū)間為，則的值為（

）A．3 B． C．6 D．【答案】D【分析】求出函數的導函數，依題意的解集為，即可求出參數的值.【詳解】由，所以，單調遞減區(qū)間是，的解集為，即的解集為，，，經檢驗符合題意.故選：D.10．如圖，將的菱形ABCD沿對角線BD折起，使得平面平面CBD，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取BD中點為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求線線角即可.【詳解】如圖，取BD中點為坐標原點，建立空間直角坐標系，令，，，，，則，，，，所成角的余弦值為.故選：.11．若函數有兩個不同的極值點，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】函數有兩個不同的極值點，在有兩個不相同的實數解，轉化為二次函數在有兩個不同的實數解，求解即可.【詳解】解：有兩個不同的極值點，在有兩個不相同的實數解，即在有兩個不相同的實數解，，.故選：A.12．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用的單調性可判斷，利用的單調性可判斷，故可得三者之間的大小關系.【詳解】設，則有，當時，在上單調遞減；，即有，；令，則，當時，，當且僅當時等號成立，故在上單調遞減；，即有，，綜上所述，則有，故選：B.二、填空題13．__________．【答案】1.【分析】由題意利用微積分基本定理求解定積分的值即可.【詳解】由微積分基本定理有：.故答案為1．【點睛】本題主要考查微積分基本定理及其應用，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.14．已知直線l在平面外，直線l的方向向量是，平面的法向量是，則l與的位置關系是___________（填“平行”或“相交”）【答案】平行【分析】根據題意可得，進而可得結果.【詳解】因為，則，且直線l在平面外，所以//.故答案為：平行.15．如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，則點C到平面的距離等于_____.【答案】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求點到平面的距離.【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，則，，，，，，設平面的一個法向量為，，即，取，又，所以點到面的距離，故答案為：.16．已知不等式恰有2個整數解，則實數k的取值范圍為___________.【答案】【分析】轉化為，構造函數，利用導數研究單調性可作出大致圖象，數形結合即可得解.【詳解】原不等式等價于，設，，，令，得.當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，當時，取極大值1.又，且時，與的圖象如下，直線恒過點，當時，顯然不滿足條件；當時，只需要滿足，解得，的取值范圍為，故答案為：.三、解答題17．如圖，在平行六面體中，E，F分別為棱，CD的中點，記，，，滿足，，，.(1)用，，表示；(2)計算.【答案】(1)(2)1【分析】（1）根據空間向量對應線段的位置關系，用表示出；（2）應用向量數量積的運算律得，結合已知即可求數量積.【詳解】（1）；（2）.18．已知函數在點處的切線與直線垂直.(1)求a的值(2)求函數的極值.【答案】(1)(2)極小值，極大值.【分析】（1）求導，根據條件求出a；（2）根據導函數的符號確定單調性，再根據單調性確定極值.【詳解】（1）易得，又函數在點處的切線與直線垂直，∴，得；（2）由（1）得，，令有或，可得x02+0-0+單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增在處取得極大值，在處取得極小值；綜上，極大值，極小值.19．如圖，在長方體中，，，，交于點E.(1)證明：直線平面；(2)求AD與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用長方體的結構特征，證明平面平面，可得直線平面；（2）建立空間直角坐標系，求平面的法向量，利用向量法求AD與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：如圖，連接，，長方體中，且，四邊形為平行四邊形，則有，又平面，平面，平面，同理可證，平面，又，平面，平面平面，又平面，直線平面；（2）以A為原點，分別為x軸，y軸，z軸，建系如圖：得，，，，，，設平面的一個法向量為，由，令，得，可得平面的一個法向量為，設AD與平面所成角大小為，則，與平面所成角的正弦值為.20．一艘漁船在進行漁業(yè)作業(yè)的過程中，產生的主要費用有燃油費用和人工費用，已知漁船每小時的燃油費用與漁船速度的立方成正比，已知當漁船的速度為10海里/小時時，燃油費用是600元/小時，人工費用是4050元/小時，記漁船的航行速度為v（海里/小時），滿足，漁船每航行1海里產生的主要費用為p元(1)列出航行1海里產生的主要費用p（元）關于航行速度v（海里/小時）的關系式；(2)求航行1海里產生的主要費用p（元）的最小值，及此時漁船的航行速度v（海里小時）的大小.【答案】(1)，；(2)當航行速度為15海里/小時，航行1海里產生的主要費用有最小值405元.【分析】（1）由題先求出每小時燃油費用與與漁船速度的關系，再求得p與v的關系式；（2）對函數求導數，得函數的單調性，求出最值.【詳解】（1）設漁船每小時的燃油費用為y元，由題可設，又當漁船的速度為10海里/小時，燃油費用是600元/小時，得，即，航行一小時的主要費用為（元），，（2）易得，，令，即，得，令，即，得可得函數的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以當時，，即當航行速度為15海里/小時，航行1海里產生的主要費用有最小值405元.21．如圖，四邊形ABCD為等腰梯形（如圖①），，，點E，F為垂足，滿足，將和分別沿BE，CF折起，使A，D兩點重合于點P（如圖②）(1)證明：平面平面BCFE；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）先證明平面PEF，再證明平面平面BCFE.（2）建立空間直角坐標系，求平面PBC和平面BCE的法向量，計算法向量的夾角絕對值，即為所求.【詳解】（1）證明：由圖①知，，，所以圖②中有，，又，平面PEF，平面PEF，所以平面PEF，又平面BCFE，所以平面平面BCFE.（2）取EF中點O，BC中點，連接OQ，易得，又平面平面BCFE，平面平面，平面PEF，可得平面BCFE，又易得，，可得OQ，OF，OP兩兩垂直，建系如圖，得，，，設平面PBC的一個法向量為，，，由，即，令，得平面PBC的一個法向量為，易得平面BCE的一個法向量為，由，二面角的余弦值為.22．已知函數.(1)討論函數的單調性：(2)若，是函數的兩個不同極值點，且滿足：，，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數的導數，就、、、分類討論導數的符號后可得函數的單調性；（2）求出，，則原不等式等價于，利用導數可證明該不等式.【詳解】（1）易知可得，，①當時，由