2023年上海市奉賢區(qū)高三高考二模數(shù)學(xué)試卷含詳解

2022學(xué)年奉賢區(qū)第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)練習(xí)卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答

題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1.已知集合4={1,2},6={?,3},若AcB={2},貝.

2.已知xeR,yeR,且x+i=y+yi,i是虛數(shù)單位，則x+y=.

3.在（2x+l＞的展開式中，/的系數(shù)為_.（用數(shù)字作答）

4.已知圓柱的上、下底面的中心分別為。、o2,過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則

該圓柱的側(cè)面積為.

5.2017年5月某校高三年級1600名學(xué)生參加了教育局組織的期末統(tǒng)考，已知數(shù)學(xué)考試成績X~N（100,4）.（試

卷滿分為150分）統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的=,則此次統(tǒng)考中成績不

低于120分的學(xué)生人數(shù)約為.

6.已知兩個正數(shù)b的幾何平均值為1,則“2+從的最小值為.

7.某種動物從出生起活到20歲的概率為0.8,從出生起活到25歲的概率為0.4,現(xiàn)有一個20歲的這種動物，它能

活到25歲的概率為.

'123'

8.已知隨機(jī)變量X的分布為111,且y=aX+3,若E[H=-2,則實數(shù).

J36;

22

9.設(shè)圓f+y2-2x-4y+4=0與雙曲線』-當(dāng)=1的一條漸近線相切，則該雙曲線的漸近線方程為.

a-b

“2J.序_2

10.內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,"c,若“MC的面積為"十”二匕,則6=

4

11.在集合{123,4}中任取一個偶數(shù)a和一個奇數(shù)方構(gòu)成一個以原點為起點的向量；（“⑼，從所有得到的以原點為

起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形，面積不超過4的平行四邊形的個數(shù)是.

12.已知y=為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，/（x）=《+?ln（x+l）+”cosfx+a,則y=/（x）的駐點為

24K3

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且

只有一個正確選項.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13.“。=2”是“直線＞=一"+2與丫=@*一1垂直”的

4

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

14.下列函數(shù)中，以兀為周期且在區(qū)間（；，n）單調(diào)遞增的是（）

A./(x)=|cos2^|B./(x)=|sin2x|

C./（x）=|cosx|D./（x）=|sin^|

15.某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下

進(jìn)行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)（匕））?=1，2,,20）得到下面的散點圖：

由此散點圖，在i（rc至4（rc之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度X的回歸方程類型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bx^

C.y=a+加'D.y=a+b\nx

cc

16.設(shè)S“是一個無窮數(shù)列｛叫的前“項和，若一個數(shù)列滿足對任意的正整數(shù)〃，不等式十＜落恒成立，則稱數(shù)列｛4｝

為和諧數(shù)列,有下列3個命題：

①若對任意的正整數(shù)”均有??＜。用，則｛%｝為和諧數(shù)列；

②若等差數(shù)列｛叫是和諧數(shù)列，則S“一定存在最小值；

③若｛?“｝的首項小于零，則一定存在公比為負(fù)數(shù)的一個等比數(shù)列是和諧數(shù)列.

以上3個命題中真命題的個數(shù)有（）個

A.0B.1C.2D.3

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步

驟.

17.已知等差數(shù)列｛q｝的公差不為零，4=25,且％,小，八成等比數(shù)列.

⑴求｛叫的通項公式；

20

⑵計算Z。3t_2.

%=1

18.如圖，在四棱錐P—ABCD中，AB//CD,且ZR4P=/CDP=90.

（1）證明：平面平面PAO；

Q

⑵若尸A=P。=A8=DC,ZAPD=90，且四棱錐P-ABC。的體積為屋求心與平面A8CO所成的線面角的大小.

19.設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域是R,它的導(dǎo)數(shù)是r(x).若存在常數(shù)加(，〃R),使得〃x+M=-r(x)對一切x恒成

立，那么稱函數(shù)y=/(x)具有性質(zhì)尸(").

⑴求證：函數(shù)y=e"不具有性質(zhì)尸(㈤；

(2)判別函數(shù)丫=a11》是否具有性質(zhì)「(〃?).若具有求出加的取值集合；若不具有請說明理由.

20.某小區(qū)有塊綠地，綠地的平面圖大致如下圖所示，并鋪設(shè)了部分人行通道.

假設(shè)1：綠地是由線段A8,BC,CD,OE和弧￡4圍成的，其中成是以。點為圓心，圓心角為行的扇形的弧,

見圖1;

假設(shè)2：線段A3,BC,CD,OE所在的路行人是可通行的，圓弧￡4暫時未修路；

假設(shè)3：路的寬度在這里暫時不考慮；

假設(shè)4：路用線段或圓弧表示，休息亭用點表示.

圖1-圖3中的相關(guān)邊、角滿足以下條件：

JT

直線54與OE的交點是。，AB//CD,NABC=—.￡>E=EO=QA=43=200米.

2

小區(qū)物業(yè)根據(jù)居民需求，決定在綠地修建一個休息亭.根據(jù)不同的設(shè)計方案解決相應(yīng)問題，結(jié)果精確到米.

O200A200

圖3

(1)假設(shè)休息亭建在弧￡4的中點，記為。，沿￡4和線段QC修路，如圖2所示.求QC的長；

(2)假設(shè)休息亭建在弧E4上的某個位置，記為P,作交8C于作PNLCD交DC于N.沿皮八線段

PM和線段PN修路，如圖3所示.求修建的總路長EP+PM+PN的最小值；

(3)請你對(1)和(2)涉及到的兩種設(shè)計方案做個簡明扼要的評價.

21.已知橢圓C:]+4=ie>0),A(0,6),橢圓C內(nèi)部的一點T(f，；)(r>0),過點T作直線AT交橢

圓于M,作直線3T交橢圓于N.M、N是不同的兩點.

(1)若橢圓C的離心率是且，求6的值；

2

s

（2）設(shè)△87M的面積是E，4川的面積是S?,若U=5,6=1時，求f的值；

⑶若點U（x”,y“），叭N.,%）滿足七＜%且乂＞乂.，則稱點。在點丫的左上方.求證：當(dāng)時，點N在點M的左上

方.

1.2

【分析】

由交集定義可得答案.

【詳解】

因4={1,2},B={a,3},Ac8={2},則2GB,故a=2.

故答案為：2

2.2

【分析】

由復(fù)數(shù)相等概念可得答案.

【詳解】

{x=y

因x+i=y+yi,則<=>x+y=2.

U=y

故答案為：2

3.40

【分析】

根據(jù)所給的二項式寫出通項，要求自變量的二次方的系數(shù)，只要使得指數(shù)等于2,得出式子中的系數(shù)的表示式，得

到結(jié)果.

【詳解】

(2x+l)5的通項式式是C5r(2x)5r=Q5t25-rx5r

當(dāng)5-r=2時，即r=3時，得到含有/的項，

它的系數(shù)是C『2』40

故答案為40.

【點睛】

本題考查二項式定理的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是寫出二項式的通項.

4.

【分析】

根據(jù)題意求出圓柱的底面圓半徑廠和高心再計算圓柱的側(cè)面積即可.

【詳解】

如圖所示，

設(shè)圓柱的底面圓半徑為「，由截面為正方形可知圓柱的高力=2-，

所以該圓柱的軸截面面積為⑵)2=8,

解得r=0,

該圓柱的側(cè)面積為

5河=2兀rh=2/r->/2?2夜=8萬.

故答案為8萬.

【點睛】

本題考查圓柱的結(jié)構(gòu)特征，考查圓柱側(cè)面積的求法，屬于基礎(chǔ)題.

5.200

【分析】

根據(jù)正態(tài)分布對稱性知p(X>120)=|,計算得到答案.

O

【詳解】

根據(jù)正態(tài)分布對稱性知：MX>120)=p(X<80)=；[l-￡]=g.

故此次統(tǒng)考中成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為1600x1=200.

O

故答案為：200.

【點睛】

本題考查了正態(tài)分布，意在考查學(xué)生對于正態(tài)分布性質(zhì)的應(yīng)用.

6.2

【分析】

由幾何平均值的定義得到必=1,利用基本不等式求解即可.

【詳解】

由題意得即出?=1,故/+〃22位>=2,當(dāng)且僅當(dāng)。=5=1時，等號成立,

故答案為：2

【分析】

利用條件概率的計算公式即可得出.

【詳解】

設(shè)事件A表示某動物活到20歲，則P(4)=0.8:

事件B表示該動物活到25歲,則P(B)=P(AB)=0.4,

所以「(B|A)=上坦

1P(A)0.82,

故答案為：y.

8.—3

【分析】

由期望性質(zhì)可得答案.

【詳解】

因y=oX+3,則E[Y]=E[aX+3]=aE[X]+3=-2=>aE[X]=_5.

1n1s

又E「X]=—+—H—=—,則々=-3.

L」2323

故選：-3.

3

9.y=?-x

4

【分析】

由題可知漸近線到圓心距離等于圓半徑，據(jù)此可得答案.

【詳解】

設(shè)雙曲線漸近線方程為：y=日，

x2+y2-2x-4y+4^0^(x-l)2+(y-2)2^l,則圓心坐標(biāo)為(1,2),半徑為1.

2-k\3

因圓與漸近線相切，則圓心到切線距離等于半徑，即」?=1=k==.

J-+14

33

則雙曲線的一條漸近線方程為，另一條漸近線方程為y=

44

3

故答案為：y=?

4

10.-

4

【分析】

由余弦定理可得病+尸―C2=2"COSC,根據(jù)條件結(jié)合三角形的面積公式可得sinC=cosC,從而可得答案.

【詳解】

由余弦定理可得cosC=,所以/+/一/=2"cosC

lab

ABC的面積為S=-abs\nC=---------=---------

244

所以sinC=cosC,即tanC=l,由0<C<乃

所以y

故答案為:

【分析】

由題可得滿足題意的向量有4個，滿足題意的平行四邊形有6個，依次計算6個平行四邊形的面積即可得答案.

【詳解】

由題可得滿足題意的向量有(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),又若兩向量不共線，且,涉)=6,則以兩向量為鄰邊的

平行四邊形面積為：s=Hsin=卜帆卜-

則以(2,1),(2,3)為鄰邊的平行四邊形面積為出x13-49=4;

以(2,1),(4,1)為鄰邊的平行四邊形面積為J5x17-81=2;

以(2,1),(4,3)為鄰邊的平行四邊形面積為&x25-⑵=2;

以(2,3),(4,1)為鄰邊的平行四邊形面積為Ji3x17-⑵=10;

以(2,3),(4,3)為鄰邊的平行四邊形面積為43X25-289=6;

以(4,1),(4,3)為鄰邊的平行四邊形面積為J*X25-361=8;

綜上可知面積不超過4的平行四邊形的個數(shù)是3.

故答案為：3

3

12.±-##±1.5

2

【分析】

由導(dǎo)數(shù)得出/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且((；)=o,再結(jié)合奇偶性得出y=〃司的駐點.

【詳解】

f(x)=x+—----4sin-x(x>0),令g(%)="+(x>0),

v74x+43')4(x+l)

則g'(')?產(chǎn)

4(x+l)z4(x+l)z

33

當(dāng)g'(x)>。時,xe(-,+oo)；當(dāng)g'(x)<0時，xe(0,-).

則函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(|,用)上單調(diào)遞增，即g(x)*=g(|)=4.

貝iJ/'(x)=x+K7-4sin[xN4-4=0,即函數(shù)/(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，

且/(|)=4-4s嗚=4-4=0,

a

再由函數(shù)y=/(x)為R上的奇函數(shù)，可得y=/(x)的駐點為

3

故答案為：±§.

13.A

【詳解】

試卷分析：兩直線垂直，所以-a==-l,a=±2,所以是充分不必要條件.

考點：充要條件.

14.C

【分析】

從周期來看，A、B選項排除；從單調(diào)性來看，C選項正確.

【詳解】

對于A選項，由于/(x)=|cos2x|的周期為:曰=],故A選項不正確；

對于B選項，由于“對=卜皿2可的周期為:g=故B選項不正確；

對于C選項，由于f(x)=|coN的最小正周期為兀=兀，在區(qū)間6，，上，/(x)=|coW=-cosx單調(diào)遞增，故

C選項正確；；

對于D選項，由于/(》)=卜時的最小正周期為;?2兀=兀，在區(qū)間信萬)上，/(x)=binx|=sinx單調(diào)遞減，故D

選項不正確.

故選：C.

15.D

【分析】

根據(jù)散點圖的分布可選擇合適的函數(shù)模型.

【詳解】

由散點圖分布可知，散點圖分布在一個對數(shù)函數(shù)的圖象附近，

因此，最適合作為發(fā)芽率了和溫度x的回歸方程類型的是y=4+Rnx.

故選：D.

【點睛】

本題考查函數(shù)模型的選擇，主要觀察散點圖的分布，屬于基礎(chǔ)題.

16.D

【分析】

先得出力<、的等價條件s“<,然后再進(jìn)行判斷，對于③可以取一個公比為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列說明其存在性即

可.

【詳解】

SS

對于①,—<-77o（〃+1），<nS,o”（S“+i-S“）=<na?,

nn+i1+l+x

a

若?<?n+i，則S“<na?<“4+1,所以①正確；

對于②，設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

mi。d2（S”dd

貝ijs“=7〃+《一彳〃，所以一二彳八十弓一彳，

2\2Jn22

即為公差為I■的等差數(shù)列，

若｛4｝為和諧數(shù)列，即&<4，則（>0,

nn+12

所以關(guān)于"的二次函數(shù)s“=家+（《-￡）”,開口向上，

所以在〃€N,上一定存在最小值,所以②正確；

對于③，取4<0,q=——,

則5，=言?（1_。"）=2/1-［一1，

叫向=叫｛一；），

下面證明S,,<照用，即說明存在公比為負(fù)數(shù)的一個等比數(shù)列是和諧數(shù)列,

即證咚

當(dāng)〃=2A+1,AeN,上式左邊為負(fù)數(shù)，顯然成立，

當(dāng)”=2Z,%eN”,時，即證+即證16"—：上-1>0,(*)

555-

設(shè)/(Q=16*-/k-lja)=I6"」nl6_5>lnl6-]=lnl6-lne2>0,

所以⑴>0,即（*）式成立，所以③正確.

故選：D

17.⑴q=27-2〃

(2)-640

【分析】

(1)設(shè)出公差，利用題干條件列出方程，求出公差，進(jìn)而寫成通項公式；

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，得到％“川-2-%,一2=-6,即數(shù)列的““｝("正整數(shù))為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)

行求解.

【詳解】

(1)設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的公差為

則%=q+10J,al3=%+12d.

因為q,an,%成等比數(shù)列，所以對=4?%，

即(4+10c/)2=4?(?1+12J),

%=25代入，解得d=-2(d=0舍去).

所以?！?4+(〃-1)4=25+5-1)(-2)=27-2，，

所以｛凡｝的通項公式為4,=27-2〃；

(2)因為啊,")-2-%"-2=%“+1-%a-2=[27—2(3"+1)]-[27-2(3"-2)]=-6,

所以數(shù)列應(yīng)向｝("正整數(shù))是以25為首項，-6為公差的等差數(shù)列，

2020

以〉:%上一2=q+%+%++。58=20x25H-----x19x(—6)=—640.

我=i2

18.(1)證明見解析

(2)30.

【分析】

(1)利用面面垂直的判定定理證明；

(2)根據(jù)線面垂直的判定定理證明得尸01底面A3C。，再根據(jù)四棱錐的體積公式求出抬=P￡)=A8=￡)C=2,

從而用線面角的定義求解.

【詳解】

(1)因為在四棱錐P-A3CD中，NBAP=NCDP=9Q，

所以ABJ_R4,CDLPD,

又ABHCD,所以

因為PAPD=P,PAPOu平面PA",

所以451平面PAD,

因為ABu平面所以平面平面PAD.

(2)取AE>中點0,連結(jié)P0,

因為A4=P￡>,所以P0_LAD,

由(1)知A31平面RAZ),ADu平面E4O,所以A3_LPO,

因為ABcAD=A,ARAOu底面4JC3,

所以P0/底面ABCD,

設(shè)PA=PD=AB=DC=a,求得仞=5+^=耳,PO=^-

所以匕>-ABCO=§*S四邊制JJCOxPO

]1\T2,]8

=-xABxADxPO=-xaxy/2ax^^a=—a^=-

33233

解得a=2,

J9fWPB=yJpO2+AO2+PB2=V2+2+4=2>/2，

因為PO工底面ABC。，

所以/P5O為所與平面A3CQ所成的角，

在Rt2\PO3中，sinZPBO=—=^=-,

PB2V22

所以NP8O=30.

所以總與平面ABC。所成的線面角為30.

19.(1)證明見解析

具有性質(zhì)尸(咐，m的取值集合=

【分析】

（1）假設(shè)y=e'具有性質(zhì)P（，"），由定義求解結(jié)論成立的條件；

（2）假設(shè)y=sinx具有性質(zhì)網(wǎng)機(jī)），由定義求解結(jié)論成立的條件.

【詳解】

(1)假設(shè)尸e，具有性質(zhì)？(⑹，即*"=-.)對一切方恒成立

化簡e""=-e，得到e"=T,顯然不存在實數(shù)，〃使得e“=T成立，所以假設(shè)錯誤，

因此函數(shù)丫=6,不具有性質(zhì)尸(，”).

(2)假設(shè)y=sinx具有性質(zhì)*/〃)，即sin(x+m)=-(sinx)'對一切x恒成立，

即sin(x+〃?)=一cosx對一切入恒成立，則sinxcosm+(sin7〃+l)cosx=(^\]，一切/恒成立,

fcos"2=0TT._/、

由《.，八，所以當(dāng)，〃=2E-彳,AeZ時，y=sinx具有性質(zhì)網(wǎng)附，

[sinw+l=02

所以y=sinx具有性質(zhì)P(m),m的取值集合{〃中w=2kt-：/ez}.

20.(1)346米

⑵651米

(3)答案見解析

【分析】

如圖，以。原點，OB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)由題目條件可得Q，C坐標(biāo)，利用兩點距離公式可得答案；

2

(2)設(shè)/尸。4=。(04。工]兀)，設(shè)修建的總路長EP+PM+PN為/(。)，由題可得/(。)表達(dá)式，后由導(dǎo)數(shù)知識可得答

案；

(3)可以從多個角度考慮，但以下兩個指標(biāo)是主要的衡量指標(biāo)：1修的路相對短，2修的路相對便于居民出行言之

有理即可.

【詳解】

(1)如圖，以0原點，OB所在直線為*軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

因為點。為弧￡4的中點，所以。(200〈00],200?$嗚)，即Q(100,100揚(yáng)

設(shè)。C與y軸交于F點，C(x,y),

則x=\OB\=400,y=|OF|=\OD\COS=20073,即C(400,200石)，

所以IQC1=J(400-100尸+(200G-IOOGT=200G合346(米).

所以QC的長約為346米:

則戶(200cos9,200sin。)，M(400,200sin,N(200cose,200百)，

設(shè)修建的總路長EP+PM+PN為f(。)，

所以于⑹=200c兀-q+(400-200cos(9)+(2006-200sin<9)=等兀+400+2006-200。-200cos0-200sin0,

f\0)=-200+200sin0-200cos0,

令/'(6?)=0,則sine_cos，=0sin(6?_：)=l,0<6?<|n,解得0=],

當(dāng)o<e<：時，r⑻<o,函數(shù)/(⑶單調(diào)遞減；當(dāng)緊”號時，m>o,函數(shù)>=/(，)單調(diào)遞增.

2ND

所以/(6)mM=/4)=等兀+400+200后一200x]-200a651(米).

所以修建的總路長EP+PM+PN的最小值約為651米.

(3)(1)涉及到的設(shè)計方案總路徑是竽+2006*765米，比起方案2顯然不是最優(yōu)(短)路徑；

(2)涉及到的設(shè)計方案顯然相對于方案1是相對不便捷(不利于A8段附近居民前往).

(說明：可以從多個角度考慮，但以下兩個指標(biāo)是主要的衡量指標(biāo)：1修的路相對短，2修的路相對便于居民出行)

21.⑴方的值為1或4

(2)1

(3)證明見解析

【分析】

(1)分0＜力＜2,分＞2兩種情況結(jié)合離心率計算式可得答案;

(2)聯(lián)立直線A"的方程與橢圓方程可得/，聯(lián)立直線8N的方程與橢圓方程可得a.結(jié)合圖形可得

，后結(jié)合N87M+ZATN=?及弦長公式可得今=匕曾，即可得答案;

|7X|-|77V|-sinZA77V1I+1

（3）聯(lián)立直線與橢圓方程可得知,X,,后結(jié)合T,在橢圓內(nèi)部可得知,加大小，又由題意可得以,加大小，即

可證明結(jié)論.

【詳解】

（1）因為橢圓C的離心率是走.

當(dāng)0</?<2時，立=立王，得匕=1；

22

當(dāng)b>2時，蟲=2^11,得6=4；

2b

所以〃的值為1或4;

（2）由題意，直線AM的斜率心存在，直線8N的斜率&階存在,

k,2\1,直線AM的方程y=-《x+l,設(shè)〃（%,加）.

…丁一五