2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)22函數(shù)壓軸突破訓(xùn)練（解析版）（江蘇）

考點(diǎn)22函數(shù)壓軸專題突破訓(xùn)練

在真瞿過關(guān)

1.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題）一次函數(shù)y=gx+l的圖像與x軸交于點(diǎn)A,二次函數(shù)

圖1圖2

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖1,一次函數(shù)丫=；》+〃（"＞-2,〃*1）與二次函數(shù)＞?=依2+法+《4/0）的圖像交于點(diǎn)0（玉,乂）、

（王＜々），過點(diǎn)C作直線《"Lx軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作直線4，尤軸，過點(diǎn)8作8尸，4于點(diǎn)尸.

①芭=，々=（分別用含”的代數(shù)式表示）；

②證明：AE=BF；

（3）如圖2,二次函數(shù)y="（XT）2+2的圖像是由二次函數(shù)產(chǎn)加+bx+c（a/0）的圖像平移后得到的，且與

一次函數(shù)〉=3工+1的圖像交于點(diǎn)P、Q（點(diǎn)尸在點(diǎn)。的左側(cè)），過點(diǎn)尸作直線1Lx軸，過點(diǎn)。作直線"Lx

軸，設(shè)平移后點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A、B',過點(diǎn)4作A'M，。于點(diǎn)M,過點(diǎn)B'作"NJ_"于點(diǎn)N.

①A'M與3W相等嗎？請說明你的理由；

②若A'M+3?N=2,求f的值.

【答案】（l）y=V+2x

⑵①二3々9+16匕-3+J9+16”；②見解析

44

（3）①A'M=?N,理由見解析；②3

【分析】（1）通過一次函數(shù)表達(dá)式可以求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式即

可求解；

(2)①通過聯(lián)立關(guān)系式可得：^x+n=x2+2x,利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到.蒞

的值；

②通過A(-2,0),E(土苧畫,0)即可求出4E的長度；

通過即可求出族的長度；

8(g3,f(-3+>/9+16n5

(3)①通過二次函數(shù)平移前后的表達(dá)式可以確定新二次函數(shù)的圖像是由原二次函數(shù)的圖像向右平移。+1)

個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到的，從而可以得到：A(r-1,3),通過聯(lián)立關(guān)系式可得：

(xT)2+2=gx+l,利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到點(diǎn)P、點(diǎn)。的橫坐標(biāo)，通過坐標(biāo)

即可表示出AM、BW的長度.

②由①可得§二速匕15=[求解即可.

42

【詳解】(1)令尸0,貝仁x+l=0,解得x=-2,

A(-2,0),

將點(diǎn)代入y=：x+l中，解得機(jī)=：,

I4/22

二點(diǎn)8的坐標(biāo)為(!，1).

24

將A(-2,0),嗎令,C(0,0)代入y=〃+foc+c("0)可得:

4。一2Z?+c=0[

a=1

{-a+—b+c=-,解得：<。=2,

424八

八二

c=0c0

???二次函數(shù)的表達(dá)式為y=f+2x.

(2)①Y一次函數(shù)y=；x+〃(〃>-2，"Hl)與二次函數(shù)y=?2+云+c(aHO)的圖像交于點(diǎn)C(西,y|)、

。(七，%)(占<%),

...聯(lián)立關(guān)系式得：；x+"=d+2x,

3

整理得：x2+-x-n=0,

39

+

2-4-

解得：2v4〃—3—J9+16-，—3+J9+16/2,

x.=----------------=----------------

2424

故答案為'二土產(chǎn)《二w畫

②當(dāng)〃>1時(shí)，8位于48的上方，???4(一2,0)、

、？+59395、

34〃——+<-+4z?--+-+4n——+2+4〃

2丫4A1丫4

AE=-2-2------，BF22

2222

/.AE=BF,

9

當(dāng)一時(shí)，C。位于A8的下方，同理可證.

16

故可得：AE=BF；

(3)方法一:

①??,二次函數(shù)y=x2+2x圖像的頂點(diǎn)為,

二次函數(shù)y=(xT)2+2的圖像的頂點(diǎn)為&2),

.??新二次函數(shù)的圖像是由原二次函數(shù)的圖像向右平移U+1)個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到的.

A(—2,0)的對應(yīng)點(diǎn)為A(I,3),嗚高的對應(yīng)點(diǎn)為8'1+|?)，

聯(lián)立關(guān)系式可得：(x-y+2=；x+l,

整理得：x2-(2r+1)%+r+l=0,

8—5

，二4'

當(dāng)時(shí)，解得：與=曳止遮三5,4f+l+麻逅,

8,404

.,34r+l+V8r-155-V8r-1547+1-J8f-15,,、5-J815

??NKTBn=Z+----------------------=--------------,AM=---------------------(r-l)=---------------

24444

???AM=BrN.

②：4M+3#N=2,AM=B'N.

：.A'M=B'N=-,

2

.5-J8r-151

??-------—―,

42

解得：f=3.

方法二：

①設(shè)P、。平移前的對應(yīng)點(diǎn)分別為P、Q',則PQ'〃PQ.

則戶0'//AB,

B’平移前的對應(yīng)點(diǎn)分別為A、B,

111(2)②及平移的性質(zhì)可知，A'M=B'N.

②：A'M+3?N=2,

Z.A'M=B'N=~,

2

v嗚到y(tǒng)軸的距離為點(diǎn)。是y軸與二次函數(shù)y=V+2x的圖像的交點(diǎn)，

二平移后點(diǎn)0的對應(yīng)點(diǎn)即為點(diǎn)Q.

???二次函數(shù)y=/+2x圖像的頂點(diǎn)為(―L-l),

二次函數(shù)y=(xT)2+2的圖像的頂點(diǎn)為?,2),

...新二次函數(shù)的圖像是由原二次函數(shù)的圖像向右平移。+1)個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到的.

+將點(diǎn)。的坐標(biāo)代入y=；x+l中，解得7=3.

另解：

?/A'M+3B'N=2,

：.A'M=B'N=~,

2

的對應(yīng)點(diǎn)為+?

2

113

，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為t+1,代入y=]X+i,=-(+-.

.?.Q(r+l,gf+|).將點(diǎn)2的坐標(biāo)代入y=(x-ty+2中，解得f=3.

2.(2022.江蘇常州.統(tǒng)考中考真題)已知二次函數(shù)>=62+法+3的自變量X的部分取值和對應(yīng)函數(shù)值y如下

表:

X-10123

y430-5-12

(1)求二次函數(shù))，=底+灰+3的表達(dá)式;

⑵將二次函數(shù)y=/+法+3的圖像向右平移W左>0)個(gè)單位，得到二次函數(shù)y=mx2+/w+q的圖像，使得

當(dāng)-l<x<3時(shí)，丫隨x增大而增大；當(dāng)4<x<5時(shí)，>隨x增大而減小，請寫出一個(gè)符合條件的二次函數(shù)

2

y=lwc+nx+q的表達(dá)式丫=,實(shí)數(shù)k的取值范圍是；

(3)A、B、C是二次函數(shù)y="?+法+3的圖像上互不重合的三點(diǎn).已知點(diǎn)A、8的橫坐標(biāo)分別是機(jī)、m+\,

點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于該函數(shù)圖像的對稱軸對稱，求ZACB的度數(shù).

【答案】(1)尸-爐-2"3

(2)y=—(x—3p+4(答案不唯一)，4<A:<5

(3)N4C8=45?；?35°

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)先求出平移后的二次函數(shù)對稱軸為直線4=&-1,然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出4M&M5,即可得

到答案；

(3)先分別求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出乙-XC=2/M+3,y?-yc=-2m-3,然后分四種情況討

論求解即可得到答案.

a-b+c=4

<a+h+c=0

【詳解】(1)解：由題意得：'c=3,

[a=-1

解得〃

[h=-2

???二次函數(shù)解析式為y=——2彳+3；

(2)解：；原二次函數(shù)解析式為y=r2-2x+3=-(x+l)-+4

由題意得平移后的二次函數(shù)解析式為y=-(x+1-左p+4,

.??平移后的：次函數(shù)對稱軸為直線工=%-1,

?.?二次函數(shù)y+依+q的圖像，使得當(dāng)T<x<3時(shí)，y隨X增大而增大；當(dāng)4Vx<5時(shí)，>隨x增大而

減小，且二次函數(shù)丁=/蛆2+初+4的開口向下，

A3<Jl-l<4,

???符合題意的二次函數(shù)解析式可以為y=—(x+l—4)2+4=-(X一3)2+4；

故答案為：y=-（x-3）?+4（答案不唯一），4<Ar<5；

⑶解：?.?二次函數(shù)解析式為，=一.-2》+3={+1）-+4,

；?二次函數(shù)y=-/-2x+3的對稱軸為直線x=-l,

C關(guān)于對稱軸對稱，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，小

.?.C的橫坐標(biāo)為-2-加，

.,.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（〃?，r/-2m+3）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2-〃?，-ni1-2m+3）-

???點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為〃什1,

.??點(diǎn)B的坐標(biāo)為5+1,_帚-4加）,

Xp——2m+3,y———2m—3,

如圖1所示，當(dāng)A、8同時(shí)在對稱軸左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)B作BE，1軸于交4c于。，連接8C,

A、C關(guān)于對稱軸對稱9

AC〃x軸，

???BEA.AC,

Xfj_x，c=2m+3,y—2m_3,

:.CD=-2m-3=BD9

.?.△8OC是等腰直角三角形，

ZACB=45°,

同理當(dāng)AB同時(shí)在對稱軸右側(cè)時(shí)，也可求得/AC3=45。，

如圖2所示，當(dāng)4在對稱軸左側(cè)，B在對稱軸右側(cè)時(shí)，

過點(diǎn)B作直線BD垂直于直線AC交直線ACTD,

同理可證4BDC為等腰直角三角形，

二NBCD=45。,

ZACB=135°,

同理當(dāng)A在對稱軸右側(cè)，B在對稱軸左側(cè)也可求得/4CB=135。，

綜上所述，NAC8=45?；?35°

與X軸交于A,8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為。.其對稱軸與線段8c交于點(diǎn)E,

(備用圖)

(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)(用數(shù)字或含小的式子表示)，并求NOBC的度數(shù)；

(2)若ZACO=NCBD,求〃?的值；

(3)若在第四象限內(nèi)二次函數(shù)y=-x?+2儂:+2機(jī)+1(”是常數(shù)，且加＞0)的圖像上，始終存在一點(diǎn)尸，使得

ZACP=75°,請結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫出機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)A(-1,0)；B(2/M+I,0)；C(0,2/n+l)；NOBC=45°

(2)m=1

（3）0</H<—―-

2

【分析】（1）分別令X，y等于0,即可求得AB,c的坐標(biāo)，根據(jù)OC=OB,ZBOC=90°,即可求得NO5c=45°；

（2）方法一：如圖1,連接AE.由解析式分別求得。/=（6+琰，OF=m,BF=m+L根據(jù)軸對稱的性

質(zhì)，可得=由'一,建立方程，解方程即可求解.方法二：如圖

tanNACE=====7；K=2,

CECEOFm

過點(diǎn)D作DH工BC交BC于點(diǎn)H.由方法一，得。尸=（機(jī)+BF=EF=m+T.證明

1）2,△A0CSA￡>〃B,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立方程，解方程即可求解；

（3）設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)Q,當(dāng)尸在第四象限時(shí)，點(diǎn)?？傇邳c(diǎn)B的左側(cè),此時(shí)NCQA>NCBA,即ZCQA>45°.

【詳解】（1）當(dāng)》=。時(shí)，—x?+2〃a+2帆+1=0.

解方程，得再=-1,x2=2m+\.

?.?點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)，且切>0,

AA（-l,0）,5（2/n+l,0）.

當(dāng)x=0時(shí)，y=2m+\.

：.C（0,2/n+l）.

OB=OC=2/7?+1.

ZBOC=90°,

:.NO5c=45。.

（2）方法一：如圖1,連接

y=-J+2mx+2，x+l=—（x—相）~+（m+1）~,

/.O（m+,F（zn,0）.

，。尸=（相+，OF=m,BF=m+\.

?.?點(diǎn)A,點(diǎn)8關(guān)于對稱軸對稱，

,AE=BE.

：.NEAB=NOCB=45。.

???ZC￡4=90°.

VZACO=ZCBDtNOCB=/OBC,

：.ZACO4-ZOCB=NCBD+ZOBC,

即ZACE=/DBF.

■:EF//OC,

?"43絲=絲二竺=皿

CECEOFm

.?m+1_（加+1）2

mm+\

V/?7>0,

圖1

方法二：如圖2,過點(diǎn)。作O/7L8C交8C于點(diǎn)H.

由方法一，得。/=（小+1）2,BF=EF=m+L

DE=nr+tn.

■:ZDEH=ZBEF=45°f

/.DH^EH=—DE^

2

BE=V2BF=V2（^+1）.

BH=BE+HE=

VZACO=ZCBD,ZAOC=ZBHD=90°,

???△AOCs/\DHB.

.OAPH

*0C-B/7

1m

,即

,,2w+1+3機(jī)+2）2m+1m+2

*/m>0,

圖2

(3)Q<tn<―.

2

設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)Q,當(dāng)尸在第四象限時(shí),，點(diǎn)?？傇邳c(diǎn)8的左側(cè)，止匕時(shí)NCQA>NC8A,即NCQA>45。.

??,ZAC2=75°,

??.ZC4O<60°.

/.tanZCAO<V3,

OC=2m+1,

?,2m+1<>/3.

解得m<一-,

2

又〃2>(),

.八>73—1

??()<〃?<-------?

2

4.(2022?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考中考真題)如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標(biāo)系中，底部邊緣A8在x

軸上，且AB=8dm,外輪廓線是拋物線的一部分，對稱軸為V軸，高度OC=8dm.現(xiàn)計(jì)劃將此余料進(jìn)行切

割：

(1)若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣A8上且面積最大，求此正方形的面積；

(2)若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣AB上且周長最大，求此矩形的周長；

(3)若切割成圓，判斷能否切得半徑為3dm的圓，請說明理由.

【答案】⑴(96-32石)dn?：

(2)20dm；

(3)能切得半徑為3dm的圓.

【分析】(1)先把二次函數(shù)解析式求出來，設(shè)正方形的邊長為2m，表示在二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可

得到關(guān)于m的方程進(jìn)行求解；

(2)如詳解2中圖所示，設(shè)矩形落在AB上的邊OE=2〃，利用函數(shù)解析式求解F點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出矩形

的周長求最大值即可；

(3)設(shè)半徑為3dm的圓與A8相切，并與拋物線小腳，設(shè)交點(diǎn)為M求出交點(diǎn)N的坐標(biāo)，并計(jì)算點(diǎn)N是，M

與拋物線在y軸右側(cè)的切點(diǎn)即可.

【詳解】(D由題目可知A(-4,0),B(4,0),C(0,8)

設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c,

?對稱軸為y軸，

將A、C代入得，4=-；，。=8

則二次函數(shù)解析式為y=-g/+8,

如下圖所示,正方形MNPQ即為符合題意得正方形，設(shè)其邊長為2m,

則P點(diǎn)坐標(biāo)可以表示為(m,2M

代入二次函數(shù)解析式得，

——w-+8=2m,解得“％=26-2,電=-2石-2(舍去)，

.,.2/”=46-4,(2/T?)2=(4V5-4)：=96-32方

則正方形的面積為(96-326)加2；

(2)如下如所示矩形。EFG,設(shè)OE=2〃，則E(〃，0)

將廣〃代入二次函數(shù)解析式，得

1，。

y=-—+8,

貝ljEF=-^n2+8,

矩形。EFG的周長為：2(DE+EF)=2(2n+-^r+8)=-?2+4n+16=-(?-2)2+20,

當(dāng)n=2時(shí)，矩形的周長最大，最大周長為20dm:

理由如下:

如圖，N為（M上一點(diǎn)，也是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)N作，M的切線交y軸于點(diǎn)Q,連接MN,過點(diǎn)N作NP±y

軸于P,

由勾股定理得：PM-+PN2=MN2,

22

?2-1/n4-8-3^=3

..???+

解得：町=2夜，1nl=-2叵（舍去）,

二N（20,4）,

???PM=4-3=1

八iPMMN_1

cosNNMP=-----

MN2M-3

，QM=3MN=9

2(0)12)

設(shè)QN的解析式為:y-kx+b

b=l2

\242k+b=4

A=-2&

..v

b=n

.?.QN的解析式為:y=-2A/2X+12

向+

與拋物線聯(lián)立為:-L?+8=-212

2

-X2-2Y/2X+4=0

2

A=(-2V2)2-4xlx4=0

所以此時(shí)N為\M與拋物線在y軸右側(cè)的唯一公共點(diǎn),

所以若切割成圓，能夠切成半徑為3dm的圓.

5.(2022?江蘇宿遷?統(tǒng)考中考真題)如圖，二次函數(shù)y=；/+6x+c與x軸交于。(0,。)，A(4,0)兩點(diǎn),

頂點(diǎn)為C,連接OC、AC,若點(diǎn)8是線段上一動點(diǎn)，連接BC,將沿8c折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)4的

位置,

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)①求證：△OCMMBD；

②求變的最小值；

BA

(3)當(dāng)SAX”=8%A加時(shí)，求直線A'B與二次函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo).

［答案］⑴y=#_2x

(2)①證明見解析，②也

2

,_x2+2Vi9t2-2719

33

【分析】(1)二次函數(shù)y=；/+bx+c與x軸交于。(0,0),4(4,0)兩點(diǎn)，代入求得江c的值，即可得到

二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)①由y=gf-2x=g(x-2)2-2,得到頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,-2),拋物線和對稱軸為直線x=2,由

拋物線的對稱性可知OC=AC,得到NCAB=NC。。，由折疊的性質(zhì)得到△ABC2△4BC,得NCAB=NW,

AB^A'B,進(jìn)一步得到NC0￡>=/4,由對頂角相等得NOOC=NBQA,證得結(jié)論；

②由△OCZJsAA'B。，得到等=等=空，設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為"，0),DC=

DADACU

____________________

J(d-2)2+(0+2)2=J(d-2)2+4,在o<"<4的范圍內(nèi)，當(dāng)d=2時(shí)，DC有最小值為衣=2，得到七萬的

最小值，進(jìn)一步得到萼的最小值；

BA

(3)山％口>=850皿和△08-八4,8。得到喘=通=2后，求得A8=A8=1,進(jìn)一步得到點(diǎn)8的坐

AB

標(biāo)是(3,0),設(shè)直線BC的解析式為把點(diǎn)8(3,0),C(2,-2)代人求出直線8C的解析

式為)，=2%—6,設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是(p,q),則線段4/的中點(diǎn)為(粵，1),由折疊的性質(zhì)知點(diǎn)(等，

￡)在直線BC上，求得g=2p—4,由兩點(diǎn)間距離公式得AB=1,解得夕=2或p=￡,求得點(diǎn)A的坐標(biāo),

4

設(shè)直線的解析式為尸k2x+b2,由待定系數(shù)法求得直線A:B的解析式為尸-鏟+%聯(lián)立直線和

拋物線y=gx2-2x,解方程組即可得到答案.

【詳解】(1)解：：二次函數(shù)y=gx2+bx+c與X軸交于。(0,0),A(4,0)兩點(diǎn)，

fc=0

???代入O(0,0),A(4,0)得，Q八八，

［8+4/?+c=0

...二次函數(shù)的表達(dá)式為y=；/-2x；

(2)①證明：???y=gf-2x=；(x-2)2-2,

...頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,-2),拋物線y=的對稱軸為直線尤=2,

???二次函數(shù)y=g/+bx+c/x軸交于。(()，0),A(4,0)兩點(diǎn)，

/.由拋物線的對稱性可知OC=AC,

:.NCAB=NCOD,

ABC沿BC折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)H的位置，線段A'C與x軸交于點(diǎn)

/.^ABC^/\A'BC,

：.ZCAB=ZA',AB=A'B,

：.ZCOD=ZA',

'：ZODC^ZBDA',

：.△OCD^AA'M；

②：△OCAXNBD,

.DBDBDC

?,詼一麗―而‘

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(d,0),

DC=J(d-2)2+(0+2)2=""-2)2+4,

：點(diǎn)￡)與。、A點(diǎn)不重合，

，0<d<4,

對于。C2=(d-2>+4來說，

,:a=l>0,

拋物線開口向上，在頂點(diǎn)處取最小值，當(dāng)d=2時(shí)，OC?的最小值是4,

.?.當(dāng)d=2時(shí)，DC有最小值為4=2，

OC=>/(2-0)2+(-2-0)2=272,

??考有最小值為巖==冬

co2V22

普的最小值為也；

BA2

解：：S&口A

(3)0c=8s△，W),

.S^OCD_o

'：/\OCD^/\A'BD,

.，?℃=a=2^2,

A!B

?：0C=2叵,

??AfB=AB=1,

???點(diǎn)8的坐標(biāo)是(3,0),

設(shè)直線BC的解析式為y=&x+",

3占+4=0

把點(diǎn)8(3,0),C(2,-2)代人得

2k1+4=—2

k、二2

解得

4=一6

?,?直線BC的解析式為y=2x—6,

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（p,q）,

二線段4A的中點(diǎn)為（勺，鼻）,

22

由折疊的性質(zhì)知點(diǎn)（修土在直線BC上，

j"—6,

22

解得q=2p—4,

J（p-3j+（4-0）2=J（p_3j+（2p_4）2=1,

整理得（p-3>+（2p-4）2=l,

12

解得〃=2或〃=（，

當(dāng)p=2時(shí)，夕=2p—4=0,此時(shí)點(diǎn)A（2,0）,很顯然不符合題意,

124124

當(dāng)時(shí)，,=2p—4=二，此時(shí)點(diǎn)A（不，二），符合題意，

設(shè)直線A8的解析式為y=k2x+b2,

1243k2+b2=0

把點(diǎn)8（3,0）,Ar（—,—）代人得，〈124,

551—^+^=-

\k」

解得23,

仇=4

,4

，直線AB的解析式為y=-鏟+4,

y=——x+4

聯(lián)立直線A'B和拋物線y=^x2-2x得到,3

y=-x2-2x

2

2+27192-2M

寸——

解得

28-8719'28+8炳’

M=~

二直線A'B與二次函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2+2曬或2-2炳

33

在模擬檢測

■

L（2。22.江蘇無錫.無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M）如圖，拋物線…"+?，與，軸的一個(gè)交點(diǎn)為

A（-2,0）,與y軸的交點(diǎn)為8（0,4）,對稱軸與X軸交于點(diǎn)P.

備用圖

（1）求拋物線的解析式;

（2）點(diǎn)/為y軸正半軸上的一個(gè)動點(diǎn)，連接AM,過點(diǎn)M作AM的垂線，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)N,連

接AN.

①若.AMN與AOB相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo):

②若點(diǎn)M在曠軸正半軸上運(yùn)動到某一位置時(shí)，40N有一邊與線段AP相等，并且此時(shí)有一邊與線段AP具

有對稱性，我們把這樣的點(diǎn)〃稱為“對稱點(diǎn)”，請直接寫出“對稱點(diǎn)”〃的坐標(biāo).

［3

［答案］⑴,=_才+a+4

42

（2）①M(fèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,6）或（0,|；②例點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,⑨）或（0,"）或0,|

【分析】（I）利用待定系數(shù)法去求拋物線解析式;

（2）①先求出拋物線的對稱軸為x=3,作何￡＞，直線x=3于點(diǎn)。，作。于E,根據(jù)相似三角形的判

定和性質(zhì)進(jìn)行如下的分類討論即可：（1）當(dāng)老=翳時(shí)，⑵當(dāng)箸=嘿時(shí)進(jìn)行求解即可;

②先確定AP=5進(jìn)行如卜的分類討論即可：⑴當(dāng)AAf=AP=5時(shí),（2）當(dāng)AN=AP=5時(shí)，（3）當(dāng)MN=5

時(shí)進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）將點(diǎn)A（-2,0）,磯0,4）分別代入丫=-；/+法+。得

,,3

h=-

解得《2，

：.拋物線的解析式為y=-%2+|x+4；

（2）①拋物線的對稱軸為直線》=一

作MD_L直線x=3于點(diǎn)，作于E,

?；ZAMN=ZAOB,

.業(yè)AMMNmAMOB4?

OBOAMNOA2

???AAM7VsXBOk，如圖1,

VZEAM+ZEMA=90°,4DMN+/EMA=90。,

：./EAM=4DMN,

,/NAEM=NMDV=90。，

J/XAEMs/\MDN,

.AEAM.

.…=2,

MDMN

而MO=3,

，AE=6,

此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,6）,

?wAMMNAMOA2\

??,n［、n|J===

OAOBMNOB42

：.^AMN^AOB,如圖2,

同理可得△AEMs/\MDN，

,AEAM1

MDMN2

而MD=3，

此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為QB

綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,6）或1）,|）

②?.?A（-2,0）,P（3,0）,

,AP=5,

當(dāng)AM=AP=5時(shí)，OM=752-22=y/2i，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，?卜

當(dāng)AN=AP=5時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)尸重合，則0w2=。4.0尸，

OM=12x3=R,此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（。,?）；

當(dāng)MN=5時(shí)，在RtMND中,DN=R守=4,

,//\AEMs/\MDN,

.AEEMAE2

.?---=----,艮HJn—=—,

MDDN34

解得AE=|,此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，|）,

2.（2022?江蘇泰州??？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，有函數(shù)H=』（x>0）,必=K（k<0,x>0）,

XX

%=區(qū)+6.

備用圖

⑴若丫2與以相交于點(diǎn)A(2,m),

①求人與機(jī)的值；

②結(jié)合圖像，直接寫出必<為時(shí)X的取值范圍;

(2)在x軸上有一點(diǎn)尸(a,0)且a>0,過點(diǎn)戶作》軸平行線，分別交％、%、%于點(diǎn)8、C、D,經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn),

不論々取何值，8c的值均為定值，請求出此定值和點(diǎn)B的坐標(biāo).

【答案】⑴①切的值為-2,女的值為T：②0<x<2

(2)①若從上到下為B、￡>、C時(shí)，此定值為6,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,3)；②若從上到下為氏C。時(shí)，此定值為

6,點(diǎn)8的坐標(biāo)為(1,3)；③若C與。重合時(shí)，此定值為0,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a，)其中“>0且。工1

【分析】(1)①將點(diǎn)A分別代入必=A和%=履+6,建立二元一次方程組，求解即可得〃?，%的值.②由

X

①可得以=-4jy、=Tx+6,A(2,-2),則根據(jù)圖像即可得出必<〉3時(shí)x的取值范圍；

X

(2)由已知條件，分別表示出點(diǎn)B,C,。的坐標(biāo)，作出圖形，根據(jù)圖形可得出BC-9，進(jìn)而可列方程

求得。的值，即可得出答案.

【詳解】(1)解：①*%與％圖像相交于點(diǎn)42,機(jī))，

k伏二2mftn=—2

.?.把A(2,⑼分別代入%=*和*=履+6,得°,<，解得，〃，

x[2k+6=m[女=-4

的值為-2,%的值為-4.

4

②%=-一，％=-4X+6,A(2,—2),根據(jù)圖像可知，y2Vx時(shí)，0<x<2；

X

(2)解：由題意，分三種情況，作圖如下：

二.,C(a,—),D(a,ak+6),

aa

3k3

若從上到下為。、B、C時(shí)，如圖①所示：BC=——，BD=ak+6——,

aaa

BC-BD=----(ak+6-^]

aaya)

=—ak---1---6

二-Aa+—H---1-6,

\a)a

不論％取何值，8C-8O的值均為定值,

.?.?+-=0,該方程無解，故此種情況不成立；

a

3k3

若從上到下為3、D、C時(shí)，如圖②所示：BC=---,BD=--ak-6,

aaa

BC-BD=----(--ak-6)

aaa

3k3

=----------\-ak+6

aaa

.k,

=ak---1-6

a

=k(a--)+6,

a

不論左取何值，的值均為定值,

=0,解得a=l或。=-1(由。＞0,故舍去)，

a

???此定值為6,點(diǎn)8的坐標(biāo)為0,3)；

3k3

若從上到下為3、G。時(shí)，如圖③所示：BC=——,BD=一一ak—6,

aaa

3〃3

???BC-BD=--------(——ak-6)

aaa

3k3，,

=--------+6

aaa

,k/

=ak—+o

a

=k(a—)+6,

,?不論左取何值，5C-的值均為定值，

=0,解得4=1或。=一1(由?！?,故舍去),

a

??.此定值為6,點(diǎn)8的坐標(biāo)為(1,3)；

33〃3

若3與。重合，則一=。左+6,BC=-------,BD=ak-6=0,

aaaa

3k

?-BC-BD=——,隨著人的變化，8。一如不可能為定值，故此種情況不成'匚

aa

k3k3

若C與。重合，則—=。％+6,BC---------,BD=—ak-6,

aaaa

BC-BD=O,隨著左的變化，BC-3。必為定值，即關(guān)于k的方程K=成+6有解，

a

.-.k=a2k+6a,即(1一/快=6a,當(dāng)「蘇片。時(shí)，解得女=^^,

\-a

.二。/±1,

.a>0,

二當(dāng)C與。重合時(shí)，此定值為0,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,：),其中a>0且"1；

綜上所述，不論％取何值，5C-BD的值均為定值，有①若從上到下為B、￡>、C時(shí)，此定值為6,點(diǎn)B的坐

標(biāo)為(L3)；②若從上到下為艮G。時(shí);此定值為6,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,3)；③若C與。電合時(shí)，此定值為0,

點(diǎn)5的坐標(biāo)為(a,：),其中a>0且a*l.

3.(2022.江蘇無錫?統(tǒng)考一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y=/+法-3a(a<0)

的圖象與x軸交于A、8(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,已知點(diǎn)3(3,0),P點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，

連接PC,作直線BC.

⑴點(diǎn)A的坐標(biāo)為

(2)若射線C8平分NPC。，求二次函數(shù)的表達(dá)式;

(3)在(2)的條件下，如果點(diǎn)。(以0)是線段A8(含A、B)上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)。作x軸的垂線，分別交直

線3c和拋物線于E、F兩點(diǎn),當(dāng)，”為何值時(shí)，△曲為直角三角形？

【答案】⑴(TO)

⑵y=-,x?+竿x+?

(3)當(dāng)%=2或-1時(shí)，△CEF為直角三角形

【分析】(1)把3(3,0)代入丫=加+析-34(。<0),得出。與人的關(guān)系，然后令，=0解方程即可;

(2)先求出直線BC的解析式，再根據(jù)PC=PG列方程求出a的值即可；

(3)分ACFE=90°和NECF=90°兩種情況求解即可.

【詳解】(1)解：把8(3,0)代入y=ar2+fo￥-3a(a<0),得0=9a+3/?-3a,

h=-2。,

/.y=ax2—lax-3a,

當(dāng)y=o時(shí),

ax2-2ax-3a=0，

??x2-2x—3=0,解得玉=-1,々=3.

???A(-1,O),

故答案為：(—LO)；

(2)解：由(1)知I,b=-2a,

???對稱軸為直線％=1.

y=ax2+hx-3a=ax2-2ax-3a=a(x-\)1-4a,

???,

當(dāng)x=0時(shí)，，y=ax2+bx-3a--3a,

：.C(0,-3a),

設(shè)宜線BC的解析式為y=tvx+n,

3m+〃=0m-a

公，解得

n=-3an=-3a'

/.y=ax-3a,

當(dāng)x=］時(shí)，y=ax-3a=-2a,

???G(l,-2a).

■:CB平分"CO,

：.4PCG=/OCG,

*：CO//PG,

：./OCG=/CGP,

：./PCG=/CGP,

：.PC=PG,

,/P(1,-4a),C(0,-3a),G(l,-2a),

/.PC2=PG2,即1+〃2=4々2,

..V3

??a=±—,

3

Va<0,

??(X-,

3

.…旦2+殛KG；

33

(3)???￡>EJLx軸，

AZEDB=90°,ZDEfi<90°,

■:/CEF=ZDEB,

：./CEFw90。,

①當(dāng)NCF￡=90。時(shí)，CF//OB.

;對稱軸為直線x=l，

此時(shí)"7=2;

綜上，當(dāng)機(jī)=2或-1時(shí)，△CM為宜角三角形.

4.（2022.江蘇泰州?校聯(lián)考三模）如圖，已知直線/經(jīng)過點(diǎn)A（2,2）,與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B,且tanNA8O=；；

（1）求直線/的解析式.

（2）直線/上有一點(diǎn)C（，%〃）（相>（）,〃>2）

①在x軸上僅存在一點(diǎn)P,使得的外心在線段AC上，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

②若"=8,過A、C的拋物線頂點(diǎn)在x的正半軸上.點(diǎn)Q是線段AC下方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，且以點(diǎn)。為

圓心的圓與直線/相切，求圓的最大半徑.

【答案】(l)y=；x+l

⑵①C(4+26,3+6)；②用

【分析】（1）過點(diǎn)A作軸于M,由題意易得朝0=4,然后可得3（-2,0）,進(jìn)而代入點(diǎn)4、B的坐標(biāo)

進(jìn)行求解即可；

Aj\4PM

（2）①過點(diǎn)C作CN_Lx軸于N,如（1）圖，山題意得：NAPC=90。，則可證_4WPs_PNC,則有工="，

PNCN

設(shè)P（x,O）,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及一元二次方程根的判別式可進(jìn)行求解；②由題意易得C（14,8）,然

后可得求出拋物線解析式為y=：（x-6）2,過。作QHLAC于H,由題意可知圓。的半徑最大且與AC相

切，則只要Q"最大.過。作QG，x軸交ACTG,然后根據(jù)鉛錘法及:次函數(shù)的性質(zhì)可求解.

【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作軸于

AAf1

在RLAflW中，ZABM=90°,tanZABO=——=-.

BM2

：A（2,2）,

AM=2,OM=2,

/.BA/=4,

，BO=2,

：.B（-2,0）,

設(shè)直線/的解析式為y=Q+"則有:

2k+b=2k=-

◎+『’解得：2,

b=l

.??直線/的解析式為y=；x+l.

(2.)解：①過點(diǎn)C作。V_Lx軸于N,如(1)圖，由題意得：ZAPC=90°.

：.ZAMP=/PNC=90°,ZAPM+ZMAP=/NPC+ZAPM=90°,

:.ZMAP=/NPC,

:一AMPs.PNC,

.AMPM

^~PN~~CN'

設(shè)P（x,0）,

.2x-2

??-----=-------，

m-xn

/.x2-（/n+2）x+3/n+2=0,

令△=（/n+2『一4（3m+2）=0,w?2一8〃2—4=0,

解得：=4±2y[5.

Vm>0,

=4+2>/5,

??n=3+5/5,

??.C（4+2逐,3+6）.

②當(dāng)〃=8時(shí)，代入直線/的解析式得：〃?二14,

C（14,8）,

設(shè)拋物線的解析式為y=a（xT）2,代入A（2,2）,C（14,8）,得:

a(2-r)2=2

，解得:

?(14-r)2=8

尸"(if,

過Q作。于H,由題意可知圓Q的半徑最大且與AC相切，則只要?！弊畲?

過。作QGJ_x軸交4c于G,

設(shè)點(diǎn)014（5-6）］,則G卜,gs+1

-

**.S&AOC=SAAOG9COG=I——+2s—12=—($—8)~+27.

：2<s<14,.?.當(dāng)s=8時(shí)，的最大值為27,此時(shí)Q”最大.

VAC=6>/5,

???最大半徑Q”=竽.

5.（2022?江蘇連云港?統(tǒng)考二模）如圖，拋物線>=-；/+云+。過點(diǎn)A（4,0）,8（0,2）.M（m,0）為線段

0A上一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)例與點(diǎn)A不重合），過點(diǎn)何作垂直于x軸的直線與直線A8和拋物線分別交于點(diǎn)。、N.

(1)求直線AB的表達(dá)式和拋物線的表達(dá)式；

⑵若DN=3DM,求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)：

(3)若點(diǎn)P為直線AB上方的拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)