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計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)一元線性回歸第一頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型分為兩大類(lèi):
線性模型和非線性模型線性模型中,變量之間的關(guān)系呈線性關(guān)系非線性模型中,變量之間的關(guān)系呈非線性關(guān)系
一元線性回歸模型:只有一個(gè)解釋變量
i=1,2,…,nY為被解釋變量,X為解釋變量,0與1為待估參數(shù),為隨機(jī)干擾項(xiàng)第二頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五
回歸分析的主要目的是要通過(guò)樣本回歸函數(shù)(模型)SRF盡可能準(zhǔn)確地估計(jì)總體回歸函數(shù)(模型)PRF。
估計(jì)方法有多種,其種最廣泛使用的是普通最小二乘法(ordinaryleastsquares,OLS)。
為保證參數(shù)估計(jì)量具有良好的性質(zhì),通常對(duì)模型提出若干基本假設(shè)。
注:實(shí)際這些假設(shè)與所采用的估計(jì)方法緊密相關(guān)。
第三頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五
一、線性回歸模型的基本假設(shè)
假設(shè)1、解釋變量X是確定性變量,不是隨機(jī)變量;
假設(shè)2、隨機(jī)誤差項(xiàng)具有零均值、同方差和不序列相關(guān)性:
E(i)=0i=1,2,…,nVar(i)=2i=1,2,…,nCov(i,j)=0i≠ji,j=1,2,…,n
假設(shè)3、隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量X之間不相關(guān):
Cov(Xi,i)=0i=1,2,…,n
假設(shè)4、服從零均值、同方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布i~N(0,2)i=1,2,…,n第四頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五
1、如果假設(shè)1、2滿足,則假設(shè)3也滿足;
2、如果假設(shè)4滿足,則假設(shè)2也滿足。注意:
以上假設(shè)也稱為線性回歸模型的經(jīng)典假設(shè)或高斯(Gauss)假設(shè),滿足該假設(shè)的線性回歸模型,也稱為經(jīng)典線性回歸模型(ClassicalLinearRegressionModel,CLRM)。
第五頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五
另外,在進(jìn)行模型回歸時(shí),還有兩個(gè)暗含的假設(shè):
假設(shè)5:隨著樣本容量的無(wú)限增加,解釋變量X的樣本方差趨于一有限常數(shù)。即
假設(shè)6:回歸模型是正確設(shè)定的
假設(shè)5旨在排除時(shí)間序列數(shù)據(jù)出現(xiàn)持續(xù)上升或下降的變量作為解釋變量,因?yàn)檫@類(lèi)數(shù)據(jù)不僅使大樣本統(tǒng)計(jì)推斷變得無(wú)效,而且往往產(chǎn)生所謂的偽回歸問(wèn)題(spuriousregressionproblem)。假設(shè)6也被稱為模型沒(méi)有設(shè)定偏誤(specificationerror)第六頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五二、參數(shù)的普通最小二乘估計(jì)(OLS)
給定一組樣本觀測(cè)值(Xi,Yi)(i=1,2,…n)要求樣本回歸函數(shù)盡可能好地?cái)M合這組值.
普通最小二乘法(Ordinaryleastsquares,OLS)給出的判斷標(biāo)準(zhǔn)是:二者之差的平方和最小。第七頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五方程組(*)稱為正規(guī)方程組(normalequations)。
第八頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五記上述參數(shù)估計(jì)量可以寫(xiě)成:
稱為OLS估計(jì)量的離差形式(deviationform)。由于參數(shù)的估計(jì)結(jié)果是通過(guò)最小二乘法得到的,故稱為普通最小二乘估計(jì)量(ordinaryleastsquaresestimators)。
第九頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五順便指出,記則有
可得
(**)式也稱為樣本回歸函數(shù)的離差形式。(**)注意:在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中,往往以小寫(xiě)字母表示對(duì)均值的離差。
第十頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五
三、參數(shù)估計(jì)的最大或然法(ML)
最大或然法(MaximumLikelihood,簡(jiǎn)稱ML),也稱極大似然法,是不同于最小二乘法的另一種參數(shù)估計(jì)方法,是從最大或然原理出發(fā)發(fā)展起來(lái)的其它估計(jì)方法的基礎(chǔ)。
基本原理:對(duì)于最大或然法,當(dāng)從模型總體隨機(jī)抽取n組樣本觀測(cè)值后,最合理的參數(shù)估計(jì)量應(yīng)該使得從模型中抽取該n組樣本觀測(cè)值的概率最大。第十一頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五在滿足基本假設(shè)條件下,對(duì)一元線性回歸模型:
隨機(jī)抽取n組樣本觀測(cè)值(Xi,Yi)(i=1,2,…n)。那么Yi服從如下的正態(tài)分布:于是,Y的概率函數(shù)為(i=1,2,…n)假如模型的參數(shù)估計(jì)量已經(jīng)求得,為第十二頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五因?yàn)閅i是相互獨(dú)立的,所以的所有樣本觀測(cè)值的聯(lián)合概率,也即或然函數(shù)(likelihoodfunction)為:
將該或然函數(shù)極大化,即可求得到模型參數(shù)的極大或然估計(jì)量。第十三頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五
由于或然函數(shù)的極大化與或然函數(shù)的對(duì)數(shù)的極大化是等價(jià)的,所以,取對(duì)數(shù)或然函數(shù)如下:第十四頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五解得模型的參數(shù)估計(jì)量為:
可見(jiàn),在滿足一系列基本假設(shè)的情況下,模型結(jié)構(gòu)參數(shù)的最大或然估計(jì)量與普通最小二乘估計(jì)量是相同的。第十五頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五例2.2.1:在上述家庭可支配收入-消費(fèi)支出例中,對(duì)于所抽出的一組樣本數(shù),參數(shù)估計(jì)的計(jì)算可通過(guò)下面的表2.2.1進(jìn)行。
第十六頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五因此,由該樣本估計(jì)的回歸方程為:
第十七頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五
四、最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)當(dāng)模型參數(shù)估計(jì)出后,需考慮參數(shù)估計(jì)值的精度,即是否能代表總體參數(shù)的真值,或者說(shuō)需考察參數(shù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。一個(gè)用于考察總體的估計(jì)量,可從如下幾個(gè)方面考察其優(yōu)劣性:
(1)線性性,即它是否是另一隨機(jī)變量的線性函數(shù);
(2)無(wú)偏性,即它的均值或期望值是否等于總體的真實(shí)值;
(3)有效性,即它是否在所有線性無(wú)偏估計(jì)量中具有最小方差。第十八頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五(4)漸近無(wú)偏性,即樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí),是否它的均值序列趨于總體真值;(5)一致性,即樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí),它是否依概率收斂于總體的真值;(6)漸近有效性,即樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí),是否它在所有的一致估計(jì)量中具有最小的漸近方差。
這三個(gè)準(zhǔn)則也稱作估計(jì)量的小樣本性質(zhì)。擁有這類(lèi)性質(zhì)的估計(jì)量稱為最佳線性無(wú)偏估計(jì)量(bestlinerunbiasedestimator,BLUE)。
當(dāng)不滿足小樣本性質(zhì)時(shí),需進(jìn)一步考察估計(jì)量的大樣本或漸近性質(zhì):第十九頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五高斯—馬爾可夫定理(Gauss-Markovtheorem)
在給定經(jīng)典線性回歸的假定下,最小二乘估計(jì)量是具有最小方差的線性無(wú)偏估計(jì)量。第二十頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五證:易知故同樣地,容易得出
第二十一頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五第二十二頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五(2)證明最小方差性其中,ci=ki+di,di為不全為零的常數(shù)則容易證明普通最小二乘估計(jì)量(ordinaryleastSquaresEstimators)稱為最佳線性無(wú)偏估計(jì)量(bestlinearunbiasedestimator,BLUE)
第二十三頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五
由于最小二乘估計(jì)量擁有一個(gè)“好”的估計(jì)量所應(yīng)具備的小樣本特性,它自然也擁有大樣本特性。
第二十四頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五
五、參數(shù)估計(jì)量的概率分布及隨機(jī)干擾項(xiàng)方差的估計(jì)
第二十五頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五第二十六頁(yè),共二十九頁(yè),編輯于2023年,星期五2、隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差2的估計(jì)由于隨機(jī)項(xiàng)i不可觀測(cè),只能從i的估計(jì)——?dú)埐頴i出發(fā),
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